Русская Википедия:Лемма Гордана
Шаблон:Не путать Лемма Гордана — лемма из области выпуклой геометрии и алгебраической геометрии. У неё есть несколько равносильных формулировок:
- Для выпуклого рационального полиэдрального конуса полугруппа (моноид) точек с целыми координатами, лежащих внутри него, конечно порождена[1].
- Пусть <math>A</math> — целочисленная матрица. Пусть <math>M</math> — множество неотрицательных целочисленных решений системы <math>A \cdot x = 0</math>. Тогда существует конечное подмножество <math>N \subset M</math> такое, что каждый элемент <math>M</math> представляется как линейная комбинация векторов из <math>N</math> с целыми неотрицательными коэффициентами[2].
- Аффинное торическое многообразие является алгебраическим многообразием (см. далее).
Лемма названа в честь математика П. А. Гордана (1837—1912).
Доказательства
Геометрическое доказательство
Пусть дан выпуклый рациональный полиэдральный конус <math>\sigma^{\vee}</math>, порождаемый векторами <math>u_1, \dots, u_r</math> как конус. Пусть <math>S_\sigma</math> — полугруппа целых точек в данном конусе, то есть
- <math> S_\sigma = \sigma^\vee \cap \mathbb{Z}^d,</math>
где <math>d</math> — размерность пространства, в котором лежит конус <math>S_\sigma</math>. Тогда произвольную точку <math>x \in S_\sigma</math> можно представить в виде
- <math>x = \sum_i n_i u_i + \sum_i r_i u_i,</math>
где неотрицательные коэффициенты при <math>u_i</math> разложены в сумму неотрицательного целого <math>n_i</math> и дробной части <math>0 \leqslant r_i < 1</math>. Но так как <math>x</math> и первая сумма целочисленны, вторая сумма тоже обязана быть вектором целочисленной решётки. При этом вторая сумма находится в ограниченной области, зависящей только от векторов <math>u_i</math>, но не от вектора <math>x</math>, поэтому для неё есть лишь конечное число возможностей. Таким образом, <math>S_{\sigma}</math> конечно порожденаШаблон:Sfn.
Алгебраическое доказательство
Доказательство[3] основано на том, что полугруппа <math>S</math> конечно порождена тогда и только тогда, когда её Шаблон:Iw <math>\mathbb{C}[S]</math> является конечно порождённой алгеброй над <math>\mathbb{C}</math>.
Докажем сперва вспомогательную лемму о градуированных алгебрах.
Лемма: Пусть <math>A</math> — нётерово <math>\mathbb{Z}</math>-градуированное кольцо. Тогда <math>A^+ = \bigoplus\limits_0^{\infty} A_n</math> — конечно-порождённая алгебра над <math>A_0</math>.
Доказательство леммы: пусть <math>I = \bigoplus\limits_{i=1}^\infty A_i</math> — идеал в <math>A</math>, порождённый всеми однородными элементами положительной степени. В силу нётеровости <math>A</math> идеал <math>I</math> порождён конечным числом однородных элементов положительной степени <math>f_i</math>. Пусть максимальная из степеней элементов <math>f_i</math> равна <math>d</math>. Если <math>f</math> — однородный элемент положительной степени, которая больше степеней всех <math>f_i</math>, то он представляется в виде <math display="inline">f = \sum_i g_i f_i</math>. Можно от каждого <math>g_i</math> рассмотреть только однородную компоненту степени <math>\operatorname{deg} f - \operatorname{deg} f_i </math>, получив равенство <math display="inline">f = \sum_i \overline{g}_i f_i</math>, где <math>\overline{g}_i</math> — однородные элементы положительной степени, причём эта степень будет строго меньше <math>\operatorname{deg} f</math>. Таким образом, применив индукцию по степени <math>f</math>, легко видеть, что <math>A^+</math> порождается <math>\bigoplus\limits_{i=0}^d A_d</math> как <math>A_0</math>-алгебра. Осталось показать, что <math>\bigoplus\limits_{i=0}^d A_d</math> конечно порождена как <math>A_0</math>-алгебра, для чего достаточно показать, что каждый <math>A_i</math> — конечно-порождённый <math>A_0</math>-модуль. Действительно, пусть дана возрастающая цепочка вложенных конечно-порождённых подмодулей <math>N_j</math> в <math>A_i</math>, объединение которой равно всему <math>A_i</math>. Можно рассмотреть цепочку идеалов <math>N_j A</math>. По нётеровости <math>A</math> она стабилизируется на некотором шаге, значит стабилизируется и <math>N_j = N_j A \cap A_i</math>[3].
