Русская Википедия:Теоремы Паппа — Гульдина
Теоре́мы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привел). Первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640)Шаблон:Sfn.
Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)
Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линииШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)
Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигурыШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Доказательство
Лемма
Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой <math>l</math> на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой <math>l</math>.
Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через <math>n</math>, сами точки через <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, …, <math>M_n</math>, массу каждой точки через <math>m</math>, а расстояния точек от прямой <math>l</math> через <math>r_1</math>, <math>r_2</math>, …, <math>r_n</math>.
Для <math>n=1</math>, утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для <math>n-1</math> точки. Тогда их центр тяжести <math>P</math> находится на расстоянии
- <math>r=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}}{n-1}</math>.
Заменим систему материальных точек <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, …, <math>M_{n-1}</math> точкой <math>P</math>, сосредоточив в ней массу, равную <math>(n-1)m</math>. Остаётся найти центр тяжести <math>O</math> двух материальных точек <math>P</math> и <math>M_n</math>. Так как точка <math>P</math> имеет массу <math>(n-1)m</math>, а точка <math>M_n</math> — массу <math>m</math>, то
- <math>PO:OM_n=1:(n-1)</math>.
Следовательно, если <math>r^*</math> — расстояние от точки <math>O</math> до прямой (рис. 1), то
- <math>(r-r^*):(r^*-r_n)=1:(n-1)</math>,
откуда
- <math>r^*=\frac{(n-1)r+r_n}n=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}+r_n}n</math>
Таким образом, утверждение леммы справедливо для <math>n</math> материальных точек.
Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина
Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является <math>n</math>-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину <math>m</math>. Середины звеньев ломаной обозначим через <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, …, <math>M_n</math>, а расстояния от этих точек до прямой <math>l</math> — через <math>r_1</math>, <math>r_2</math>, …, <math>r_n</math>. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой <math>l</math> получается поверхность , состоящая из <math>n</math> частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна
- <math>S=m\cdot2\pi r_1+m\cdot2\pi r_2+\ldots+m\cdot2\pi r_n</math>.
Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна <math>P=mn</math>, можно переписать выражение для площади
- <math>S=P\cdot2\pi R</math>,
где
- <math>R=\frac{r_1+r_2+...+r_n}n</math>,
но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, …, <math>M_n</math>, в каждой из которых сосредоточена масса <math>m</math>, согласно лемме, отстоит от прямой <math>l</math> на расстоянии <math>R</math>. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.
Теперь рассмотрим произвольную линию <math>K</math>, при вращении которой при вращении вокруг оси <math>l</math> получается поверхность <math>Q</math>. Впишем в неё ломаную <math>L</math>, содержащую <math>m</math> звеньев. При вращении <math>L</math> вокруг оси <math>l</math> получим поверхность <math>T</math>, площадь которой равна <math>S=P\cdot2\pi R</math>, где <math>P</math> — длина ломаной <math>L</math>, а <math>R</math> — расстояние от центра тяжести ломаной <math>L</math> до оси вращения <math>l</math>.
Если считать <math>m\to0</math>, то длина ломаной <math>L</math> будет стремиться к длине линии <math>K</math>, площадь поверхности <math>T</math> будет стремиться к площади поверхности <math>Q</math>, центр тяжести ломаной <math>L</math> будет стремиться к центру тяжести кривой <math>K</math>. Так как для любого <math>m</math> соотношение <math>S=P\cdot2\pi R</math> справедливо для <math>L</math>, то переходя к пределу <math>m\to0</math>, найдем, что оно справедливо и для кривой <math>K</math>.
Примечания
Литература
