Русская Википедия:Пространство столбцов

Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.

Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы <math>A</math> — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Пусть <math>\mathbb{F}</math> — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера <math>m \times n</math> с компонентами из <math>\mathbb{F}</math> является линейным подпространством координатного пространства <math>\mathbb{F}^m</math>. Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит <math>\min(m, n)</math>^[1]. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом <math>\mathbb{K}</math>.

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами <math>\R^n</math> и <math>\R^m</math> соответственно^[2].

Обзор

Пусть <math>A</math> — матрица размера <math>m \times n</math>.Тогда имеют место такие утверждения про её ранг <math>\operatorname{rank}A</math>, где <math>\operatorname{rowsp}A</math> и <math>\operatorname{colsp}A</math> — её пространства столбцов и строк соответственно:

<math>\operatorname{rank}A=\dim \operatorname{rowsp}A=\dim \operatorname{colsp}A</math>^[3],
<math>\operatorname{rank}A</math> равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде <math>A</math>,
<math>\operatorname{rank}A</math> равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы <math>A</math>^[4].

Пространство столбцов матрицы <math>A</math> совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов <math>A</math>. То есть, если <math>A = [a_1, \dots, a_n]</math>, то <math>\operatorname{colsp}A = \operatorname{span}\{a_1, \dots, a_n\}</math>, где <math>\operatorname{span}S</math> — линейная оболочка <math>S</math>.

Действие матрицы <math>A</math> на некоторый вектор <math>x</math> может быть представлено как линейная комбинация столбцов <math>A</math> с коэффициентами, соответствующими координатам <math>x</math>. Значит, <math>Ax</math> всегда лежит в <math>\operatorname{colsp}A</math>. Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из <math>\R^n</math> в <math>\R^m</math>, то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел <math>\Complex</math> или, в общем случае, над произвольным полем <math>\mathbb F</math>.

Пример

Дана матрицы <math>J</math>:

<math>

 J =
 \begin{bmatrix}
   2 & 4 & 1 & 3 & 2\\
   -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\
   1 & 6 & 2 & 2 & 2\\
   3 & 6 & 2 & 5 & 1
 \end{bmatrix}

</math>

Её строки:

<math>r_1 = [2,4,1,3,2]</math>,
<math>r_2 = [-1, -2, 1, 0, 5]</math>,
<math>r_3 = [1, 6, 2, 2, 2]</math>,
<math>r_4 = [3, 6, 2, 5, 1]</math>.

Следовательно, пространство строк матрицы <math>J</math> это подпространство <math>\R^5</math>, заданное как <math>\operatorname{span}\{r_1,r_2,r_3,r_4\}</math>. Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору <math>n=[6,-1,4,-4,0]</math>, из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов <math>\R^5</math>, которые ортогональны вектору <math>n</math>.

Пространство столбцов

Определение

Пусть <math>\mathbb K</math> — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица <math>A</math> размера <math>m \times n</math> со столбцами <math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n</math>. Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

<math>c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n,</math>

Где <math>c_1, c_2, \dots, c_n</math> — скаляры. Множество всех возможных комбинаций <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n</math> называется пространством столбцов <math>A</math>. То есть, пространство столбцов <math>A</math> — это линейная оболочка векторов <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n</math>.

Любая линейная комбинация столбцов матрицы <math>A</math> может быть записана как умножение матрицы <math>A</math> на некоторый вектор-столбец:

<math>\begin{array} {rcl}

A \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} & = & \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 a_{11} + & \cdots & + c_{n} a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} a_{m1} + & \cdots & + c_{n} a_{mn} \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + \cdots + c_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \\ & = & c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n \end{array}</math>

Таким образом, пространство столбцов <math>A</math> состоит из всех возможных произведений <math>Ax</math>, где <math>x \in \mathbb K^n</math>, что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример

Если <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}</math>, то её столбцы это <math>v_1 = [1, 0, 2]^T</math> и <math>v_2 = [0, 1, 0]^T</math>.

