Русская Википедия:Теоремы Силова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Петером-Людвигом Силовом в 1872 г.

Определения

Пусть <math>G</math> — конечная группа, а <math>p</math> — простое число, которое делит порядок <math>G</math>. Подгруппы порядка <math>p^t</math> называются Шаблон:S.

Выделим из порядка группы <math>G</math> максимальную степень <math>p</math>, то есть <math> |G| = p^ns</math>, где <math>s</math> не делится на <math>p</math>. Тогда силовской <math>p</math>-подгруппой называется подгруппа <math>G</math>, имеющая порядок <math>p^n</math>.

Теоремы

Пусть <math>G</math> — конечная группа. Тогда:

1. Силовская <math>p</math>-подгруппа существует.
2. Всякая <math>p</math>-подгруппа содержится в некоторой силовской <math>p</math>-подгруппе. Все силовские <math>p</math>-подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде <math>gPg^{-1}</math>, где <math>g</math> — элемент группы, а <math>P</math> — силовская подгруппа из теоремы 1).
3. Количество силовских <math>p</math>-подгрупп <math>N_p</math> сравнимо с единицей по модулю <math>p</math> (<math>N_p \equiv 1 \; {\rm mod\,} p</math>) и делит <math>s</math>, где <math>|G|=p^k s</math> и <math>(p,s)=1</math>.

Следствие

Если все делители <math>|G|</math>, кроме 1, после деления на <math>p</math> дают остаток, отличный от единицы, то в <math>G</math> есть единственная силовская <math>p</math>-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. <math>350 = 2\cdot 5^2\cdot 7</math>, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. <math>N_5</math> должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в <math>G</math> одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому <math>G</math> не может быть простой.

Доказательства

Пусть <math>p^n</math> — примарный по <math>p</math> делитель порядка <math>G</math>.

1. Докажем теорему индукцией по порядку <math>G</math>. При <math>|G| = p</math> теорема верна. Пусть теперь <math>|G| > p</math>. Пусть <math>Z(G)</math> — центр группы <math>G</math>. Возможны два случая:

а) <math>p</math> делит <math>|Z|</math>. Тогда в центре существует циклическая группа <math>\langle a\rangle_{p^k}</math> (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в <math>G</math>. Факторгруппа <math>G</math> по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем <math>G</math>, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская <math>p</math>-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в <math>G</math>. Он и будет нужной нам силовской <math>p</math>-подгруппой <math>G</math>.

б) <math>p</math> не делит <math>|Z|</math>. Тогда рассмотрим разбиение <math>G</math> на классы сопряжённости: <math>|G| = |Z| + \sum |K_a|</math> (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок <math>G</math> делится на <math>p</math>, значит, должен найтись класс <math>K_a</math>, порядок которого не делится на <math>p</math>. Соответствующий ему централизатор <math>Z_G(a)</math> имеет порядок <math>p^n r</math>, <math>r < s</math>. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская <math>p</math>-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть <math>H</math> — произвольная <math>p</math>-подгруппа <math>G</math>. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности <math>G/P</math> левыми сдвигами, где <math>P</math> — силовская <math>p</math>-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на <math>p</math>. Но <math>|G/P|</math> не делится на <math>p</math>, значит, у действия есть неподвижная точка <math>gP</math>. Получаем <math>\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P</math>, а значит, <math>h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}</math>, то есть <math>H</math> лежит целиком в некоторой силовской <math>p</math>-подгруппе.

Если при этом <math>H</math> — силовская <math>p</math>-подгруппа, то она сопряжена с <math>P</math>.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем <math>N_p \equiv 1 \pmod p</math>.

Нахождение силовской подгруппы

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература

• А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Ч. III. М.: Физматлит, 2001.
• Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.