Русская Википедия:Супернатуральные числа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Супернатуральные числа (иногда также именуемые обобщёнными натуральными числами или числами Штайница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число <math>\omega</math> является формальным произведением:

<math>\omega = \prod_p p^{n_p},</math>

где <math>p</math> может быть любым простым числом, а каждое <math>n_p</math> является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут <math>v_p(\omega)</math> для обозначения <math>n_p</math>. Если не выполняется условие <math>n_p = \infty</math> и имеется только конечное число ненулевых <math>n_p</math>, получаем стандартный натуральный ряд. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют любому данному простому числу делить число <math>\omega</math> «бесконечнократно», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного способа определить сложение на множестве супернатуральных чисел, но их можно перемножать: <math>\prod_p p^{n_p}\cdot\prod_p p^{m_p}=\prod_p p^{n_p+m_p}</math>. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости <math>\omega_1\mid\omega_2</math> если <math>v_p(\omega_1)\leq v_p(\omega_2)</math> для всех <math>p</math>. Можно также ввести для супернатуральных чисел понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, определив

<math>\displaystyle \operatorname{lcm}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\sup(v_p(\omega_i))}</math>

<math>\displaystyle \operatorname{gcd}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\inf(v_p(\omega_i))}</math>

С помощью этих алгоритмов можно как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Обычные p-адические функции можно распространить на супернатуральные числа, определив <math>v_p(\omega)=n_p</math> для каждого <math>p</math>.

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп; благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.

Ссылки

• Planet Math: Supernatural number