Русская Википедия:Представление Бурау
Представление Бурау — линейное представление группы кос, введённое в 1935 году немецким математиком Шаблон:Нп5.
Определение
Представлением Бурау (или неприведённым представлением Бурау) называется гомоморфизм
- <math>\psi_n\colon B_n\to {\rm GL}_n(\Lambda)</math>
из группы кос из <math>n \geq 2</math> нитей в полную линейную группу кольца <math>\Lambda := \mathbb{Z}[t,t^{-1}]</math> многочленов Лорана с целыми коэффициентами одной переменной <math>t</math>, заданный на образующих Артина равенствомШаблон:SfnШаблон:Sfn
- <math>\psi_n(\sigma_i) := \left( \begin{array}{c|cc|c} E_{i-1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1-t & t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & E_{n-i-1} \end{array} \right),</math>
где символ <math>E_k</math> обозначает единичную матрицу размера <math>k\times k</math>, рассматриваемую как блок блочно-диагональной матрицы <math>\psi_n(\sigma_i)</math>. Образом обратной образующей Артина при таком гомоморфизме является матрица
- <math>\psi_n(\sigma_i^{-1}) := \left( \begin{array}{c|cc|c} E_{i-1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & t^{-1} & 1-t^{-1} & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & E_{n-i-1} \end{array} \right).</math>
Элементы образа представления Бурау называются матрицами Бурау.
Интерпретации
Данное линейное представление допускает следующую наглядную интерпретацию. С каждой косой <math>\beta \in B_n</math> свяжем элемент <math>\varphi_n(\beta) \in {\rm GL}_n(\Lambda)</math>, задав соответствующее ему линейное преобразование векторного пространства <math>\Lambda^n</math>. Чтобы определить действие этого преобразования на упорядоченном наборе <math>(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) \in \Lambda^n</math>, выберем диаграмму косы <math>\beta</math> и следующим образом сопоставим элементы кольца <math>\Lambda</math> дугам этой диаграммы. Сначала для каждого <math>k \in \{1,2,\ldots,n\}</math> отметим на дуге, содержащей <math>k</math>-ый левый конец косы (при нумерации концов снизу вверх), элемент <math>\lambda_k</math>. Далее, шаг за шагом распространим данное сопоставление на все остальные дуги: для каждого перекрёстка, в котором на двух из трёх составляющих его дуг уже отмечены элементы <math>x</math> и <math>y</math>, где <math>y</math> — метка верхней ветви перекрёстка, припишем оставшейся дуге элемент <math>tx + (1-t)y</math>, если перекрёсток является положительным, и элемент <math>t^{-1}x + (1-t^{-1})y</math>, если перекрёсток является отрицательным. Результатом действия искомого преобразования на исходном наборе полагается, по определению, упорядоченный набор <math>(\lambda_1^\prime, \lambda_2^\prime, \ldots, \lambda_n^\prime)</math>, где <math>\lambda_k^\prime</math> — метка дуги, содержащей <math>k</math>-ый правый конец косы (при нумерации концов снизу вверх). Тогда
- <math>\psi_n = \varphi_n \circ \tau_n</math>,
где <math>\tau_n \in {\rm Aut}(B_n)</math> — отражение кос.
Специализации
Отдельный интерес представляют специализации
- <math>B_n\to {\rm GL}_n(\mathbb{C})</math>
представления Бурау, получающиеся из него подстановкой вместо переменной <math>t</math> некоторого фиксированного ненулевого комплексного числа. Наиболее изученными являются специализации в корнях из единицы.
Перестановочное представление
Результат подстановки <math>t = 1</math> в матрицу Бурау косы является матрицей перестановки, соответствующей этой косе. Таким образом, специализация представления Бурау при <math>t = 1</math> совпадает с композицией
- <math>B_n\to S_n \to {\rm GL}_n(\mathbb{Z})</math>
гомоморфизма, отображающего косу в её перестановку, и Шаблон:Нп5 симметрической группы.
Целочисленное представление Бурау
Специализация представления Бурау при <math>t=-1</math> имеет вид
- <math>\rho\colon B_n\to {\rm GL}_n(\mathbb{Z})</math>
и называется целочисленным представлением Бурау. Его ядро называется заплетённой группой Торелли (от Шаблон:Lang-en) и обозначается символом <math>BI_n</math>.
Для <math>m \in \mathbb{N}</math> композиция целочисленного представления Бурау с редукцией по модулю <math>m</math> задаёт представление
- <math>\rho_m\colon B_n\to {\rm GL}_n(\mathbb{Z}) \to {\rm GL}_n(\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z})</math>.
Его ядро называется конгруэнтной подгруппой уровня <math>m</math> (от Шаблон:Lang-en) или группой кос уровня <math>m</math> (от Шаблон:Lang-en) и обозначается символом <math>B_n[m]</math>.
См. также
Примечания
Литература
