Русская Википедия:Лемма Маргулиса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Лемма Маргулиса — одно из ключевых утверждений об изометрических действиях на римановых многообразиях.

Названа в честь Григория Александровича Маргулиса.

Формулировка

Пусть <math>M</math> есть риманово многообразие и <math>U\subset M</math> — открытое подмножество. Для изометрии <math>f\colon M\to M</math>, определим норму:

<math>|f|=\sup_{x\in U}\{|f(x)-x|_M\}</math>,

где <math>|x-y|_M</math> обозначает расстояние от <math>x</math> до <math>y</math> в <math>M</math>. Тогда существует константа <math>C</math> такая, что:

<math>|[f,g]|\le C\cdot |f|\cdot |g|</math>

для произвольных двух изометрий <math>f,g\colon M\to M</math>, здесь <math>[f,g]</math> обозначает коммутатор, то есть <math>[f,g]=f\circ g\circ f^{-1}\circ g^{-1}</math>.

Более того, если <math>U</math> есть шар радиуса <math>R</math> то константа <math>C</math> зависит только от <math>R</math>, и оценок на кривизну в <math>U</math> и радиуса инъективности в центре шара.

Следствия

• Пусть группа <math>\Gamma</math> действует изометрично и вполне разрывно на многообразии <math>M</math>. Предположим существует система образующих <math>F</math> в <math>\Gamma</math>, такая, что <math>|f(x_0)-x_0|</math> достаточно мало для любого <math>f\in F</math> и фиксированной точки <math>x_0\in M</math>. Тогда <math>\Gamma</math> почти нильпотентна; то есть <math>\Gamma</math> содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса.