Русская Википедия:Локальная дзета-функция
Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида
- <math>Z(V, T) = \exp\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{N_k}{k} T^k\right)</math>,
построенный на последовательности числа точек <math>N_k</math> аффинного или проективного многообразия <math>V</math> в конечных полях.
Локальная дзета-функция <math>\zeta(X,s)=Z(X,p^{-s})</math>. Для неё существует аналог гипотезы Римана.
Определение
Пусть <math>V</math> — аффинное или проективное многообразие над конечным полем <math>\mathbb{F}_q</math>. Конгруэнц-дзета-функция многообразия <math>V</math> над <math>\mathbb{F}_q</math> определяется как формальный степенной ряд
- <math>Z(V/\mathbb{F}_q, T) = \exp\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{N_k}{k} T^k\right)</math>,
где <math>\exp(u)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{u^k}{k!}</math>, а <math>N_k</math> — число точек <math>V</math>, лежащих в <math>\mathbb{F}_{q^k}</math>. Числа <math>N_k</math> конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.
Локальной дзета-функцией называется функция <math>\zeta(X,s)=Z(X,p^{-s})</math>, здесь <math>p</math> — характеристика поля <math>\mathbb{F}_q</math>, <math>s\in\mathbb{C}</math> — комплексная переменная.
Примеры
Возьмем уравнение <math>x=0</math>, геометрически это означает, что <math>V</math> — это просто точка. В этом случае все <math>N_k=1</math>. Тогда
- <math>Z(V, t) =\exp\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{T^k}{k}\right)=\exp(-\ln(1-T))=\frac{1}{1-T}</math>
Пусть <math>V</math> — проективная прямая <math>0x=0</math> над <math>F</math>. Если <math>F=\mathbb{F}_{q^k}</math>, то <math>V</math> имеет <math>N_k=q^k+1</math> точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно
- <math>Z(V, T) =\exp\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(qT)^k}{k} + \frac{T^k}{k}\right)=\exp\left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)=\frac{1}{(1-T)(1-qT)}</math>
Свойства
- <math>Z(X, T)</math> представляется в виде бесконечного произведения
- <math>Z(X, T)=\prod\limits_{x} (1-T^{\deg(x)})^{-1},</math>
где <math>x</math> пробегает все замкнутые точки <math>X</math>, а <math>\deg x</math> — степень <math>x</math>. В случае, если <math>X=V</math>, которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности <math>x=[P]</math> точек <math>P\in \overline{V}</math>, где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем <math>F</math>. Степень <math>x</math> — это степень расширения поля <math>F</math>, порождённого координатами <math>P</math>. Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения <math>Z(X,T)</math> будет равна производящей функции
- <math>N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\cdots \,</math>.
- Если <math>E</math> — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна
- <math>Z(E/\mathbb{F}_q, T)=\frac{1-2a_ET+qT^2}{(1-T)(1-qT)}</math>
- Если <math>(\forall k)N_k < CA^k</math>, то <math>Z(T)</math> сходится в открытом круге радиуса <math>R=A^{-1}</math>.
- Если <math>N_k=N_k^{(1)}+N_k^{(2)}</math>, причем <math>Z(T), Z^{(1)}(T), Z^{(2)}(T)</math> — соответствующие дзета-функции, то <math>Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)</math>.
- Если <math>N_k = \beta_1^k+...+\beta_t^k-\alpha_1^k-...-\alpha_s^k</math>, то <math>Z(T)=\frac{(1-\alpha_1T)...(1-\alpha_sT)}{(1-\beta_1T)...(1-\beta_tT)}</math>.
Применение
L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом
- <math>L(V,s)=\dfrac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{\prod\limits_{p} Z(V/\mathbb{F}_p,p^{-s})}</math>
Гипотеза Римана для кривых над конечными полями
Если <math>C</math> — проективная неособая кривая над <math>F</math>, то можно показать, что
- <math>Z(C, T) = \frac{P(t)}{(1 - T)(1 - qT)}\ ,</math>
где <math>P(t)</math> — многочлен степени <math>2g</math>, где <math>g</math> — род кривой <math>C</math>. Представим
- <math>P(t)=\prod\limits_{i=1}^{2g}(1-\omega_i t)\ ,</math>
тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что
- <math>|\omega_i|=q^{1/2}</math>
Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней <math>\zeta(X,s)</math> равна <math>1/2</math>.
К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны <math>\sqrt{q}</math>. Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.
Общие формулы для дзета-функции
Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что
- <math>Z(X,T)=\prod\limits_{i=0}^{2\dim X}\det(1-T \operatorname{Frob}_q |H^i_c(\overline{X},{\mathbb Q}_\ell))^{(-1)^{i+1}}.</math>
Здесь <math>X</math> — отделимая схема конечного типа над конечным полем <math>\mathbb{F}_q</math>, and <math>\operatorname{Frob}_q</math> — геометрическое действие Фробениуса на <math>\ell</math>-адической этальной когомологии с компактным носителем <math>\overline{X}</math>. Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией <math>T</math>.
Литература
См. также