Теперь докажем, что для любого подмоноида <math>S \subset \mathbb{Z}^d</math> выполнено следующее утверждение:
- Если <math>S</math> конечно порождён (как моноид), то и для произвольного целочисленного вектора <math>v</math>, лежащего в двойственной решётке к решётке, в которой лежит моноид, подмоноид <math>S^+ = S \cap \{ x \mid \langle x, v \rangle \geqslant 0 \}</math> также конечно порождён.
Действительно, рассмотрим алгебру <math>A = \mathbb{C}[S]</math>, пусть её базис есть <math>\chi^a, \, a \in S</math>. На ней можно ввести <math>\mathbb{Z}</math>-градуировку:
- <math>A_n = \operatorname{span} \{ \chi^a \mid a \in S, \langle a, v \rangle = n \}</math>.
По предположению <math>A</math> конечно порождена, а значит нётерова. Тогда из доказанной леммы следует, что <math>\mathbb{C}[S^+] = \bigoplus\limits_0^\infty A_n</math> — конечно порождённая алгебра над <math>A_0</math>. Полугруппа <math>S_0 = S \cap \{ x \mid \langle x, v \rangle = 0 \}</math> лежит в подпространстве меньшей размерности, поэтому можно считать при помощи индукции по размерности, что она тоже конечно порождена, а значит и алгебра <math>A_0 = \mathbb{C}[S_0]</math> конечно порождена. Таким образом, <math>S^+</math> конечно порождён[3].
Наконец, из доказанного утверждения следует лемма Гордана. Действительно, можно рассмотреть в качестве <math>S</math> всю целочисленную решётку и применять лемму к каждой гиперплоскости, задающей грань максимальной размерности полиэдрального конуса, пока не останется моноид целочисленных точек внутри конуса[3].
Применения
Аффинные торические многообразия
В стандартном определении аффинного торического многообразия по решётке <math>M</math> и выпуклому рациональному полиэдральному конусу <math>\sigma^\vee</math> в пространстве, соответствующем решётке, строится полугруппа <math>\sigma^\vee \cap M</math>, по ней алгебра <math>\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M]</math> и рассматривается её спектр. Из леммы Гордана следует корректность этого определения: полученная алгебра конечно порождена, то есть действительно задаёт аффинное многообразие как свой спектрШаблон:Sfn.
Максимальная степень неразложимого мультигиперграфа
Мультигиперграф с множеством вершин <math>V </math> — это мультимножество подмножеств <math>V</math>. Мультигиперграф называется регулярным, если у всех вершин одинаковая степень. Мультигиперграф <math>(V,E)</math> называется разложимым, если у него можно выбрать собственное непустое подмультимножество рёбер <math>F\subset E</math> так, что мультигиперграф <math>(V,F)</math> тоже регулярен для некоторой степени <math>k<n</math>. Для натурального <math>n</math> обозначим через <math>D(n)</math> максимальную степень неразложимого мультигиперграфа на <math>n</math> вершинах. Из леммы Гордана следует, что <math>D(n)</math> конечно[2].
Доказательство: для каждого подмножества вершин <math>S</math> определим переменную <math>x_S</math> (принимающую неотрицательные целые значения). Добавим также ещё одну переменную <math>d</math> (тоже принимающую неотрицательные целые значения). Рассмотрим набор из <math>n</math> уравнений (по одному уравнению на каждую вершину):
- <math>\forall v\in V\colon \sum_{S\ni v} x_S - d = 0</math>
Каждое решение <math>(\mathbf{x},d)</math> задаёт регулярный мультигиперграф с множеством вершин <math>V</math>: <math>\mathbf{x}</math> задаёт кратности соответствующих гиперрёбер, а <math>d</math> задаёт степень вершин. По лемме Гордана множество решений порождается конечным набором решений, то есть существует конечный набор <math>M</math> мультигиперграфов таких, что каждый регулярный мультигиперграф — это линейная комбинация некоторых элементов <math>M</math>. Все неразложимые мультигиперграфы должны лежать в <math>M</math>, то есть их множество конечно[2].
Примечания
Литература
- ↑ David A. Cox, Lectures on toric varieties Шаблон:Wayback. Lecture 1. Proposition 1.11.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Шаблон:Cite journal
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Шаблон:Harvnb
.svg){kind=link}