Русская Википедия:Размерность Минковского
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Шаблон:Значения Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна
- <math>\lim\limits_{\varepsilon\to0}\frac{\ln(N_\varepsilon)}{-\ln(\varepsilon)}</math>,
где <math>N_\varepsilon</math> — минимальное число множеств диаметра <math>\varepsilon</math>, которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.
Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.
Примеры
- размерность конечного множества равна нулю, так как для него <math>\rho(n)</math> не превосходит количества элементов в нём.
- размерность отрезка равна 1, так как необходимо <math>\lceil a/\epsilon\rceil</math> отрезков длины <math>\epsilon</math>, чтобы покрыть отрезок длины <math>a</math>. Таким образом,
- <math>\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln a-\ln\epsilon}{-\ln\epsilon}=1</math>,
- размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю <math>1/n</math>, необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной <math>a</math>, ведет себя примерно как <math>a^2n^2</math>.
- размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна <math>\ln4/\ln3</math>.
- размерность Минковского множества <math>\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\}</math> равна 1/2.
Свойства
- Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
- Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
- Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.
См. также
Литература
- Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
- Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000
Шаблон:Rq
Шаблон:Фракталы
Шаблон:Размерность
