Русская Википедия:Конечное расширение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Коне́чное расшире́ние — расширение поля <math>E\supset K</math>, такое, что <math>E</math> конечномерно над <math>K</math> как векторное пространство. Размерность векторного пространства <math>E</math> над <math>K</math> называется степенью расширения и обозначается <math>[E:K]</math>.

Свойства конечных расширений

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть <math>[E:K]=n</math>, так как для любого элемента <math>\alpha\in E</math> набор из <math>n+1</math> элементов <math>1,\alpha,\alpha^2,...\alpha^n</math> не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над <math>K</math> степени не выше <math>n</math>, такой, что <math>\alpha</math> является его корнем.

Простое алгебраическое расширение <math>E=K(\alpha)</math> является конечным. Если неприводимый многочлен <math>\alpha</math> над <math>K</math> имеет степень <math>n</math>, то <math>[E:K]=n</math>.

В башне полей <math>F\supset E \supset K</math>, поле <math>F</math> конечно над <math>K</math> тогда и только тогда, когда <math>F</math> конечно над <math>E</math> и <math>E</math> конечно над <math>K</math>. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если <math>e_1,...e_n</math> — базис <math>E</math> над <math>K</math> и <math>f_1,...f_m</math> — базис <math>F</math> над <math>E</math> то <math>f_1e_1, f_1e_2,...f_1e_n, f_2e_1,...f_me_1,...f_me_n</math> — базис <math>F</math> над <math>K</math>, отсюда <math>[F:E][E:K]=[F:K]</math>.

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса <math>E=K(e_1,...e_n)</math>. Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, <math>K(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n)=K(\alpha_1)(\alpha_2)...(\alpha_n)</math>. Элементы <math>\alpha_i</math> будучи алгебраическими над <math>K</math> остаются таковыми и над бо́льшим полем <math>K(\alpha_1)...(\alpha_{i-1})</math>. Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если <math>E \supset K</math> конечно, то для любого расширения <math>F \supset K</math> то, (если <math>F</math> и <math>E</math> содержатся в каком-нибудь поле) композит полей <math>EF</math> является конечным расширением <math>F</math>).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра — М:, Мир, 1967