Русская Википедия:Релятивистская квантовая механика

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Квантовая механика Релятивистская квантовая механика (РКМ) — раздел квантовой физики, в котором рассматриваются релятивистские квантовые законы движения микрочастиц в одночастичном приближении. Более обще, это любая ковариантная формулировка квантовой механики (КМ). Эта теория применима к массивным частицам, движущимися со всеми скоростями, вплоть до сравнимых со скоростью света c, и к безмассовым частицам. Теория применяется в физике высоких энергий, физике элементарных частиц и физике ускорителей, а также в атомной физике, квантовой химии и физике конденсированного состояния. Нерелятивистская квантовая механика в математической формулировке квантовой механики, применяется в контексте теории относительности Галилея, в частности, к квантованию уравнений классической механики путём замены динамических переменных операторами. Релятивистская квантовая механика — это квантовая механика, применяемая совместно со специальной теорией относительности (СТО). Хотя более ранние формулировки, такие как представления Шрёдингера и Гейзенберга, изначально были сформулированы в нерелятивистской форме, некоторые из них (например, формализм Дирака или фейнмановский интеграл по траекториям) также учитывают СТО.

Ключевые особенности, общие для всех РКМ, включают: предсказание существования античастиц, спиновые магнитные моменты элементарных частиц со [[Спин-1/2|спином Шаблон:Дробь]], тонкую структуру и квантовую динамику заряженных частиц в электромагнитных полях. Основным результатом теории является уравнение Дирака, из которого эти предсказания возникают автоматически. Напротив, в нерелятивистской квантовой механике, чтобы достичь согласия с экспериментальными наблюдениями, нужно искусственно вводить дополнительные слагаемые в оператор Гамильтона.

Наиболее успешной (и наиболее широко используемой) РКМ является релятивистская квантовая теория поля (КТП), в которой элементарные частицы интерпретируются как кванты поля. Уникальным следствием КТП в сравнении с другими РКМ, которое экспериментально подтвердили является нарушение сохранения числа частиц, например, при создании и уничтожении материи.

В этой статье уравнения написаны в знакомых обозначениях трёхмерного векторного исчисления и используют шляпы для операторов (не обязательно в литературе), а там, где можно использовать компоненты пространства и времени, также используются тензорные индексы (часто используется в литературе), кроме того, используется правило суммирования Эйнштейна. Здесь используются распространённые в литературе единицы СИ; единицы Гаусса и натуральные единицы. Все уравнения даны в координатном представлении; а для импульсного представления нужно использовать преобразование Фурье см. координатное и импульсное пространства.

Объединение специальной теории относительности и квантовой механики

Один из подходов для расширения квантовой механики на релятивистские системы состоит в том, чтобы изменить представление Шредингера, чтобы оно соответствовало СТО.

Один из постулатов квантовой механики состоит в том, что эволюция во времени любой квантовой системы задаётся уравнением Шрёдингера:

<math>i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi =\hat{H}\psi</math>

с помощью подходящего оператора Гамильтона Шаблон:Math, описывающего квантовую систему. Решение этого уравнения представляет собой комплекснозначную волновую функцию Шаблон:Math, зависящую от трёхмерного радиус-вектора Шаблон:Math частицы в момент времени Шаблон:Math, описывает поведение системы.

Каждая частица обладает неотрицательным спиновым квантовым числом Шаблон:Math. Число Шаблон:Math — целое число, нечётное для фермионов и чётное для бозонов. Для каждого Шаблон:Math существует Шаблон:Math квантовых чисел — проекций на ось z; Шаблон:Math. Это дополнительная дискретная переменная, которая выступает дополнительным параметром волновой функции: Шаблон:Math.

Исторически сложилось так, что в начале 1920-х годов Паули, Крониг, Уленбек и Гаудсмит первыми предложили концепцию спина. Добавление спина в волновую функцию позволяет учитывать принцип запрета Паули (1925 г.) и более общую теорему о связи спина со статистикой (1939 г.), доказанную Маркусом Фирцем и заново выведенную Паули годом позже. Он объяснил многие явления в физике субатомных частиц: от электронных конфигураций атомов, ядер и, следовательно, всех элементов периодической таблицы и их химии, до конфигураций кварков и цветового заряда (свойства барионов и мезонов).

Фундаментальным предсказанием специальной теории относительности является релятивистское соотношение между энергией и импульсом для частицы с массой покоя Шаблон:Math в заданной системе отсчета с энергией Шаблон:Math и трёхмерным импульсом Шаблон:Math, выраженным скалярным произведением <math>p = \sqrt{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}</math>:

<math>E^2 = c^2\mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + (mc^2)^2\,.</math>

Эти уравнения используются вместе с операторами энергии и импульса, которые задаются в виде:

<math>\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,,\quad \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla\,,</math>

построить релятивистское волновое уравнение: дифференциальное уравнение в частных производных, согласующееся с релятивистским соотношением между энергией и импульсом частицы, которое решается относительно Шаблон:Math для предсказания её квантовой динамики. Чтобы пространство и время были равноправны в уравнении, как в теории относительности, порядки частных производных по координатам и времени должны быть одинаковыми и в идеале как можно более низкими, чтобы не нужно было указывать начальные значения производных. Это важно для вероятностных интерпретаций, приведённых ниже. Наименьший возможный порядок любого дифференциального уравнения — первый.

