где все числа <math>\alpha_i</math> удовлетворяют условию <math>\alpha_i\geqslant 0</math>[1][2].
Название связано с фактом, что коническая сумма векторов определяет конус (возможно, в подпространстве меньшей размерности).
Коническая оболочка — множество всех конических комбинаций для данного множества <math>S</math>, обозначается <math>\operatorname{cone}(S)</math>[1] или <math>\operatorname{coni}(S)</math>[2]. То есть:
По определению начало координат принадлежит всем коническим оболочкам.
Коническая оболочка множества <math>S</math> является выпуклым множеством. Фактически она является пересечением всех выпуклых конусов, содержащих <math>S</math>, объединённым с началом координат[1]. Если <math>S</math> является компактным пространством (в частности, если оно состоит из конечного числа точек), добавление начала координат к пересечению всех выпуклых конусов не требуется.
Если поделить каждый коэффициент конической комбинации на сумму всех её коэффициентов, то станет ясно, что всякая ненулевая коническая комбинация представляет собой масштабированную выпуклая комбинация[1]. В этой связи конические комбинации и конические оболочки могут рассматриваться как выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в проективном пространстве.
Хотя выпуклая оболочка компактного множества также является компактным множеством, для конической оболочки это неверно, так как в общем случае она не ограничена. Более того, коническая оболочка компакта даже не обязательно будет замкнутым множеством — контрпримером служит сфера, проходящая через начало координат, конической оболочкой которой является открытое полупространство плюс начало координат. Однако если <math>S</math> является непустым компактным множеством, не содержащим начало координат, коническая оболочка множества <math>S</math> является замкнутым множеством[1].