Русская Википедия:Парабола
Шаблон:Другие значения Шаблон:Карточка Пара́бола (Шаблон:Lang-el — приближение[1]) — плоская кривая, один из типов конических сечений.
Определение
Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок)Шаблон:Sfn.
Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в ломаную.
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Вершина
Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.
Уравнения
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
- <math>\textstyle y^2=2px, p>0</math> (или <math>\textstyle x^2=2py</math>, если поменять местами оси координат).
Число Шаблон:Math называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[2]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии <math>\frac{p}{2}</math> от обоих.
| Вывод |
|---|
Уравнение директрисы PQ: <math>\textstyle x+\frac{p}{2}=0</math>, фокус F имеет координаты <math>\left (\frac{p}{2};0\right ).</math> Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку <math> \textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x</math> и <math>\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}</math>, то равенство приобретает вид:
После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение <math>y^2=2px.</math> |
Парабола, заданная квадратичной функцией
Квадратичная функция <math>y=ax^2+bx+c</math> при <math>a\neq 0</math> также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и <math>y=ax^2,</math> но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:
- <math>x_\textrm{A}=-\dfrac{b}{2a},\;y_\textrm{A}=-\dfrac{\mathcal{D}}{4a},</math> где <math> \mathcal{D}=b^2-4ac</math> — дискриминант квадратного трёхчлена.
Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При Шаблон:Math (Шаблон:Math) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4Шаблон:Math, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение <math>y=ax^2+bx+c</math> может быть представлено в виде <math>y=a(x-x_\textrm{A})^2+y_\textrm{A},</math> а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом <math>p=\frac{1}{|2a|}.</math>
Общее уравнение параболы
В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:
- <math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. </math>
Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант <math>B^2-4AC</math> равен нулю.
Уравнение в полярной системе
Парабола в полярной системе координат <math>(\rho,\vartheta)</math> с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением
- <math>\rho (1 + \cos \vartheta) = p,</math>
где Шаблон:Math — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)
Расчёт коэффициентов квадратичной функции
Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, <math>y = ax^2 + bx + c</math> известны координаты трёх различных точек параболы <math>(x_{1}; y_{1}), \;(x_{2}; y_{2}), \;(x_{3}; y_{3}),</math> то его коэффициенты могут быть найдены так:
- <math>a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \
b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.</math> Если же заданы вершина <math>(x_0;y_0)</math> и старший коэффициент <math>a</math>, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:
- <math>b=-2ax_0</math>
- <math>c=ax_0^2+y_0</math>
- <math>x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}</math>
- <math>x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}</math>
Свойства
- Парабола — кривая второго порядка.
- Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
- Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
- Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
- Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
- Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
- Парабола является антиподерой прямой.
- Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
- Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия[3].
- Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе
Связанные определения
- При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
Вариации и обобщения
Графики степенной функции <math>y=x^n</math> при натуральном показателе <math>n>1</math> называются параболами порядка <math>n</math>[4][5]. Ранее рассмотренное определение соответствует <math>n=2,</math> то есть параболе 2-го порядка.
Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при <math>\textstyle n = -\frac{1}{2}</math>;
Параболы в физическом пространстве
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).
Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.
Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.
-
Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
-
Падение баскетбольного мяча
-
Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
-
Параболические траектории струй воды
-
Вращающийся сосуд с жидкостью
-
Парабола — антиподера прямой
Примечания
Литература
Ссылки
- Статья в справочнике «Прикладная математика».
- Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
- Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
- Учебный фильм о параболе
Шаблон:Кривые Шаблон:Конические сечения
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
