Коне́чно порождённое расшире́ние по́ля <math>K</math> — расширение <math>E</math> поля <math>K</math>, такое, что в <math>E</math> существуют элементы <math>\alpha_1, \dots, \alpha_n</math> такие, что <math>E=K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)</math>. Элементы <math>E</math> суть алгебраические дроби <math>\frac{f(\alpha_1,\dots,\alpha_n)}{g(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}</math>, где <math>f</math> и <math>g</math> — многочлены. Если <math>n=1</math>, то расширение <math>K(\alpha)</math> называется простым.
Свойство конечно порождённых расширений
Если конечно порождённое расширение <math>E=K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)</math> алгебраично над <math>K</math>, то оно конечно.
Для простого алгебраического расширения <math>E=K(\alpha)</math> это следует из того, что множество значений многочленов от <math>\alpha</math> <math>K[\alpha]</math> является не только кольцом, но и полем. Действительно, пусть <math>g(\alpha)\ne 0</math>. Тогда многочлен <math>g(x)</math> не делится на <math>p(x)</math> — минимальный многочлен <math>\alpha</math> над <math>K</math>. Но <math>p(x)</math> — неприводимый многочлен, значит <math>g(x)</math> и <math>p(x)</math> взаимно просты. Отсюда следует, что существуют такие многочлены <math>a(x)</math> и <math>b(x)</math> над <math>K</math>, что
<math>a(x)p(x)+b(x)g(x)=1</math>. Подставляя в это равенство <math>\alpha</math> имеем <math>b(\alpha)g(\alpha)=1</math>, то есть <math>g(\alpha)</math> обратим и <math>K[\alpha]</math> является искомым полем <math>K(\alpha)</math>. Таким же образом деля <math>f(x)</math> на <math>p(x)</math> получаем, что если <math>p(x)</math> имеет степень <math>n</math>, то <math>[E:K]=n</math>
Для расширения от нескольких элементов имеем: <math>K(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n)=K(\alpha_1)(\alpha_2)\ldots(\alpha_n)</math>. Элементы <math>\alpha_i</math> будучи алгебраическими над <math>K</math> остаются таковыми и над большим полем <math>K(\alpha_1)\ldots(\alpha_{i-1})</math>. Далее применяем теорему о башне конечных расширений.
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
См. также
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|