Русская Википедия:Плоскость

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:PlaneIntersection.png

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматическиШаблон:Sfn.

Некоторые характеристические свойства плоскости

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
• Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Файл:Normal vectors2.svg

Плоскость и два её нормальных вектора: n₁ и n₂

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

<math>Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)</math>

где <math>A,B,C</math> и <math>D</math> — постоянные, причём <math>A,B</math> и <math>C</math> одновременно не равны нулю; в векторной форме:

<math>(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0</math>

где <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор точки <math>M(x,y,z)</math>, вектор <math>\mathbf{N}=(A,B,C)</math> перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора <math>\mathbf{N}</math>:

<math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>

<math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>

<math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math>

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При <math>D=0</math> плоскость проходит через начало координат, при <math>A=0</math> (или <math>B=0</math>, <math>C=0</math>) плоскость параллельна оси <math>Ox</math> (соответственно <math>Oy</math> или <math>Oz</math>). При <math>A=B=0</math> (<math>A=C=0</math>, или <math>B=C=0</math>) плоскость параллельна плоскости <math>Oxy</math> (соответственно <math>Oxz</math> или <math>Oyz</math>).

• Уравнение плоскости в отрезках:

<math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math>

где <math>a=-D/A</math>, <math>b=-D/B</math>, <math>c=-D/C</math> — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях <math>Ox, Oy</math> и <math>Oz</math>.

• Уравнение плоскости, проходящей через точку <math>M(x_0,y_0,z_0)</math> ,перпендикулярной вектору нормали <math>\mathbf{N}(A,B,C)</math>:

<math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math>

в векторной форме:

<math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math>

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки <math>M(x_i,y_i,z_i)</math>, не лежащие на одной прямой:

<math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0</math>

(смешанное произведение векторов), иначе

<math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math>

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

<math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)</math>

в векторной форме:

<math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,</math>

где <math>\mathbf{N^0}</math>- единичный вектор, <math>p</math> — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

<math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

(знаки <math>\mu</math> и <math>D</math> противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, <math>r_0</math> является радиусом-вектором точки <math>P_0</math>, заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка <math>P</math> с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от <math>P_0</math> к <math>P</math>, перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

<math>\mathbf n\cdot (\mathbf r-\mathbf r_0)=0.</math> (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

<math> n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,</math>

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости <math>P(2,6,-3)</math> и вектор нормали <math>N(9,5,2)</math>.

Уравнение плоскости записывается так:

<math>9(x - 2) + 5(y - 6) + 2(z + 3) = 0</math>

<math>-18 + 9x -30 + 5y + 6 + 2z = 0</math>

<math>9x + 5y + 2z - 42 = 0</math>

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки <math>M_1(x_1,y_1,z_1)</math> от плоскости заданной нормированным уравнением <math>(2)</math>

<math>\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;</math>

<math>\delta>0</math>,если <math>M_1</math> и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае <math>\delta<0</math>. Расстояние от точки до плоскости равно <math>|\delta|.</math>

• Расстояние <math>\rho</math> от точки <math>M_0(x_0, y_0, z_0)</math>, до плоскости, заданной уравнением <math>ax+by+cz+d=0</math>, вычисляется по формуле:

<math>\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>

Расстояние между параллельными плоскостями

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями <math>Ax+By+Cz+D_1=0</math> и <math>Ax+By+Cz+D_2=0</math>:

<math>d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями <math>\bar n (\bar r - \bar{r_1})=0</math> и <math>\bar n (\bar r - \bar{r_2})=0</math>:

<math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math>

Файл:Relations between planes.png

Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E₃ проходит через линию пересечения плоскостей E₁ и E₂, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

<math>\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};</math>

Если в векторной форме, то

<math>\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.</math>

• Плоскости параллельны, если

<math>\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}</math> или <math>[\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.</math> (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны, если

<math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет видШаблон:Rp:

<math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math>

где <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

• Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостейШаблон:Rp. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

<math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)+\gamma(A_3x+B_3y+C_3z+D_3)=0,</math>

где <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения

Плоскости в неевклидовом пространстве

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости.

Многомерные плоскости

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство <math>K^n(V,P)</math>, над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат <math>O, \vec{e_1},...,\vec{e_n}</math>. m-плоскостью называется множество точек <math>\alpha</math>, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению <math> \alpha = \{x \mid x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}.</math> <math>A_{nm}</math> — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, <math>\vec{t}</math> — вектор переменных, <math>\vec{d}</math> — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> — векторное уравнение m-плоскости.
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> — нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> — вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> — общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также

• Сагиттальная плоскость
• Полуплоскость
• Пространство

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга