Русская Википедия:Размерность Хаусдорфа
Шаблон:Значения Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.
Определение
Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть <math>\Omega</math> — ограниченное множество в метрическом пространстве <math>X</math>.
ε-покрытия
Пусть <math>\varepsilon>0</math>. Не более чем счётный набор <math>\{\omega_i\}_{i\in I}</math> подмножеств пространства <math>X</math> будем называть <math>\varepsilon</math>-покрытием множества <math>\Omega</math>, если выполнены следующие два свойства:
- <math>\Omega \subset \bigcup_{i\in I}\omega_i</math>
- для любого <math>i\in I</math>: <math>|\omega_i|<\varepsilon</math> (здесь и далее <math>|\omega|</math> означает диаметр множества <math>\omega</math>).
α-мера Хаусдорфа
Пусть <math>\alpha>0</math>. Пусть <math>\Theta=\{\omega_i\}_{i\in I}</math> — покрытие множества <math>\Omega</math>. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: <math>F_\alpha(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} |\omega_i|^\alpha</math>.
Обозначим через <math>M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega)</math> «минимальный размер» <math>{\varepsilon}</math>-покрытия множества <math>\Omega</math>: <math>M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) := \inf(F_\alpha(\Theta))</math>, где инфимум берётся по всем <math>\varepsilon</math>-покрытиям множества <math>\Omega</math>.
Очевидно, что функция <math>M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) </math> (нестрого) возрастает при уменьшении <math>\varepsilon</math>, поскольку при уменьшении <math>\varepsilon</math> мы только сжимаем множество возможных <math>\varepsilon</math>-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при <math>\varepsilon\rightarrow 0+</math>:
<math>M_{\alpha}(\Omega)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0+}M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) </math>.
Величина <math>M_{\alpha}(\Omega)</math> называется <math>\alpha</math>-мерой Хаусдорфа множества <math>\Omega</math>.
Свойства α-меры Хаусдорфа
- <math>\alpha</math>-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на <math>X</math>.
- с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; <math>d</math>-мера Хаусдорфа множеств в <math>\mathbb{R}^d</math> совпадает с их <math>d</math>-мерным объёмом.
- <math>M_{\alpha}(\Omega)</math> убывает по <math>\alpha</math>. Более того, для любого множества <math>\Omega</math> существует[1][2][3] критическое значение <math>\alpha_0</math>, такое, что:
- <math>M_{\alpha}(\Omega)=+\infty </math> для всех <math>\alpha<\alpha_0</math>
- <math>M_{\alpha}(\Omega)=0 </math> для всех <math>\alpha>\alpha_0</math>
Значение <math>M_{\alpha_0}(\Omega)</math> может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.
Определение размерности Хаусдорфа
Размерностью Хаусдорфа <math>\dim_H\Omega</math> множества <math>\Omega</math> называется число <math>\alpha_0</math> из предыдущего пункта.
Примеры
Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на <math>n</math> частей, подобных исходному множеству с коэффициентами <math>r_1,r_2,\dots,r_n</math>, то его размерность <math>s</math> является решением уравнения <math>r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1</math>. Например,
- размерность множества Кантора равна <math>\ln2/\ln3</math> (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
- размерность треугольника Серпинского — <math>\ln3/\ln2</math> (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
- размерность кривой дракона — <math>2</math> (разбивается на 2 части, коэффициент подобия <math>\sqrt {1/2} </math>).
Свойства
- Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
- Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
- В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
- Для произвольных метрических пространств <math>X</math> и <math>Y</math> выполняется соотношение
- <math> \dim_H(X\times Y)\ge \dim_H(X)+ \dim_H(Y).</math>
- Для некоторых пар <math>X</math> и <math>Y</math> неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.[4]
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Фракталы Шаблон:Размерность
- ↑ Доказательство в Pertti Mattila, «Geometry of sets and measures in Euclidian Spaces», 1995 — теорема 4.7
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Доказательство в Kenneth Falconer, «Fractal Geometry» (второе издание), 2003 — стр. 31
- ↑ Example 7.8 в Шаблон:Книга