Представление Гейзенберга — это ещё одна формулировка квантовой механики, когда волновая функция Шаблон:Math не зависит от времени, а зависимость от времени перенесена на операторы Шаблон:Math и определяется уравнением движения:

<math>\frac{d}{dt}A = \frac{1}{i\hbar}[A,\hat{H}]+\frac{\partial}{\partial t}A\,,</math>

Это уравнение верно и в РКМ, при условии, что операторы Гейзенберга модифицированы для согласования с СТО.

В 1926 году Шрёдингер и Гейзенберг показали, что волновая механика и матричная механика эквивалентны, что позже было подтверждено Дираком с использованием теории преобразований.

Более современный подход к РКМ, впервые появившийся во время её распространения на частицы с любым спином, заключается в применении представлений группы Лоренца.

Пространство и время

В классической механике и нерелятивистской квантовой механике время — это абсолютная величина, с которой всегда могут согласиться все наблюдатели и частицы, «тикающая» на заднем фоне независимо от точки пространства. Таким образом, в нерелятивистской квантовой механике для системы многих частиц Шаблон:Math Шаблон:Math Шаблон:Math Шаблон:Math .

В релятивистской механике пространственные координаты и временная координата не являются абсолютными; любые два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга, могут измерять различные координаты и время событий. Координаты положения и времени естественным образом объединяются в четырёхмерный пространственно-временной вектор Шаблон:Math соответствующий событию, а энергия и 3-импульс естественным образом объединяются в четыре импульс Шаблон:Math движущейся частицы, измеренным в некоторой системе отсчёта, преобразуются в соответствии с преобразованием Лоренца, когда кто-то измеряет в другой системе отсчёта бусты и/или вращение относительно исходной рассматриваемой системы отсчёта. Операторы производных, а значит, операторы энергии и 3-импульса также не инвариантны и изменяются при преобразованиях Лоренца.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца Шаблон:Math в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния Шаблон:Math локально преобразуются при некотором представлении Шаблон:Math группы Лоренца:

<math>\psi_\sigma(\mathbf{r}, t) \rightarrow D(\Lambda) \psi_\sigma(\Lambda^{-1}(\mathbf{r}, t)) </math>

где Шаблон:Math — конечномерное (матричное) представление, квадратная матрица размерности Шаблон:Math. Опять же, Шаблон:Math рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с Шаблон:Math допустимыми значениями Шаблон:Math. Квантовые числа Шаблон:Math и Шаблон:Math, а также другие индексы, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение Шаблон:Math может встречаться более одного раза в зависимости от представления.

Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы

Классический гамильтониан для частицы в потенциале описывается суммой кинетической энергии Шаблон:Math и потенциальной энергии Шаблон:Math с соответствующим квантовым оператором в представлении Шрёдингера (координатном):

<math>\hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r},t)\,, </math>

а его подстановка в приведённое выше уравнение Шрёдингера приводит к нерелятивистскому уравнению квантовой механики для волновой функции. Эта процедура представляет собой прямую замену первоначального выражения для полной энергии. Напротив, в РКМ это не так просто; уравнение для связи энергии и импульса является квадратичным по энергии и импульсу, что приводит к трудностям. Прямая подстановка:

<math>\hat{H} = \hat{E} = \sqrt{c^2 \hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}} + (mc^2)^2} \quad \Rightarrow \quad i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \sqrt{c^2 \hat{\mathbf{p}}\cdot \hat{\mathbf{p}} + (mc^2)^2} \, \psi</math>

не помогает по нескольким причинам. Простого правила извлечения квадратного корня из операторов не существует. Его нужно было бы разложить в ряд по степеням, прежде чем оператор импульса, возведённый в степень в каждом члене, мог бы действовать на Шаблон:Math. В такой постановки задачи степенной ряд производных по координатам и времени полностью асимметричны: производные по пространственным координатам бесконечного порядка, но производные по времени только первого порядка, что некрасиво и громоздко. Опять возникает проблема неинвариантности оператора энергии, приравненного к квадратному корню, который также не является инвариантным. Другая проблема, менее очевидная и более серьёзная, состоит в том, что можно показать, что она нелокальна и может даже нарушать причинно-следственную связь: если частица первоначально локализована в точке Шаблон:Math, так что Шаблон:Math конечна и равна нулю в любом другом месте, то в любой более поздний момент уравнение предсказывает делокализацию: Шаблон:Math везде, даже для Шаблон:Math, что означает, что частица может достичь точки до того, как это сможет сделать световой сигнал. Это должно исправляться наложением дополнительного ограничения Шаблон:Math.

