Русская Википедия:Тождество Брахмагупты — Фибоначчи

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):

<math>\begin{align}

\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 & & (1) \\

                                            & {}= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2. & & (2)

\end{align}</math>

В терминах общей алгебры, это тождество означает, что множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения.

Пример: <math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>

История

Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. Диофантом Александрийским в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). Индийский математик и астроном Брахмагупта в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр <math>n</math>:

<math>\begin{align}

\left(a^2 + nb^2\right)\left(c^2 + nd^2\right) & {}= \left(ac-nbd\right)^2 + n\left(ad+bc\right)^2 & & (3) \\

                                              & {}= \left(ac+nbd\right)^2 + n\left(ad-bc\right)^2. & & (4)

\end{align}</math> Брахмагупта описал тождество в трактате Шаблон:Iw («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения уравнения Пелля (ниже)

В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» (Liber quadratorum) Фибоначчи (1225 год).

Комплексное представление

Пусть <math>a+bi,c+di</math> — комплексные числа. Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству комплексного модуля:

<math> | a+bi | \cdot | c+di | = | (a+bi)(c+di) | .</math>

В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:

<math> | a+bi |^2 \cdot | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,</math>

или согласно определению модуля:

<math> (a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. </math>

Применения

Решение уравнения Пелля

Как уже говорилось выше, Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении уравнения ПелляШаблон:Sfn:

<math>x^2-n y^2=1,</math>

где <math>n</math> — натуральное число, не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение уравнения, затем записывал тождество в следующем виде:

<math>(x_1^2 - Ay_1^2)(x_2^2 - Ay_2^2) = (x_1x_2 + Ay_1y_2)^2 - A(x_1y_2 + x_2y_1)^2, </math>

Отсюда видно, что если тройки <math>x_1,y_1,k_1</math> и <math>x_2,y_2,k_2</math> образуют решение уравнения x² − Ay² = k, то можно найти ещё одну тройку

<math>(x_1x_2 + Ay_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2)</math>

и т. д., получая бесконечный ряд решений.

Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году Бхаскарой II (метод «чакравала»), также опирается на тождество Брахмагупты.

Разложение целого числа на сумму двух квадратов

В сочетании с теоремой Ферма — Эйлера, тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество простых чисел вида <math>4m+1</math> представимо в виде суммы квадратов.

Вариации и обобщения

Изначально тождество применялось к целым числам, однако оно справедливо в любом коммутативном кольце или в поле, например, в кольце многочленов или в поле комплексных чисел.

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай тождества четырёх квадратов Эйлера или Шаблон:Iw. Тождество четырёх квадратов применимо также к кватернионам, а аналогичное тождество восьми квадратов — к октонионам.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Brahmagupta's identity at PlanetMath Шаблон:Ref-en
• Brahmagupta Identity on MathWorld Шаблон:Ref-en
• A Collection of Algebraic Identities Шаблон:Ref-en