Русская Википедия:Мера иррациональности
Мера иррациональности действительного числа <math>\alpha</math> — это действительное число <math>\mu</math>, показывающее, насколько хорошо <math>\alpha</math> может быть приближено рациональными числами.
Определение
Пусть <math>\alpha</math> — действительное число, и пусть <math>M(\alpha)</math> — множество всех чисел <math>\mu</math> таких, что неравенство <math>0<\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{\mu}}</math> имеет лишь конечное число решений в целых числах <math>p</math> и <math>q>0</math>:
- <math>M(\alpha)=\left\{\mu>0\colon(\exists q_0=q_0(\mu,\;\alpha))\;(\forall p,\;q\in\Z)\;q>q_0\Rightarrow\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{q^{\mu}}\lor\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|=0\right\}.</math>
Тогда мера иррациональности <math>\mu(\alpha)</math> числа <math>\alpha</math> определяется как точная нижняя грань <math>M(\alpha)</math>:
- <math>\mu(\alpha)=\inf M(\alpha).</math>
Если <math>M(\alpha)=\varnothing</math>, то полагают <math>\mu(\alpha)=+\infty</math>.
Другими словами, <math>\mu</math> — наименьшее число, такое, что для любого <math>\varepsilon>0</math> для всех рациональных приближений <math>\frac{p}{q}</math> с достаточно большим знаменателем верно, что <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}}</math>.
Возможные значения меры иррациональности
- <math>\mu(\alpha) = 1</math> тогда и только тогда, когда <math>\alpha</math> — рациональное число.
- Если <math>\alpha</math> — алгебраическое иррациональное число, то <math>\mu(\alpha) = 2</math>.
- Если <math>\alpha</math> — трансцендентное число, то <math>\mu(\alpha)\geqslant 2</math>. В частности, если <math>\mu(\alpha) = +\infty</math>, то число <math>\alpha</math> называют лиувиллевым числом.
Связь с цепными дробями
Если <math>\alpha=[a_0;\;a_1,\;a_2,\;\ldots]</math> — разложение числа <math>\alpha</math> в цепную дробь, и <math>\frac{p_n}{q_n}</math> — <math>n</math>-ая подходящая цепная дробь, то
- <math>\mu(\alpha)=1+\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln q_{n+1}}{\ln q_n}=2+\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln a_{n+1}}{\ln q_n}.</math>
С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения <math>\varphi=[1;\;1,\;1,\;\ldots]</math>, и тогда <math>\mu(\varphi)=2</math>.
Теорема Туэ — Зигеля — Рота
По лемме Дирихле, если <math>\alpha</math> иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}</math>, то есть <math>\mu(\alpha)\geqslant 2</math>. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа <math>\alpha</math> степени <math>n</math> можно подобрать константу <math>c=c(\alpha)</math> такую, что <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\geqslant\frac{c}{q^n}</math>. В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют Шаблон:Нп5. Она утверждает, что если <math>\alpha</math> — алгебраическое иррациональное число, то <math>\mu(\alpha)=2</math>. За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.
Мера иррациональности некоторых трансцендентных чисел
Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что <math>\mu\left(e\right)=2</math>, а также известны числа Лиувилля, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:
- <math>\mu\left(\pi\right)\leqslant 7{,}016045</math>[1]
- <math>\mu\left(\zeta\left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891</math>
- <math>\mu\left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201</math>
- <math>\mu\left(\pi^2\right)\leqslant 5{,}09541179</math>[2]
- <math>\mu\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)\leqslant 4{,}230464</math>[3]
- <math>\mu\left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391</math>
См. также
Примечания
Ссылки
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ В. А. Андросенко, Мера иррациональности числа π/√3 , Изв. РАН. Сер. матем. , 2015, том 79, выпуск 1, 3–20