Существует также проблема учёта спина в гамильтониане, что не предсказывается в нерелятивистской теории Шредингера. Частицы со спином имеют соответствующий спиновый магнитный момент, равный в квантованный единицах Шаблон:Math, магнетону Бора:

<math>\hat{\boldsymbol{\mu}}_S = - \frac{g\mu_B}{\hbar}\hat{\mathbf{S}}\,,\quad \left|\boldsymbol{\mu}_S\right| = - g\mu_B \sigma\,,</math>

где Шаблон:Math — (спиновый) g-фактор частицы, а Шаблон:Math — спиновый оператор, поэтому они взаимодействуют с электромагнитными полями. Для частицы во внешнем магнитном поле Шаблон:Math член взаимодействия вида

<math>\hat{H}_B = - \mathbf{B} \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S </math>

необходимо добавить к приведённому выше нерелятивистскому гамильтониану. Напротив; релятивистский гамильтониан автоматически вводит спин как требование соблюдения релятивистского соотношения связи энергии и импульса.

Релятивистские гамильтонианы аналогичны нерелятивистским в квантовой механике в следующем отношении; есть условия, включающие массу покоя и условия взаимодействия с внешними полями, подобные классическому слагаемому соответствующему потенциальной энергии, а также слагаемые с импульсом, такие как классический вклад кинетической энергии. Ключевое отличие состоит в том, что релятивистские гамильтонианы содержат спиновые операторы в виде матриц, в которых умножение матриц выполняется по спиновому индексу Шаблон:Math, поэтому в общем случае релятивистский гамильтониан:

<math>\hat{H} = \hat{H}(\mathbf{r}, t, \hat{\mathbf{p}}, \hat{\mathbf{S}})</math>

является функцией пространства, времени и операторов импульса и спина.

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака для свободных частиц

Подстановка операторов энергии и импульса непосредственно в соотношение релятивистской энергии и импульса может на первый взгляд показаться привлекательной, чтобы получить уравнение Клейна — Гордона:

<math>\hat{E}^2 \psi = c^2\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}\psi + (mc^2)^2\psi \,,</math>

и в таком виде было открыто многими людьми из-за простого способа его получения, в частности Шрёдингером в 1925 году, прежде чем он нашёл нерелятивистское уравнение, названное в его честь, и Клейном и Гордоном в 1927 году, которые включили в уравнение электромагнитные взаимодействия. Это уравнение релятивистски инвариантно, но само по себе оно не является достаточным основанием для РКМ по нескольким причинам; одна состоит в том, что существуют состояния с отрицательной энергией являющимися решениями, другая — это плотность вероятности (приведённая ниже), а также то, что это уравнение в его нынешнем виде применимо только к бесспиновым частицам. Это уравнение можно представить в виде:

<math>

\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\left(\hat{E} + c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2 \right)\psi=0 \,, </math>

где Шаблон:Math и Шаблон:Math — не просто числа или векторы, а эрмитовы матрицы размера 4 × 4, для которых выполняются условия антикоммутивности для Шаблон:Math:

<math>\alpha_i \beta = - \beta \alpha_i, \quad \alpha_i\alpha_j = - \alpha_j\alpha_i \,,</math>

и их квадрат равен единичной матрице:

<math> \alpha_i^2 = \beta^2 = I \,, </math>

так что члены со смешанными производными второго порядка сокращаются, а производные второго порядка по пространственным координатам и времени остаются. Первый множитель:

<math>\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\psi=0 \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2</math>

называется уравнением Дирака. Другой множитель — тоже уравнение Дирака, но для частицы с отрицательной массой. Каждый фактор релятивистски инвариантен. Рассуждения можно провести и наоборот: предложить вид гамильтониана в приведённом выше виде, как это сделал Дирак в 1928 году, затем предварительно умножить уравнение на другой множитель из операторов Шаблон:Math, и сравнить с уравнением Клейна — Гордона для определения ограничений для матриц Шаблон:Math и Шаблон:Math. Уравнение с положительной массой можно продолжать использовать без потери согласованности. При действии на Шаблон:Math матрицами, предполагают, что это не скалярная волновая функция, что разрешено для уравнения Клейна — Гордона, а вместо этого должна быть четырёхкомпонентная величина. Уравнение Дирака по-прежнему предсказывает решения с отрицательной энергией, поэтому Дирак постулировал, что состояния с отрицательной энергией всегда заняты, потому что в соответствии с принципом Паули электронные переходы с положительных на отрицательные энергетические уровни в атомах были бы запрещены. Подробнее см. Море Дирака.

Плотности вероятности и токи

В копенгагенской интерпретации квантовой механики, созданной около 1927 года, квадрат модуля волновой функции Шаблон:Math даёт функцию плотности вероятности Шаблон:Math. В РКМ, Шаблон:Math — волновая функция, но интерпретация вероятности не такая, как в нерелятивистской квантовой механике. Некоторые РКМ не предсказывают плотность вероятности Шаблон:Math или ток вероятности Шаблон:Math (на самом деле это означает плотность тока вероятности), потому что они не являются положительно определёнными функциями пространственных координат и времени. Уравнение Дирака приводит к

<math>\rho=\psi^\dagger \psi, \quad \mathbf{j} = \psi^\dagger \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \psi \quad \rightleftharpoons \quad J^\mu = \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu \psi\,, </math>

где крестиком обозначен эрмитов сопряжённый (обычно авторы пишут Шаблон:Math для дираковского сопряжения), а Шаблон:Math — вероятностный четырёхток, а уравнение Клейна — Гордона не имеет:

<math>\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\right)\, ,\quad \mathbf{j} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*\right) \quad \rightleftharpoons \quad J^\mu = \frac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*) \,,</math>

где Шаблон:Math — четырёхградиента. Поскольку начальные значения как Шаблон:Math, так и Шаблон:Math могут быть выбраны свободно, плотность тока может быть отрицательной.

