Александр Максименко родился в русской крестьянской семье в 1923 году в деревне Александровка Томского уездаТомской губернии (впоследствии Александровский сельсовет был включён в состав Шаблон:МРКемеровской области, в 1959 году Александровский сельсовет был присоединён к Проскоковскому сельсовету, а в 1978 году населённый пункт Александровка был упразднён). Окончив среднюю школу, был рабочим в буровой разведке.
28 сентября 1943 года командир батальона 574-го стрелкового полка 121-й стрелковой дивизии 60-й армииЦентрального фронта капитан А. Максименко одним из первых в полку с вверенным ему стрелковым батальоном без вспомогательных переправочных средств форсировал Днепр в районе села Глебовка Вышгородского района Киевской области Украины. Овладев плацдармом на западном берегу Днепра, отразил несколько вражеских контратак превосходящего по силе противника, нанеся ему большие потери в живой силе и технике.
30 сентября 1943 года в бою за село Ясногородка Вышгородского района капитан А. П. Максименко был тяжело ранен, но не покинул поле боя и продолжал успешно командовать батальоном, отражая контратаки врага[1].
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 октября 1943 года за умелое командование стрелковым батальоном, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм капитану Максименко Александру Петровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1181).
16 июля 1944 года в бою у села Внуковцы Ивано-Франковской области Украины майор Максименко погиб.
