Русская Википедия:Теорема Пикара (интегральные уравнения)
Теорема Пикара (интегральные уравнения) - теорема существования и единственности решения для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Шаблон:Теорема
Пояснения
В формулировке теоремы <math>\lambda_{k}</math> - характеристические числа ядра <math>K(t,s)</math>, <math>f_k=(f, \phi_{k})</math> - коэффициенты Фурье функции <math>f(t)</math> относительно собственных функций <math>\phi_n(t)</math> этого ядра: <math>\phi_{n}(t)=\lambda_{n} \int \limits_{a}^{b} K(t,s)\phi_{n}(s)ds</math>. Симметричное ядро <math>K(t,s)</math> называется замкнутым в <math>L_{2}[a, b]</math>, если каждая функция <math>\sigma(t) \in L_{2}[a, b]</math>, удовлетворяющая равенству <math>\int \limits_a^b K(t,s)\sigma(s)ds=0</math> равна нулю почти всюду на отрезке <math>[a, b]</math>. Для замкнутого ядра его собственные функции образуют ортогональную полную в <math>L_{2}[a, b]</math> систему функций.
Доказательство
Предположим, что существует решение <math>\phi(t) \in L_{2}[a, b]</math> уравнения <math>\int \limits_a^b K(t,s)\phi(s)ds=f(t)</math>.
Найдем коэффициенты Фурье функции <math>f(t)</math> относительно собственных функций <math>\phi_n(t)</math> этого ядра: <math>f_{n} = \int \limits_{a}^{b} f(t) \phi_{n}(t)dt = \int \limits_{a}^{b} \left \{ \int \limits_a^b K(t,s) \phi (s)ds \right \} \phi_{n}(t)dt = \int \limits_{a}^{b} \left \{ \int \limits_a^b K(t,s) \phi_{n} (t)dt \right \} \phi(s)ds = \frac{1}{\lambda_n} \int \limits_a^b \phi_{n}(s) \phi(s) ds</math>.
Здесь во втором равенстве использовано, что в силу условия теоремы <math>f(t) = \int \limits_a^b K(t,s)\phi(s)ds</math>, в четвёртом равенстве, что, в силу симметричности ядра <math>\int \limits_a^b K(t,s) \phi_{n} (t)dt = \frac{1}{\lambda_n} \phi_{n}(s)</math>.
Равенство <math>f_{n} = \frac{1}{\lambda_n} \int \limits_a^b \phi_{n}(s) \phi(s) ds</math> может быть переписано в виде <math>\lambda_{n}f_{n} = \int \limits_a^b \phi_{n}(s) \phi(s) ds</math>. Отсюда следует, что числа <math>\lambda_{n}f_{n}</math> являются коэффициентами Фурье функции <math>\phi(t) \in L_{2}[a, b]</math>. В силу известной теоремы математического анализа, ряд <math>\sum^{\infty}_{k=1}\lambda_{k}^{2}f_{k}^{2}</math> из квадратов этих коэффициентов является сходящимся.
Предположим, наоборот, что ряд <math>\sum^{\infty}_{k=1}\lambda_{k}^{2}f_{k}^{2}</math> сходится. Тогда в силу теоремы Рисса-Фишера существует единственная функция <math>\phi(t) \in L_{2}[a, b]</math>, для которой числа <math>\lambda_{n}f_{n}</math> являются коэффициентами Фурье по системе функций <math>\mathcal{f}\phi_{n}(t)\mathcal{g}</math>, то есть выполняются равенства <math>\lambda_{n}f_{n} = \int \limits_a^b \phi_{n}(s) \phi(s) ds</math> для всех <math>n (n=1,2,...)</math>. Эта функция <math>\phi(t)</math> удовлетворяет интегральному уравнению <math>\int \limits_a^b K(t,s)\phi(s)ds=f(t)</math>, так как в силу самого построения <math>\phi(t)</math> функции <math>f(t)</math> и <math> \int \limits_a^b K(t,s) \phi(s) ds</math> имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно полной системы <math>\mathcal{f}\phi_{n}(t)\mathcal{g}</math> собственных функций ядра <math>K(t,s)</math>. Таким образом, функции <math>f(t)</math> и <math> \int \limits_a^b K(t,s) \phi(s) ds</math> тождественны в метрике <math>L_{2}[a, b]</math>.
Литература
- Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.