Величины «плотности вероятности» и «тока вероятности», должны быть интерпретированы как плотность заряда и плотность тока при умножении на электрический заряд. Тогда волновая функция Шаблон:Math вообще не является волновой функцией, а интерпретируется как поле. Плотность заряда и ток электрического заряда всегда удовлетворяют уравнению непрерывности:

<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 \quad \rightleftharpoons \quad \partial_\mu J^\mu = 0 \,, </math>

так как заряд является сохраняющейся величиной. Плотность вероятности и ток вероятности также удовлетворяют уравнению неразрывности, поскольку вероятность сохраняется, однако это возможно только при отсутствии взаимодействий.

Спин и электромагнитно взаимодействующие частицы

Включение взаимодействий в РКМ, как правило, затруднено. Модель с минимальной связью — это простой способ учёта электромагнитного взаимодействия. Для одной заряженной частицы с электрическим зарядом Шаблон:Math в электромагнитном поле, определяемой магнитным векторным потенциалом Шаблон:Math определяемым магнитным полем Шаблон:Math, и электрическим скалярным потенциалом Шаблон:Math:

<math>\hat{E} \rightarrow \hat{E} - q\phi \,, \quad \hat{\mathbf{p}}\rightarrow \hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A} \quad \rightleftharpoons \quad \hat{P}_\mu \rightarrow \hat{P}_\mu -q A_\mu</math>

где Шаблон:Math — 4-импульс, которому соответствует 4-импульсный оператор, а Шаблон:Math — 4-потенциал. В дальнейшем нерелятивистский предел относится к предельным случаям:

<math>E - e\phi \approx mc^2\,,\quad \mathbf{p} \approx m \mathbf{v}\,,</math>

где полная энергия частицы приблизительно равна энергии покоя для малых электрических потенциалов, а импульс приблизительно равен классическому импульсу.

Спин 0

В РКМ уравнение Клейна — Гордона допускает использование минимальной связи следующего типа

<math>{(\hat{E} - q\phi)}^2 \psi = c^2{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2\psi + (mc^2)^2\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{(\hat{P}_\mu - q A_\mu)}{(\hat{P}^\mu - q A^\mu)} - {(mc)}^2 \right] \psi = 0.</math>

В случае, когда заряд равен нулю, уравнение сводится к свободному уравнению Клейна — Гордона, поэтому ниже предполагается ненулевой заряд. Это скалярное уравнение, инвариантное относительно неприводимого одномерного скалярного Шаблон:Math представления группы Лоренца. Это означает, что все его решения будут принадлежать прямой сумме Шаблон:Math представлений. Решения, не принадлежащие неприводимому Шаблон:Math представлению, будут иметь два или более независимых компонента. Такие решения, вообще говоря, не могут описывать частицы с ненулевым спином, поскольку компоненты спина не являются независимыми. Для этого придётся наложить другое ограничение, например, уравнение Дирака для спина Шаблон:Дробь2 ниже. Таким образом, если система удовлетворяет только уравнению Клейна — Гордона, её можно интерпретировать только как систему с нулевым спином.

Электромагнитное поле рассматривается классически в соответствии с уравнениями Максвелла, а частица описывается волновой функцией, решением уравнения Клейна — Гордона. Уравнение в его нынешнем виде не всегда очень полезно, потому что массивные бесспиновые частицы, такие как π -мезоны, испытывают дополнительно сильное взаимодействие помимо электромагнитного взаимодействия. Однако оно правильно описывает заряженные бесспиновые бозоны в отсутствие других взаимодействий.

Уравнение Клейна — Гордона применимо к бесспиновым заряженным бозонам во внешнем электромагнитном потенциале. Таким образом, уравнение нельзя применить к описанию атомов, поскольку электрон представляет собой частицу со спином Шаблон:Дробь2. В нерелятивистском пределе уравнение сводится к уравнению Шрёдингера для бесспиновой заряженной частицы в электромагнитном поле:

<math>\left ( i\hbar \frac{\partial}{\partial t}- q\phi\right) \psi = \frac{1}{2m}{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2 \psi \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = \frac{1}{2m}{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2 + q\phi.</math>

Спин Шаблон:Дробь2

В нерелятивистской квантовой механике спин был феноменологически введён в уравнение Паули его создателем в 1927 году для частиц в электромагнитном поле:

<math>\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - q \phi \right) \psi = \left[ \frac{1}{2m}{(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))}^2 \right] \psi \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = \frac{1}{2m}{(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))}^2 + q \phi </math>

с помощью матрицы Паули размерности 2 × 2, а Шаблон:Math — это не просто скалярная волновая функция, как в нерелятивистском уравнении Шрёдингера, а двухкомпонентный спинор:

<math>\psi=\begin{pmatrix}\psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow} \end{pmatrix}\,,</math>

где индексы ↑ и ↓ относятся к состояниям со «спином вверх» (Шаблон:Math) и «спину вниз» (Шаблон:Math).

