Русская Википедия:Теорема Шмидта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Шмидта - теорема о свойствах расширения локально конечной группы.

Формулировка

Расширение <math>G</math> локально конечной группы <math>A</math> посредством локально конечной группы <math>G/A</math> само локально конечно.

Доказательство

Проверим, что каждое конечное множество <math>M</math> из <math>G</math> порождает конечную подгруппу. По условию факторгруппа <math>gr(M, A)/A</math> конечна. Увеличив, если нужно, множество <math>M</math>, будем считать, что оно замкнуто относительно обратных элементов и содержит представители всех смежных классов <math>gr(M, A)</math> по <math>A</math>. Тогда для любых <math>x, y \in M</math> <math>xy=\overline{xy}a_{x,y}</math>, где <math>\overline{xy} \in M</math>, <math>a_{x, y} \in A</math>. Отсюда следует, что любое произведение элементов из <math>M</math> можно записать как произведение некоторого элемента из <math>M</math> на произведение нектороых <math>a_{x, y}</math>. Так как всевозможные <math>a_{x, y}</math> порждают конечную подгруппу, то всё доказано.

Литература

• Каргаполов, М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М. : Наука, 1972. — С. 208.