Русская Википедия:Теория Куммера
В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840-го года в его работе, связанной с теоремой Ферма.
При условии, что характеристика поля p взаимно проста с n при p > 0, основное утверждение теории не зависит от природы поля и потому относится к общей алгебре.
Теория Куммера имеет аналог для случая n=р (теория Артина — Шрейера). Роль группы <math>\mu_n</math> (см. ниже) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя <math>\mathbb{F}_p</math> исходного поля.
Существует также принадлежащее Э. Витту обобщение этой теории для случая <math>n=p^s</math>, где <math>s>1</math>, использующее векторы Витта.
Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в понимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличии достаточного числа корней из единицы циклические расширения могут быть поняты в терминах выделения корней.
Расширения Куммера
Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то есть вложение поля K в поле L), такое что для некоторого целого n > 1 выполняются следующие два условия:
- K содержит n различных корней из единицы n-ой степени (то есть все корни уравнения xn−1)
- L/K содержит абелеву группу Галуа степени n (то есть n — наименьшее общее кратное порядков элементов этой группы).
Например, для n = 2 первое условие всегда верно, если характеристика K ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения L = K(√a), где a в K не является квадратом. При решении квадратных уравнений любое расширение K степени 2 имеет такой вид. Расширение Куммера включает в этом случае также биквадратные расширения и, обобщенно, мультиквадратные расширения. При характеристике K, равной 2, такие расширения Куммера отсутствуют.
При n = 3 не существует расширений Куммера степени 3 в поле рациональных чисел Q, поскольку нужны три кубических корня из 1, так что нужны комплексные числа. Если L — поле разложения X3 − a над Q, где a не является кубом рационального числа, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1. Последнее следует из факта, что если α и β — корни кубического многочлена, мы должны получить (α/β)3 =1, что является сепарабельным многочленом. Таким образом, L/K — расширение Куммера.
Обобщая, если K содержит n различных корней из единицы n-ой степени и характеристика K не делит n, добавление к K корня n-ой степени из какого-либо элемента a из K образует расширение Куммера (степени m, которое делит n).
В качестве поля разложения полинома Xn − a расширение Куммера необходимо в расширении Галуа циклической группы Галуа порядка m.
Теория Куммера
Теория Куммера утверждает, что при наличии в K первообразного корня степени n, любое циклическое расширение K степени n образуется присоединением корня n-ой степени.
Если K× — мультипликативная группа ненулевых элементов K, циклические расширения K степени n соответствуют однозначно циклическим подгруппам
- <math>K^{\times}/(K^{\times})^n,</math>
то есть элементы K× по модулю n-х степеней.
Соответствие можно записать следующим образом: пусть задана циклическая подгруппа
- <math>\Delta \subseteq K^{\times}/(K^{\times})^n,</math>
соответствующее расширение задается формулой
- <math>K(\Delta^{1/n}),</math>
то есть присоединением n-х корней элементов Δ к K.
И обратно, если L — расширение Куммера для K, то Δ задается формулой
- <math>\Delta = K^\times \cap (L^\times)^n.</math>
В этом случае существует изоморфизм
- <math>\Delta \cong \operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n),</math>
задаваемый формулой
- <math>a \mapsto \biggl(\sigma \mapsto \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\biggr),</math>
где α — любой корень из a n-ой степени в L.
Обобщения
Имеется небольшое обобщение теории Куммера на абелевы расширения группы Галуа степени n, и аналогичное утверждение верно в этом контексте. А именно, можно доказать, что такие расширения являются однозначным отображением в подгруппы
- <math>K^{\times}/(K^{\times})^n.</math>
Если основное поле K не содержит корней из единицы n-ой степени, иногда используют изоморфизм
- <math>K^{\times}/(K^{\times})^n \stackrel{\sim}{\rightarrow} H^1(G_K, \mu_n).</math>
См. также
Ссылки
- Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp.85-93.
- Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1068;
- Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969;
- Таkahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, № 1-2, p. 365