Линейная комбинация <math>v_1</math> и <math>v_2</math> — это любой вектор, имеющий следующий вид:

<math>c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 2c_1 \end{bmatrix}\,</math> Множество всех таких векторов образует пространство столбцов <math>A</math>. В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов <math>[x,y,z] \in \R^3</math>, удовлетворяющих уравнению <math>z=2x</math>.

В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

Базис

Столбцы матрицы <math>A</math> порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

<math>A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}\text{.}</math>

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём <math>A</math> к ступенчатому виду по строкам:

<math>\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}

\sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math>^[5]

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, <math>v_3 = -2v_1+v_2</math>). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

<math>\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix},\;\;

\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \\ 2\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \\ 8\end{bmatrix}\text{.}</math>

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов <math>A</math> эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы <math>A^T</math>. На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

Размерность

Шаблон:Main Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен <math>3</math>.

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения <math>\R^4 \to \R^4</math> заданного матрицей выше отображает <math>\R^4</math> в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов^[6]. Ранг и размерность ядра матрицы <math>A</math> c <math>n</math> столбцами связаны уравнением:

<math>\operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A) = n.\,</math>

Связь с коядром

Коядро (левый аннулятор) матрицы <math>A</math> это множество векторов <math>\mathbf{x}</math> таких что <math>\mathbf{x}^T A = 0^T</math>. Коядро матрицы <math>A</math> совпадает с ядром <math>A^T</math>. Произведение <math>A^T</math> на <math>\mathbf{x}</math> может быть записано в виде скалярных произведений векторов

<math>A^T\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix},</math>

Потому что строки <math>A^T</math> являются транспонированными столбцами <math>\mathbf{v}_k</math> матрицы <math>A</math>. Поэтому <math>A^T \mathbf{x}=0</math> тогда и только тогда когда <math>\mathbf{x}</math> ортогонален ко всем столбцам <math>A</math>.

Отсюда следует, что коядро <math>A</math> (ядро <math>A^T</math>) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов <math>A</math>.

Для матрицы над кольцами

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом <math>\mathbb K</math> как:

<math>\sum\limits_{k=1}^n \mathbf{v}_k c_k</math>

Где <math>c_1, \dots, c_n \in \mathbb K</math>. Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора <math>\mathbf{v}_k</math> на скаляр <math>c_k</math> таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр^[7].

См. также

Евклидово пространство

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:See also

Ссылки

Шаблон:Векторы и матрицы

↑ Линейная алгебра — очень хорошо изученная математическая дисциплина с огромным числом источников. Почти все материалы из этой статьи могут быть найдены в Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt, и Шаблон:Harvtxt.
↑ Шаблон:Harvtxt
↑ Шаблон:Harvtxt
↑ Шаблон:Harvtxt
↑ В указанных вычислениях используется метод Метод Гаусса — Жордана. Каждый из изображенных шагов включает несколько элементарных преобразований строк.
↑ Столбцы без ведущих элементов представляют свободные уравнения в соответствующей однородной системе линейных уравнений.
↑ Это важно только если <math>\mathbb K</math> не коммутативно. В действительности такая форма это не более чем результат умножения <math>A\mathbf{c}</math> матрицы <math>A</math> на столбец <math>\mathbf c \in \mathbb K^n</math>, в котором порядок множителей сохранён, в отличие от формулы выше.

[ReferenceA2-1] Линейная алгебра — очень хорошо изученная математическая дисциплина с огромным числом источников. Почти все материалы из этой статьи могут быть найдены в Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt, и Шаблон:Harvtxt.

[2] Шаблон:Harvtxt

[3] Шаблон:Harvtxt

[4] Шаблон:Harvtxt

[5] В указанных вычислениях используется метод Метод Гаусса — Жордана. Каждый из изображенных шагов включает несколько элементарных преобразований строк.

[6] Столбцы без ведущих элементов представляют свободные уравнения в соответствующей однородной системе линейных уравнений.

[7] Это важно только если <math>\mathbb K</math> не коммутативно. В действительности такая форма это не более чем результат умножения <math>A\mathbf{c}</math> матрицы <math>A</math> на столбец <math>\mathbf c \in \mathbb K^n</math>, в котором порядок множителей сохранён, в отличие от формулы выше.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.