Русская Википедия:Теорема Рунге

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Рунге (также аппроксимационная теорема Рунге) в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году.

Формулировка

Если <math>K\subset\mathbb C</math> — компактное пространство, <math>A</math> — множество, содержащее хотя бы по одной точке из каждой ограниченной связной компоненты множества <math>{\mathbb C}\setminus K</math> и <math>f</math> голоморфная в окрестности <math>K</math>, то существует последовательность рациональных функций <math>\{r_n\}</math> с полюсами во множестве <math>A</math>, приближающая функцию <math>f</math> равномерно.

Обобщения

Всякая голоморфная в произвольной области <math>D\subset\mathbb C</math> функция может быть равномерно приближена последовательностью рациональных функций с полюсами вне <math>D</math>, это утверждение также фигурирует как теорема Рунге.

Ещё более общий результат — теорема Мергеляна, утверждающая о необходимости и достаточности для равномерного приближения многочленами функции, голоморфной внутри компакта <math>K\subset\mathbb C</math> и непрерывной на нём, голоморфного продолжения во все ограниченные связные компоненты множества <math>\mathbb C\backslash K</math>.