Русская Википедия:Лемма Гензеля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа <math>p</math>, то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю <math>p^k</math>, который может быть найден итеративным подъёмом по степеням <math>p</math>. Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).

Формулировка

Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.

Общая формулировка

Пусть <math>K</math> — поле, полное относительно дискретного нормирования <math>v</math>, а <math>\mathcal{O}_K</math> — кольцо целых поля <math>K</math> (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть <math>\pi\in K</math> — некоторый элемент <math>K</math>, такой что <math>v(\pi)=1</math>, обозначим соответствующее ему Шаблон:Не переведено 5 как <math>k=\mathcal{O}_K/\pi</math>. Пусть <math>f(X)\in\mathcal{O}_K[X]</math> — некоторый многочлен с коэффициентами из <math>\mathcal{O}_K</math>. Если у редуцированного многочлена <math>\overline{f}(X)\in k[X]</math> есть простой корень (то есть, существует <math>k_0\in k</math> такой что <math>\overline{f}(k_0)=0</math> и <math>\overline{f'}(k_0) \neq 0</math>), то существует единственный <math>a\in\mathcal{O}_K</math>, такой что <math>f(a)=0</math> и <math>\overline{a}=k_0</math>.

Альтернативная формулировка

В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть <math>f(x)</math> — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также <math>m</math> и <math>k</math> — целые числа, такие что <math>0 < m \leq k</math>. Если <math>r</math> — целое число, такое что

<math>f(r) \equiv 0 \pmod{p^k} \quad \text{и} \quad f'(r) \not\equiv 0 \pmod{p},</math>

то существует целое число <math>s</math>, такое что

<math>f(s) \equiv 0 \pmod{p^{k+m}} \quad \text{и} \quad r \equiv s \pmod{p^{k}}.</math>

Более того, число <math>s</math> определено однозначно по модулю <math>p^{k+m}</math> и может быть выражено в явном виде как

<math>s = r - f(r)\cdot a,</math>

где <math>a</math> — целое число, такое что

<math>a \equiv [f'(r)]^{-1} \pmod{p^m}.</math>

Следует заметить, что, в силу <math>f(r) \equiv 0 \pmod{p^k}</math>, также выполнено условие <math>s \equiv r \pmod{p^k}</math>.

Пример

Рассмотрим уравнение <math>x^2\equiv x \pmod{10^k}</math>, определяющее автоморфные числа длины <math>k</math> в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:

<math>\begin{cases}

x^2 \equiv x \pmod{2^k},\\ x^2 \equiv x \pmod{5^k} \end{cases}</math> При <math>k=1</math> решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на <math>0</math>, <math>1</math>, <math>5</math> или <math>6</math>. Чтобы получить решения для больших <math>k</math>, можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что <math>f(x)=x^2-x</math>.

По приведённым выше формулам, переход от <math>p^k</math> к <math>p^{k+m}</math> для <math>m \leq k</math> будет иметь следующий вид:

<math display="inline">s = r - (r^2-r)\cdot (2r-1)^{-1}=\frac{r^2}{2r-1}\pmod{p^{k+m}}.</math>

См. также

• Теорема Минковского — Хассе

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation