Русская Википедия:Теорема Кейси
Теорема Кейси или Кэзи — теорема в евклидовой геометрии, обобщающая неравенство Птолемея. Названа по имени ирландского математика Джона Кейси.
Формулировка
Пусть <math>O</math> — окружность радиуса <math>R</math>. Пусть <math>O_1, O_2, O_3, O_4</math> — (в указанном порядке) четыре непересекающихся окружности, лежащие внутри <math>O</math> и касающиеся её. Обозначим через <math>t_{ij}</math> длину отрезка между точками касания внешней общей касательной окружностей <math>O_i, O_j</math>. ТогдаШаблон:Sfn:
- <math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.</math>
В вырожденном случае, когда все четыре окружности сводятся к точкам (окружности радиуса 0), получается в точности теорема Птолемея.
Замечания
Теорема Кейси справедлива для шести попарных касательных четырёх окружностей, касающихся одной общей окружности не только внутренним образом, как разобрано выше, но и внешним образом, как показано на рис. ниже.
При этом выполняется обычная формула теоремы Кэйси:
- <math>t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}</math>.
- В вырожденном случае, когда три из четырёх окружностей сводятся к точкам (окружности радиуса 0), и одна сторона четырёхугольника вырождается в точку, а три оставшиеся стороны четырёхугольника образуют равносторонний треугольник, получается в точности обобщённая теорема Помпею.
- В вырожденном случае, когда все четыре окружности сводятся к точкам (окружности радиуса 0), в последнем случае также получается теорема Птолемея.
Доказательство
Следующее доказательство принадлежит (согласно БоттемаШаблон:Sfn) ЦахариасуШаблон:Sfn. Обозначим радиус окружности <math>O_i</math> через <math>R_i</math>, а точку касания с окружностью <math>O</math> через <math>K_i</math>. Будем использовать обозначения <math>O, O_i</math> для центров окружностей. Заметим, что из теоремы Пифагора следует
- <math>t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2.</math>
Попробуем выразить длины через точки <math>K_i,K_j</math>. По теореме косинусов в треугольнике <math>O_iOO_j</math>,
- <math>\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j</math>
Поскольку окружности <math>O,O_i</math> касаются,
- <math>\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j</math>
Пусть <math>C</math> — точка на окружности <math>O</math>. Согласно теореме синусов в треугольнике <math>K_iCK_j</math>
- <math>\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}</math>
Так что,
- <math>\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}</math>
и после подстановки полученного выражения в формулу выше,
- <math>\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)</math>
- <math>\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>
- <math>\overline{O_iO_j}^2=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>
Наконец, искомая длина
- <math>t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}</math>
Теперь можно преобразовать левую часть с помощью теоремы Птолемея применительно к вписанному четырёхугольнику <math>K_1K_2K_3K_4</math>:
- <math>t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_2}\cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right)</math>
- <math>=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right)=t_{13}t_{24}</math>
Вариации и обобщения
Можно показать, что четыре окружности не обязательно должны лежать внутри большой окружности. Фактически, они могут также касаться её и снаружи. В этом случае следует сделать следующие измененияШаблон:Sfn:
- Если <math>O_i, O_j</math> касаются <math>O</math> с одной стороны (обе изнутри или обе снаружи), <math>t_{ij}</math> — длина отрезка внешних касательных.
- Если <math>O_i, O_j</math> касаются <math>O</math> с разных сторон (одна изнутри, другая снаружи), <math>t_{ij}</math> — длина отрезка внутренних касательных.
- Обратное утверждение теореме Кейси также верноШаблон:Sfn. Таким образом, если равенство выполняется, окружности касаются.
- Например, для рис. ниже имеем: <math>t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}</math>.
- Понятия "длина отрезка внешних касательных" и "длина отрезка внутренних касательных" могут ввести в заблуждение, ибо эти касательные могут быть проведены как внутри, так и снаружи общей связующей окружности, поскольку сходственные пары касательных двух окружностей всегда равны. Тут важнее оперировать не понятиями "внешних касательных" и "внутренних касательных", а понятиями наибольшей и наименьшей касательной для двух окружностей, ибо к двум окружностям можно провести две пары сходственных касательных, всегда равные для каждой пары, но не равные между разными парами касательных. Это прекрасно видно при сравнении двух рисунков.
- Как располагается пара окружностей относительно одного из двух возможных типов проведенных к ним общих касательных можно узнать по значению их инверсного расстояния I, которое может принимать 3 значения: 0, +1 и -1.
Приложения
Теорему Кейси и ей обратную можно использовать для доказательства различных утверждений евклидовой геометрии. Например, самое короткое известное доказательствоШаблон:Sfn теоремы Фейербаха использует обратную теорему Кейси.
Примечания
Литература
Ссылки