В РКМ уравнение Дирака также может включать минимальную связь

<math>\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} -q\phi \right)\psi = \gamma^0 \left[ c\boldsymbol{\gamma}\cdot{(\hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A})} - mc^2 \right] \psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma^\mu (\hat{P}_\mu - q A_\mu) - mc^2 \right]\psi = 0</math>

и матрицы Дирака имеют размер 4 × 4, Шаблон:Math. Существует единичная матрица 4 × 4, предварительно умножающая оператор энергии (включая потенциальную энергию), обычно не записываемая для простоты и ясности (то есть рассматриваемая как число 1). Здесь Шаблон:Math — четырёхкомпонентный спинор, который условно разбивается на два двухкомпонентных спинора в виде:

<math>\psi=\begin{pmatrix}\psi_{+} \\ \psi_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\psi_{+\uparrow} \\ \psi_{+\downarrow} \\ \psi_{-\uparrow} \\ \psi_{-\downarrow} \end{pmatrix} </math>

2-спинор Шаблон:Math соответствует частице с 4-импульсом Шаблон:Math и зарядом Шаблон:Math и двумя спиновыми состояниями (Шаблон:Math как и раньше). Другой 2-спинор Шаблон:Math соответствует аналогичной частице с той же массой и спиновыми состояниями, но с отрицательным 4-импульсомШаблон:Math и отрицательным зарядом Шаблон:Math, то есть состояниями с отрицательной энергией, обращённым во времени импульсом и отрицательным зарядом. Это была первая интерпретация и предсказание частицы и соответствующей ей античастицы. В нерелятивистском пределе уравнение Дирака сводится к уравнению Паули. При применении к одноэлектронному атому или иону, калибровка Шаблон:Math и Шаблон:Math для соответствующего электростатического потенциала, дополнительные релятивистские члены включают спин-орбитальное взаимодействие, гиромагнитное отношение электронов и дарвиновский вклад. В нереляьтвтстской квантовой механике эти члены приходится вводить вручную и проводить рассчёт с помощью теории возмущений. Положительные энергии действительно точно объясняют тонкую структуру.

В рамках РКМ для безмассовых частиц уравнение Дирака сводится к

<math> \left(\frac{\hat{E}}{c} + \boldsymbol{\sigma}\cdot \hat{\mathbf{p}} \right) \psi_{+} = 0 \,,\quad \left(\frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\sigma}\cdot \hat{\mathbf{p}} \right) \psi_{-} = 0 \quad \rightleftharpoons \quad \sigma^\mu \hat{P}_\mu \psi_{+} = 0\,,\quad \sigma_\mu \hat{P}^\mu \psi_{-} = 0\,,</math>

первым из которых является уравнение Вейля, — значительное упрощение, применимое к безмассовым нейтрино. На этот раз имеется единичная матрица 2 × 2, на которую умножается оператор энергии, обычно не записываемая. В РКМ полезно принять её как нулевую матрицу Паули Шаблон:Math, которая связана с оператором энергии (производной по времени), так же как другие три матрицы связаны с оператором импульса (пространственными производными).

Матрицы Паули и гамма-матрицы используются в теоретической физике, а не в чистой математике. У них есть приложения к кватернионам и к группам Ли, SO (2) и SO (3), потому что они удовлетворяют важным коммутационным соостношениям:коммутатор [ , ] и антикоммутатор [ , ]₊ соответственно:

<math>\left[\sigma_a, \sigma_b \right] = 2i \varepsilon_{abc} \sigma_c \,, \quad \left[\sigma_a, \sigma_b \right]_{+} = 2\delta_{ab}\sigma_0</math>

где Шаблон:Math — трёхмерный символ Леви-Чивиты. Гамма-матрицы образуют базис в алгебре Клиффорда и связаны с компонентами плоской пространственно-временной метрики Минковского Шаблон:Math антикоммутационным соотношением:

<math>\left[\gamma^\alpha,\gamma^\beta\right]_{+} = \gamma^\alpha\gamma^\beta + \gamma^\beta\gamma^\alpha = 2\eta^{\alpha\beta}\,,</math>

(Это можно распространить на искривленное пространство-время, но это не является предметом изучения специальной теории относительности).

В 1929 году было обнаружено, что уравнение Брейта описывает два или более электромагнитно взаимодействующих массивных фермионов со спином Шаблон:Дробь2 с релятивистскими поправками первого порядка; одна из первых попыток описать такую релятивистскую квантовую систему многих частиц. Однако это всё ещё только приближение, и полный гамильтониан включает в себя множество длинных и сложных сумм.

