Русская Википедия:Сумма трёх кубов

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Sum of 3 cubes.svg
Полулогарифмический график решений x3 + y3 + z3 = n для целых чисел x, y и z и n в интервале [0, 100]. Зелёные полосы обозначают доказанное отсутствие решения

Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.

Соответствующее диофантово уравнение записывается как <math>x^3 + y^3 + z^3 = n.</math> Необходимое условие для представимости числа <math>n</math> в виде суммы трёх кубов: <math>n</math> при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5.

В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.

История

Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для <math>n = 2</math> — в 1908 году А. С. Веребрюсов[1] (учитель математики Феодосийской мужской гимназии, сын С. И. Веребрюсова), для <math>n = 1</math> — в 1936 году МалерШаблон:R.

Решения

Необходимое условие для представимости числа <math>n</math> в виде суммы трёх кубов: <math>n</math> при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5; так как куб любого целого числа при делении на 9 даёт остаток 0, 1 или 8, то сумма трёх кубов при делении на 9 не может дать остатка 4 или 5Шаблон:R. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое <math>n</math>, не дающее остатка 4 или 5 при делении на 9, имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубовШаблон:R.

Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придется искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оноШаблон:R.

Случай <math>n = 33</math>, представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примеромШаблон:R.

Небольшие числа

Для <math>n = 0</math> существуют только тривиальные решения

<math>a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0.</math>

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3Шаблон:R: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для <math>n = 1</math> и <math>n = 2</math> существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

<math>(9b^4)^3 + (3b - 9b^4)^3 + (1 - 9b^3)^3 = 1,</math>
<math>(1 + 6c^3)^3 + (1 - 6c^3)^3 + (-6c^2)^3 = 2.</math>

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1Шаблон:R. Для 2 другими известными представлениями являютсяШаблон:R

<math>1\ 214\ 928^3 + 3\ 480\ 205^3 + (-3\ 528\ 875)^3 = 2,</math>
<math>37\ 404\ 275\ 617^3 + (-25\ 282\ 289\ 375)^3 + (-33\ 071\ 554\ 596)^3 = 2,</math>
<math>373\ 783\ 0626\ 090^3 + 1\ 490\ 220\ 318\ 001^3 + (-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^3 = 2.</math>

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубовШаблон:R.

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степениШаблон:R. Даже в случае представлений <math>n = 3</math> Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений

<math>4^3 + 4^3 + (-5)^3 = 3,</math>
<math>1^3 + 1^3 + 1^3 = 3,</math>

и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9Шаблон:R. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine[2]Шаблон:R:

<math>569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^3 + (-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^3 + (-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^3 = 3,</math>

Остальные числа

С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютераШаблон:RШаблон:R.

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588Шаблон:R. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966Шаблон:R.

Elsenhans и Jahnel в 2009 годуШаблон:R использовали метод ЭлкисаШаблон:R, применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения <math>x^3 + y^3 + z^3 = n</math> для положительных <math>n</math> не больше 1000 и для <math>\max\big(|x|, |y|, |z|\big) < 10^{14}</math>Шаблон:R, затем Хёйсман в 2016 годуШаблон:R расширил поиск до <math>\max\big(|x|, |y|, |z|\big) < 10^{15}</math>.

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным <math>\min\big(|x|, |y|, |z|\big)</math>, а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795Шаблон:R:

<math>33 = 8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^3 + (-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^3 + (-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^3,</math>
<math>795 = (-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^3 + 14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^3 + 2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^3.</math>

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity EngineШаблон:R:

<math>42 = (-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^3 + 80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^3 + 12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^3.</math>

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 [3]:

<math>906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^3 + 72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^3 + 35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^3.</math>

А затем 165[4]:

<math>165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^3 + 383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^3 + 98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^3.</math>

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 7 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975Шаблон:R.

Наименьший нерешённый случай — <math>n = 114</math>Шаблон:R.

Варианты

Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с проблемой Варинга. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачиШаблон:R. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную асимптотическую плотностьШаблон:R, хотя Тревор Вули показал, что таким образом возможно представить <math>\Omega(n^{0{,}917})</math> чисел в интервале от <math>1</math> до <math>n</math>Шаблон:R. Плотность не более <math>\Gamma(4/3)^3 / 6 \approx 0{,}119</math>Шаблон:R.

Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов рациональных чиселШаблон:R.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок w08 не указан текст
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Сумма_трёх_кубов&oldid=10885691