Русская Википедия:Неравенство Пидо

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство Пидо (также неравенство Пидо — Нойберга) — неравенство в геометрии, названное в честь Шаблон:Iw (1910—1998) и Жозефа Нойберга (1840—1926). Неравенство утверждает, что если <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> и <math>a'</math>, <math>b'</math>, <math>c'</math> — длины сторон треугольников <math>ABC</math> и <math>A'B'C'</math>, a <math>S</math> и <math>S'</math> — их площади, тогда

<math>a^2(-{a'}^2+{b'}^2+{c'}^2)+ b^2({a'}^2-{b'}^2+{c'}^2)+ c^2({a'}^2+{b'}^2-{c'}^2)\ge16SS', </math>

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны с парами соответствующих сторон <math>(a,a')</math>, <math>(b,b')</math> и <math>(c,c')</math>.

Выражение слева не только симметрично для перестановок пар <math>(a,a')</math>, <math>(b,b')</math> и <math>(c,c')</math>, но и (что, возможно, не так очевидно) остаётся неизменным, если поменять местами <math>a</math> и <math>a'</math>, <math>b</math> и <math>b'</math>, <math>c</math> и <math>c'</math>. Другими словами, выражение слева является симметрической функцией от пары треугольников.

Частным случаем неравенства Пидо, в котором один из треугольников равносторонний, является Шаблон:Iw.

Пидо обнаружил это неравенство в 1941 году и опубликовал его в нескольких статьях. Позже он узнал, что неравенство было уже известно Нойбергу в XIX веке, который, однако, не доказал, что из равенства следует подобие двух треугольников.

Литература

• Daniel Pedoe: An Inequality Connecting Any Two Triangles. The Mathematical Gazette, Vol. 25, No. 267 (Dec., 1941), pp. 310—311 (JSTOR Шаблон:Wayback)
• Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality. The American Mathematical Monthly, volume 70, number 9, page 1012, November, 1963.
• Daniel Pedoe: An Inequality for Two Triangles. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volume 38, part 4, page 397, 1943.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, p. 108 Шаблон:Wayback
• D.S. Mitrinović, Josip Pečarić: About the Neuberg-Pedoe and the Oppenheim inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 · January 1988 (online copy Шаблон:Wayback)