Спиральность и хиральность

Оператор спиральности определяется как

<math>\hat{h} = \hat{\mathbf{S}}\cdot \frac{\hat{\mathbf{p}}}{|\mathbf{p}|} = \hat{\mathbf{S}} \cdot \frac{c\hat{\mathbf{p}}}{\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}</math>

где p — оператор импульса, S — оператор спина для частицы со спином s, E — полная энергия частицы, а m₀ — её масса покоя. Спиральность указывает на ориентацию векторов спина и импульса частицы. Спиральность зависит от системы отсчёта из-за присутствия 3-импульса в определении и квантуется по спину, которое имеет дискретные положительные значения для параллельного выравнивания и отрицательные значения для антипараллельного выравнивания.

Автоматическим появлением в уравнении Дирака (и уравнении Вейля) является проекция оператора спина Шаблон:Дробь2 на 3-импульс (умноденного на c), Шаблон:Math, который является спиральностью (для спина Шаблон:Дробь2 умноженного на <math>\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}\,.</math>

Для безмассовых частиц спиральность упрощается до:

<math>\hat{h} = \hat{\mathbf{S}} \cdot \frac{c\hat{\mathbf{p}}}{E}\,. </math>

Высшие спины

Уравнение Дирака описывает только частицы со спином Шаблон:Дробь2. Помимо уравнения Дирака, РКМ применялись к свободным частицам с различными спинами. В 1936 году Дирак распространил своё уравнение на все фермионы, три года спустя Фирц и Паули заново вывели то же уравнение. Уравнения Баргмана — Вигнера были найдены в 1948 году с использованием теории групп Лоренца, применимой для всех свободных частиц с любым спином. Учитывая приведённую выше факторизацию уравнения Клейна — Гордона и, более строго, теорию групп Лоренца, становится очевидным введение спина в виде матриц.

Волновые функции представляют собой многокомпонентные спинорные поля, которые можно представить в виде вектор-столбцов функций в пространстве и времени:

<math>\psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \end{bmatrix}\quad\rightleftharpoons\quad {\psi(\mathbf{r},t)}^\dagger = \begin{bmatrix} {\psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t)}^\star & \cdots & {\psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t)}^\star \end{bmatrix}</math>

где выражение справа является эрмитово сопряжённым. Для массивной частицы со спином Шаблон:Math имеется Шаблон:Math компонент для частицы и ещё Шаблон:Math для соответствующей античастицы (в каждом случае имеется Шаблон:Math возможных значений проекций Шаблон:Math), вместе образующих Шаблон:Math-компонент спинорного поля:

<math>\psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \psi_{+,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{+,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{+,\,\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{+,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{-,\,\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \end{bmatrix}\quad\rightleftharpoons\quad {\psi(\mathbf{r},t)}^\dagger\begin{bmatrix} {\psi_{+,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{+,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t)}^\star & \cdots & {\psi_{-,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t)}^\star \end{bmatrix} </math>

с нижним индексом +, указывающим на частицу, и нижним индексом − на античастицу. Однако для безмассовых частиц со спином s всегда существуют только двухкомпонентные спинорные поля; одно для частицы в одном состоянии спиральности, соответствующем +s, а другое для античастицы в противоположном состоянии спиральности, соответствующем −s:

<math>\psi(\mathbf{r},t) = \begin{pmatrix} \psi_{+}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-}(\mathbf{r},t) \end{pmatrix}</math>

Согласно релятивистскому соотношению энергии-импульса все безмассовые частицы движутся со скоростью света, поэтому частицы, движущиеся со скоростью света, также описываются двухкомпонентными спинорами. Исторически сложилось так, что Эли Картан обнаружил наиболее общую форму спиноров в 1913 году, до спиноров, обнаруженных в РКМ после 1927 года.

Для уравнений, описывающих частицы с высшими спинами, включение взаимодействий далеко не просто минимальная связь, они приводят к неверным предсказаниям и самопротиворечиям. Для спина больше, чем Шаблон:Дробь2, РКМ не фиксируется массой, спином и электрическим зарядом частицы; электромагнитные моменты (электрические дипольные моменты и магнитные дипольные моменты), допускаемые спиновым квантовым числом произвольны. (Теоретически магнитный заряд тоже должен внести свой вклад). Например, частица со спином Шаблон:Дробь2 имеет только магнитный диполь, но для частиц со спином 1 возможны также магнитные квадруполи и электрические диполи. Для получения дополнительной информации по этой теме см. Мультипольное разложение и (например) Cédric Lorcé (2009).

Оператор скорости

Оператор скорости Шрёдингера/Паули может быть определён для массивной частицы с использованием классического определения Шаблон:Math и обычной подстановкой квантовых операторов:

<math>\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{m}\hat{\mathbf{p}}</math>

которая имеет собственные значения, принимающие любое значение. В РКМ, теории Дирака, это:

<math>\hat{\mathbf{v}} = \frac{i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\mathbf{r}}\right]</math>

который должен иметь собственные значения в интервале между ± c. См. Преобразование Фолди — Ваутхейзена.

