Русская Википедия:Убывающие и возрастающие факториалы

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Убывающий факториалШаблон:Sfn (иногда употребляются названия нижний, постепенно убывающий или нисходящий факториалШаблон:SfnШаблон:Sfn) записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как

<math>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-(n-1))=\prod_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k).</math>

Возрастающий факториал (иногда употребляются названия функция Похгаммера, многочлен ПохгаммераШаблон:Sfn, верхний, постепенно возрастающий или восходящий факториалШаблон:SfnШаблон:Sfn) определяется как

<math>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+(n-1))=\prod_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k). </math>

Значение обоих факториалов принимается равным 1 (Шаблон:Не переведено 5) для n = 0.

Символ Похгаммера, который предложил Лео Август Похгаммер, — это обозначение <math>(x)_n</math>, где <math>n</math> — неотрицательное целое. В зависимости от контекста, символ Похгаммера может представлять убывающий факториал или возрастающий факториал, определённые выше. Необходимо проявлять осторожность при интерпретации символа в каждой конкретной статье. Сам Похгаммер использовал обозначение <math>(x)_n</math> с совершенно другим смыслом, а именно для обозначения биномиального коэффициента <math>\binom xn</math>Шаблон:Sfn.

В данной статье символ <math>(x)_n</math> используется для представления убывающего факториала, а символ <math>x^{(n)}</math> — для возрастающего факториала. Эти соглашения приняты в комбинаторикеШаблон:Sfn. В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции) символ Похгаммера <math>(x)_n</math> используется для представления возрастающего факториала[1] Полезный список формул для манипуляции с возрастающими факториалами в этой последней нотации дан в книге Люси СлейтерШаблон:Sfn. Кнут использовал термин факториальные степени, которые включают возрастающие и убывающие факториалы[2]

Если Шаблон:Math — неотрицательное целое число, то <math>(x)_n</math> даёт число [[Двенадцатиричный путь|Шаблон:Math-перестановок]] Шаблон:Math-элементного множества или, эквивалентно, число инъекций из множества с Шаблон:Math элементами в множество размера Шаблон:Math. Однако для этих значений используются другие обозначения, такие как <math>_xP_n</math> и P(x,n). Символ Похгаммера используется большей частью для алгебраических целей, например, когда Шаблон:Math является неизвестной величиной, и в этом случае <math>(x)_n</math> означает определённый многочлен от Шаблон:Math степени Шаблон:Math.

Примеры

Несколько первых возрастающих факториалов:

<math>x^{(0)}=x^{\overline0}=1 </math>
<math>x^{(1)}=x^{\overline1}=x </math>
<math>x^{(2)}=x^{\overline2}=x(x+1)=x^2+x </math>
<math>x^{(3)}=x^{\overline3}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x </math>
<math>x^{(4)}=x^{\overline4}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x </math>

Несколько первых убывающих факториалов:

<math>(x)_{0}=x^{\underline0}=1 </math>
<math>(x)_{1}=x^{\underline1}=x </math>
<math>(x)_{2}=x^{\underline2}=x(x-1)=x^2-x </math>
<math>(x)_{3}=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x </math>
<math>(x)_{4}=x^{\underline4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x </math>

Коэффициенты, получающиеся при раскрытии скобок, являются числами Стирлинга первого рода.

Свойства

Возрастающий и убывающий факториалы можно использовать для выражения биномиальных коэффициентов:

<math>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n}</math> и <math>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</math>

Тогда многие тождества для биномиальных коэффициентов переносятся на возрастающие и убывающие факториалы.

Возрастающий факториал можно выразить через убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

<math>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</math>

или как убывающий факториал с противоположным аргументом,

<math>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_Шаблон:N .</math>

Возрастающий и убывающий факториалы вполне определены в любом унитальном кольце, а потому x может быть, например, комплексным числом, отрицательным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой комплексной функцией.

Возрастающий факториал можно расширить на вещественные значения Шаблон:Math с помощью гамма-функции:

<math>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},</math>

и таким же образом убывающий факториал:

<math>(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}.</math>

Если обозначить через Шаблон:Math взятие производной от Шаблон:Math, получим

<math>D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.</math>

Символ Похгаммера является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции — гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 степенным рядом

<math>\,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)}\over c^{(n)}} \, {z^n \over n!}</math>

при условии, что c не равно 0, −1, −2, ... . Заметим, однако, что в литературе о гипергеометрической функции для возрастающего факториала используется обозначение <math>{(a)}_Шаблон:N</math>.

Связь с теневым исчислением

Убывающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с использованием оператора конечной разности <math>\vartriangle</math> и которая формально подобна теореме Тейлора. В этой формуле и многих других местах убывающий факториал <math>(x)_k</math> при вычислении конечных разностей играет роль <math>x^k</math> при вычислении производной. Заметим, например, похожесть

<math>\Delta (x)_{k} = k\ (x)_{k-1},</math>

на

<math>D x^k = k\ x^{k-1},</math>

Похожие факты имеют место для возрастающих факториалов.

Изучение аналогий этого типа известно как «теневое исчисление»[3]. Основная теория, описывающая такие отношения, включая убывающие и возрастающие функции, рассматривается в теории Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5. Возрастающие и убывающие факториалы являются последовательностями Шеффера биномиального типа, что показывают следующие соотношения:

<math>(a + b)^{(n)} = \sum_Шаблон:J=0^n {n \choose j} (a)^{(n-j)}(b)^{(j)}</math>
<math>(a + b)_n = \sum_Шаблон:J=0^n {n \choose j} (a)_{n-j}(b)_{j}</math>

где коэффициенты те же самые, что и при разложении в степенной ряд биномиального тождества Вандермонда).

