Русская Википедия:Лемма Бёрнсайда
Лемма Бёрнсайда (или лемма Коши — Фробениуса) — классический результат комбинаторной теории групп, даёт выражение на число орбит в действии группы. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойи.
Формулировка
Пусть <math>G</math> — конечная группа, действующая на множестве <math>X</math>. Тогда число орбит действия равно среднему количеству точек, фиксированных точек в <math>X</math> элементами <math>G</math>.
Точнее, для любого элемента <math>g</math> из <math>G</math> будем обозначать через <math>X^g</math> множество элементов <math>X</math>, оставляемых на месте <math>g</math>, то есть
- <math>X^g=\{\,x\in X\mid g\cdot x=x\,\}.</math>
Тогда (натуральное число или бесконечность)
- <math>|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|,</math>
здесь <math>|X/G|</math> обозначает число орбит действия.
Доказательство
Число орбит равно <math>\sum_{m\in X}\frac{1}{|Orb(m)|}</math> , но по формуле орбит <math>|Orb(m)|=[G:G_m]=\frac{|G|}{|G_m|}</math> ,где <math>G_m</math> означает стабилизатор элемента <math>m</math>, значит сумма равна <math>\frac{1}{|G|}\sum_{m\in X}|G_m|</math> . Выпишем в столбик все элементы <math>X</math> и напишем рядом с каждым <math>m</math> те элементы <math>G</math> , которые оставляют данный элемент неподвижным . Тогда произвольный элемент <math>g</math> группы <math>G</math> встретится такое же число раз , какое он оставляет элементы <math>X</math> неподвижными , то есть в точности <math>|X^g|</math> раз , а потому сумма <math>\sum_{m \in X}|G_m|</math> равна сумме <math>\sum_{g \in G}|X^g|</math> , что и утверждалось .
Следствия
- Если действие конечной группы <math>G</math> на множестве <math>X</math> транзитивно, то
- <math>\sum_{g\in G}|X^g|=|G|.</math>
История
Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бёрнсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.
Литература
- Шаблон:Книга
- Burnside, William (1897) Theory of Groups of Finite Order, Cambridge University Press, at Project Gutenberg and here at Archive.org. (Это первое издание; введение ко второму изданию содержит известный крутой поворот Бёрнсайда в отношении полезности теорий представлений.)
- Шаблон:Citation.
- Шаблон:Citation.
- Шаблон:Citation.
Ссылки