Релятивистские квантовые лагранжианы

Гамильтоновы операторы в картине Шрёдингера представляют собой один из подходов к формированию дифференциальных уравнений для волновой функции Шаблон:Math. Эквивалентная альтернатива состоит в том, чтобы определить лагранжиан (на самом деле это означает плотность лагранжиана), а затем сгенерировать дифференциальное уравнение с помощью теоретико-полевого уравнения Эйлера — Лагранжа:

<math> \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0 \,</math>

Для некоторых РКМ лагранжианов можно найти путём проверки. Например, лагранжиан Дирака:

<math>\mathcal{L} = \overline{\psi}(\gamma^\mu P_\mu - mc)\psi\,,</math>

а лагранжиан Клейна — Гордона:

<math>\mathcal{L} = - \frac{\hbar^2}{m} \eta^{\mu \nu} \partial_{\mu}\psi^{*} \partial_{\nu}\psi - m c^2 \psi^{*} \psi\,.</math>

Это возможно не для всех уравнений РКМ; и это одна из причин, по которой теоретико-групповой подход Лоренца важен и привлекателен: фундаментальная инвариантность и симметрии в пространстве и времени могут быть использованы для получения РКМ с использованием соответствующих групповых представлений. Лагранжев подход с полевой интерпретацией волновой фкнкции Шаблон:Math является предметом квантовой теории поля, а не РКМ: формулировка интеграла по траекториям Фейнмана использует инвариантные лагранжианы, а не гамильтоновы операторы, поскольку последние могут стать чрезвычайно сложными, см., например, Weinberg (1995).

Релятивистский квантовый угловой момент

В нерелятивистской КМ оператор углового момента формируется из классического определения псевдовектора Шаблон:Math. В РКМ операторы положения и импульса вставляются непосредственно там, где они появляются в орбитальном релятивистском тензоре углового момента, определяемом четырёхмерным положением и импульсом частицы, что эквивалентно бивектору в формализме внешней алгебры:

<math>M^{\alpha\beta} = X^\alpha P^\beta - X^\beta P^\alpha = 2 X^{[\alpha} P^{\beta]} \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{M} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P}\,,</math>

всего шесть компонент: три — нерелятивистские 3-угловые моменты; Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, а остальные три Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math являются бустами центра масс вращающегося объекта. Для частиц со спином необходимо добавить дополнительный релятивистский квантовый вклад. Для частицы с массой покоя Шаблон:Math тензор полного углового момента равен:

<math>J^{\alpha\beta} = 2X^{[\alpha} P^{\beta]} + \frac{1}{m^2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} W_\gamma p_\delta \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{J} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P} + \frac{1}{m^2}\star(\mathbf{W}\wedge\mathbf{P})</math>

где звездочка обозначает звезду Ходжа, а

<math>W_\alpha =\frac{1}{2}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}M^{\beta \gamma}p^\delta \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{W} = \star(\mathbf{M}\wedge\mathbf{P})</math>

— псевдовектор Паули — Лубански. Для получения дополнительной информации о релятивистском спине см., например, Трошин и Тюрин (1994).

Прецессия Томаса и спин-орбитальные взаимодействия

В 1926 году открыта прецессия Томаса: релятивистские поправки к спину элементарных частиц с применением в спин-орбитальном взаимодействии атомов и вращении макроскопических объектов. В 1939 году Вигнер вывел прецессию Томаса.

В классическом электромагнетизме и специальной теории относительности электрон, движущийся со скоростью Шаблон:Math в электрическом поле Шаблон:Math, но не в магнитном поле Шаблон:Math, будет в своей собственной системе отсчёта испытывать магнитное поле Шаблон:Math возникающее из преобразований Лоренца:

<math>\mathbf{B}' = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2\sqrt{1- \left(v/c\right)^2}} \,.</math>

В нерелятивистском пределе Шаблон:Math :

<math>\mathbf{B}' = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} \,,</math>

поэтому гамильтониан нерелятивистского спинового взаимодействия принимает вид:

<math>\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,, </math>

где первый член — это уже нерелятивистское взаимодействие магнитных моментов, а второй — релятивистская поправка порядка Шаблон:Math, но это расходится с экспериментальными атомными спектрами на множитель Шаблон:Дробь. На это указывал Л. Томас, что существует второй релятивистский эффект: составляющая электрического поля, перпендикулярная скорости электрона, вызывает дополнительное ускорение электрона, перпендикулярное его мгновенной скорости, поэтому электрон движется по криволинейной траектории. Электрон движется во вращающейся системе отсчета, и эта дополнительная прецессия электрона называется прецессией Томаса. Можно показать, что конечным результатом этого эффекта является то, что спин-орбитальное взаимодействие уменьшается вдвое, как если бы магнитное поле, испытываемое электроном, имеет только половину значения, а релятивистская поправка в гамильтониане принимает вид:

<math>\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{2c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,.</math>

В случае РКМ мнодитель Шаблон:Дробь предсказывается уравнением Дирака.

