Русская Википедия:Теорема Лагранжа об обращении рядов

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Формулировка

Пусть функция <math>f(z)</math> аналитична в точке <math>z_0</math> и <math>f'(z_0)\ne 0</math>. Тогда в некоторой окрестности точки <math>w_0=f(z_0)</math> обратная к ней функция <math>f^{-1}(w)</math> представима рядом вида

<math>f^{-1}(w)=z_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left.\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)^n\right)\right|_{z=z_0}(w-w_0)^n.</math>

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции <math>f(z)</math> по степеням другой голоморфной функции <math>w(z)</math> и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть <math>f(z)</math> и <math>w(z)</math> голоморфны в окрестности некоторой точки <math>a\in\Complex</math>, притом <math>w(a)=0</math> и <math>a</math> — простой нуль функции <math>w(z)</math>. Теперь выберем некую область <math>D\ni a</math>, в которой <math>f</math> и <math>w</math> голоморфны, а <math>w</math> однолистна в <math>\overline{D}</math>. Тогда имеет место разложение вида:

<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty d_n w^n(z),</math>

где коэффициенты <math>d_n</math> вычисляются по следующему выражению:

<math>d_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\zeta)w'(\zeta)}{w^{n+1}(\zeta)}\,d\zeta=\frac{1}{n!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left\{f'(z)\frac{(z-a)^n}{w^n(z)}\right\}.</math>

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида <math>w=\sum_{n=1}^\infty a_nz^n</math>. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда <math>z=\sum_{n=1}^\infty b_nw^n</math>:

<math>b_n=\frac{1}{n!}\lim_{z\to 0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z}{w}\right)^n.</math>

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида <math>F\circ f^{-1}</math> справедливо представление в виде ряда

<math>F(f^{-1}(w))=z_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left.\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(F'(z)\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)^n\right)\right)\right|_{z=z_0}(w-w_0)^n.</math>

Литература

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Лагранжа_об_обращении_рядов&oldid=10919785