Аналогично, генерирующая функция многочленов Похгаммера тогда равна сумме теневых экспонент,

<math> \sum_{n=0}^\infty (x)_n ~\frac{t^n}{n!} = (1+t)^x ~, </math>

так как <math>\vartriangle(1+t )^x = t(1+t)^x</math>.

Коэффициенты связи и тождества

Убывающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом с помощью чисел Лаха и с помощью сумм целых степеней переменной <math>x</math>, используя числа Стирлинга второго рода, следующим образом (здесь <math>\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k!</math>):[4]

<math>

\begin{align} x^{\underline{n}} & = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k \\ 

                 & = (-1)^n (-x)_n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} \\

(x)_n & = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} \\ 

     & = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} \\ 
     & = \binom{-x}{n} (-1)^n n! \\ 
     & = \binom{x+n-1}{n} n! \\

x^n & = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} \\ 

   & = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k.

\end{align} </math>

Поскольку убывающие факториалы являются базисом для кольца многочленов, мы можем выразить произведение двух из них в виде линейной комбинации убывающих факториалов:

<math>(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</math>

Коэффициенты при <math>(x)_{m+n-k}</math> называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как число способов склеить Шаблон:Math элементов из множества из Шаблон:Math элементов и множества из Шаблон:Math элементов. Мы имеем также формулу связи для отношения двух символов Похгаммера

<math>\begin{align}

\frac{(x)_n}{(x)_i} & = (x-i)_{n-i},\ n \geq i \\ \frac{x^{(n)}}{x^{(i)}} & = (x+i)^{(n-i)},\ n \geq i. \\ \end{align} </math>

Кроме того, с помощью следующих тождеств:

<math>

\begin{align} x^{(m+n)} & = x^{(m)} (x+m)^{(n)} \\ (x)_{m+n} & = (x)_m (x-m)_n \\ \end{align} </math>

возрастающие и убывающие факториалы могут быть обобщёны для отрицательных порядков:

<math>

\begin{align} x^{(-n)} & = \frac{1}{(x-n)^{(n)}} = \frac{1}{(x-1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x-1}{n}} = \frac{1}{(x-1)(x-2) \cdots (x-n)} \\ (x)_{-n} & = \frac{1}{(x+1)^{(n)}} = \frac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}. \\ \end{align} </math>

Наконец, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 для возрастающих факториалов дают следующие отношения:

<math>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </math>
<math>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </math>
<math>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </math>

Альтернативные обозначения

Альтернативное обозначение для возрастающего факториала

<math>x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}</math> для целого <math> m\ge0,</math>

И для убывающего факториала

<math>x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}</math> для целого <math>m\ge0;</math>

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно[5]. Грэм, Кнут и ПаташникШаблон:Sfn предложили произносить это выражение как "повышение Шаблон:Math на Шаблон:Math" и "понижение Шаблон:Math на Шаблон:Math" соответственно.

Другие обозначения для убывающего факториала включают <math>P(x,n), ^xP_n, P_{x,n}</math> или <math>_xP_n</math>. (См. статьи «Перестановка» и «Сочетание».)

Альтернативное обозначение <math>(x)^+_n</math> для возрастающего факториала <math>x^{(n)}</math> употребляется реже. Во избежание путаницы в случае, когда используется обозначение <math>(x)^+_n</math> для возрастающего факториала, для обычного убывающего факториала используется обозначение <math>(x)^-_n</math>Шаблон:Sfn.

Обобщения

Символ Похгаммера имеет обобщённую версию, называемую Шаблон:Не переведено 5, и используется в многомерном анализе. Имеется также q-аналог, q-символ Похгаммера.

Обобщение убывающего факториала, в котором функция вычисляется на убывающей арифметической прогрессии:

<math>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</math>.

Соответствующее обобщение возрастающего факториала

<math>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</math>

Это обозначение объединяет возрастающий и убывающий факториалы, которые равны <math>[x]^{\tfrac{k}{1}}</math> и <math>[x]^{\tfrac{k}{-1}}</math> соответственно.

Для любой фиксированной арифметической функции <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</math> и символических параметров <math>x, t</math>, связанные обобщённые произведения вида

<math>(x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</math>

можно изучать с точки зрения классов обобщённых чисел Стирлинга первого рода, определённых с помощью следующих коэффициентов при <math>x</math> в разложении <math>(x)_{n,f,t}</math>, а затем с помощью следующего рекуррентного соотношения:

<math>

\begin{align} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = [x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\ 

    & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}.

\end{align} </math>

Эти коэффициенты удовлетворяют многочисленным свойствам, аналогичным свойствам чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным отношениям и функциональным равенствам, связанным с f-гармоничными числами <math>F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r</math>[6].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Книга

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Последовательности и ряды

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Так, например, в книге Абрамовича и Стегуна "Handbook of Mathematical Functions", стр. 256
  2. ↑ Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.
  3. ↑ Долгое время наличие у биномиальных последовательностей многочисленных общих свойств воспринималось как нечто таинственное и необъяснимое, почему их изучение и было названо umbral calculus, т.е. теневое исчисление Шаблон:Harv.
  4. ↑ Шаблон:Cite web
  5. ↑ Согласно Кнуту The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.
  6. ↑ Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers (2016).
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Убывающие_и_возрастающие_факториалы&oldid=10987078