История

События, которые привели к созданию РКМ, а также её развитие до квантовой электродинамики (КЭД), резюмируются ниже [см., например, Р. Резника и Р. Эйсберга (1985) и П. В. Аткинса (1974) ]. Более полувека экспериментальных и теоретических исследований с 1890-х по 1950-е годы в новой и загадочной квантовой теории по мере её возникновения и развития показали, что ряд явлений не может быть объяснён одной нерелятивистской квантовой механикой. Специальная теория относительности, обнаруженная на рубеже 20-го века, оказалась необходимым компонентом, ведущим к унификации: РКМ. Теоретические предсказания и эксперименты в основном были сосредоточены на недавно появившихся атомной физике, ядерной физике и физике элементарных частиц; рассматривая спектроскопию, дифракцию и рассеяние частиц, а также электронов и ядер внутри атомов и молекул. Многочисленные результаты приписываются эффектами спина.

Релятивистское описание частиц в квантовых явлениях

Альберт Эйнштейн в 1905 году объяснил фотоэлектрический эффект; корпускулятным описанием света как фотонов. В 1916 году Зоммерфельд объясняет тонкую структуру; расщепление спектральных линий атомов из-за релятивистских поправок первого порядка. Эффект Комптона 1923 года предоставил больше доказательств того, что специальная теория относительности действительно применима; в данном случае к корпускулярному описанию фотон-электронного рассеяния. Де Бройль распространил дуализм волна-частица на материю: соотношения де Бройля, которые согласуются со специальной теорией относительности и квантовой механикой. К 1927 году Дэвиссон и Джермер и отдельно Г. Томсон успешно продемонстрировали дифракцию электронов, предоставив экспериментальные доказательства корпускулярно-волнового дуализма.

Эксперименты

• 1897 г. Дж. Дж. Томсон открывает электрон и измеряет отношение его массы к заряду. Открытие эффекта Зеемана: расщепление спектральной линии на несколько компонент в присутствии постоянного магнитного поля.
• 1908 г. Милликен измеряет заряд электрона и находит экспериментальные доказательства его квантования в эксперименте с каплей масла.
• 1911 г. Рассеяние альфа-частиц в эксперименте Гейгера — Марсдена под руководством Резерфорда показало, что атомы обладают внутренней структурой: атомным ядром.
• 1913 г. Открыт эффект Штарка: расщепление спектральных линий из-за статического электрического поля (сравните с эффектом Зеемана).
• 1922 г. Эксперимент Штерна — Герлаха: экспериментальные доказательства существования спина и его квантования.
• 1924 г. Стоунер изучает расщепление энергетических уровней в магнитных полях.
• 1932 г. Экспериментальное открытие нейтрона Чедвиком и позитронов Андерсоном, подтверждающее теоретическое предсказание позитронов.
• 1958 г. Открытие эффекта Мессбауэра: резонансное и безоткатное излучение и поглощение гамма-излучения атомными ядрами, связанными в твёрдом теле, полезно для точных измерений гравитационного красного смещения и замедления времени, а также для анализа ядерных электромагнитных моментов в сверхтонких взаимодействиях.

Квантовая нелокальность и релятивистская локальность

В 1935 году; Эйнштейн, Розен, Подольский опубликовали статью о квантовой запутанности частиц, ставя под сомнение квантовую нелокальность и очевидное нарушение причинно-следственной связи, поддерживаемой СТО: частицы могут мгновенно взаимодействовать на произвольных расстояниях. Это было заблуждением, поскольку информация не передаётся и не может передаваться в запутанных состояниях; скорее передача информации происходит в процессе измерения двумя наблюдателями (один наблюдатель должен послать другому сигнал, который не может превышать скорость света). QM не нарушает СТО. В 1959 году Бом и Ааронов публикуют статью об эффекте Ааронова — Бома, в которой ставится под сомнение статус электромагнитных потенциалов в квантовой механике. Формулировки тензора электромагнитного поля и электромагнитного 4-потенциала применимы в СТО, но в квантовой механике потенциалы входят в гамильтониан (см. выше) и влияют на движение заряженных частиц даже в областях, где поля равны нулю. В 1964 году в статье о парадоксе ЭПР была опубликована теорема Белла, показывающая, что квантовую механику нельзя вывести из локальных теорий со скрытыми переменными, если необходимо сохранить локальность.

Лэмбовский сдвиг

В 1947 году был открыт лэмбовский сдвиг: небольшая разница в энергиях ²S_{Шаблон:Frac} и ²P_{Шаблон:Frac} уровней водорода из-за взаимодействия между электроном и вакуумом. Лэмб и Ретерфорд экспериментально измерили вынужденные радиочастотные переходы ²S_{Шаблон:Frac} и ²P_{Шаблон:Frac} уровня водорода с помощью микроволнового излучения. Объяснение сдвига Лэмба представлено Бете. Статьи об этом эффекте были опубликованы в начале 1950-х годов.

Развитие квантовой электродинамики

• 1943 г. Томонага начинает работу по перенормировке, оказавшую влияние на КЭД.
• 1947 г. Швингер вычисляет аномальный магнитный момент электрона. Куш измеряет аномальный магнитный момент электрона, подтверждая одно из важных предсказаний КЭД.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book