Русская Википедия:Размерность Лебега
Шаблон:Значения Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства <math>X</math> обычно обозначается <math>\dim X</math>.
Определение
Для метрических пространств
Для компактного метрического пространства <math>X</math> размерность Лебега определяется как наименьшее целое число <math>n</math>, обладающее тем свойством, что при любом <math>\varepsilon>0</math> существует конечное открытое <math>\varepsilon</math>-покрытие <math>X</math>, имеющее кратность <math>\leqslant n+1</math>;
При этом
- <math>\varepsilon</math>-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр <math><\varepsilon</math>, а
- кратностью конечного покрытия пространства <math>X</math> называется наибольшее такое целое число <math>k</math>, что существует точка пространства <math>X</math>, содержащаяся в <math>k</math> элементах данного покрытия.
Для топологических пространств
Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства <math>X</math> размерностью Лебега называется наименьшее целое число <math>n</math> такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства <math>X</math> существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности <math>n+1</math>.
При этом покрытие <math>\mathcal P</math> называется вписанным в покрытие <math>\mathcal Q</math>, если каждый элемент покрытия <math>\mathcal P</math> является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия <math>\mathcal Q</math>.
Примеры
- Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
- См. также нульмерное пространство.
- Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
- См. также кривая Урысона
Свойства
- Неравенство
- <math>\dim (X \times Y) \leqslant \dim X + \dim Y.</math>
- выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства <math>X</math> и <math>Y</math>:
- метризуемость,
- компактность,
- локальная компактность и паракомпактность.
- Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.
- Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
- Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства <math>X</math> совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на <math>X</math>.
- Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство <math>X</math> имеет размерность <math>\dim X \leqslant n</math> тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия <math>\mathcal U = \{U_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal A}</math> пространства <math>X</math> существует вписанное покрытие <math>\mathcal V</math>, которое состоит из <math>n + 1</math> подсемейств <math>\mathcal V_1, \mathcal V_2, \dots, \mathcal V_{n+1}</math> таких, что каждое подсемейство <math>\mathcal V_i</math> состоит из непересекающиеся между собой множеств.
История
Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность <math>n</math>-мерного куба равна <math>n</math>. Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта <math>\dim X</math> (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.
Примечания
Литература
- Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
Шаблон:Фракталы Шаблон:Размерность
