Русская Википедия:Упругое рассеяние
Упру́гое рассе́яние — процесс взаимодействия (рассеяния) частиц, при котором их внутренние состояния остаются неизменными, а меняются лишь импульсы. Все другие варианты рассеяния частиц являются неупругими (например, если в ходе взаимодействия меняется число частиц или внутреннее состояние хотя бы одной из частиц). Кинетическая энергия и импульс частицы не считаются её внутренним состоянием.
В нерелятивистском классическом случае при рассеянии частицы с массой Шаблон:Math на частице с массой Шаблон:Math в системе отсчёта, в которой вторая частица до столкновения покоилась, из законов сохранения энергии и импульса следует:
- <math>m_1 v_1^2 = m_1 v_1'^2 + m_2 v_2'^2,</math>
- <math>m_1 v_1' \sin\alpha = m_2 v_2' \sin\beta,</math>
- <math>m_1 v_1 =m_1 v_1' \cos\alpha + m_2 v_2' \cos\beta,</math>
где <math>v_1',\, v_2'</math> — скорости частиц после столкновения,
- <math>\alpha,\, \beta</math> — углы, под которыми направлены скорости соответственно частиц 1 и 2 после столкновения по отношению к направлению движения частицы 1 до столкновения.
Угол <math>\alpha</math> называется углом рассеяния. Величины допустимых углов рассеяния определяются неравенством <math>\sin\alpha \le m_2/m_1.</math>
В квантовой нерелятивистской теории упругое рассеяние бесспиновых частиц на бесконечности (т.е. при расстоянии между сталкивающимися частицами <math>r \to \infty</math>) можно описать решением уравнения Шрёдингера:
- <math>\psi(\mathbf{r})_{r\to\infty} \sim e^{i\mathbf{kr}} + f(\vartheta)r^{-1}e^{i\mathbf{kr}},</math>
где <math>\mathbf{k}=\mathbf{p}/\hbar</math> — волновой вектор частицы,
- <math>\mathbf{p}</math> — импульс частицы в системе центра масс,
- <math>\vartheta</math> — угол рассеяния,
- <math>f(\vartheta)</math> — амплитуда рассеяния, которая зависит от угла рассеяния и энергии частиц.
В этом выражении первый член описывает падающие частицы, второй — рассеянные частицы.
Квадрат модуля амплитуды рассеяния в данный угол в системе центра масс равен дифференциальному сечению рассеяния — отношению числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла <math>d\Omega,</math> к плотности потока частиц:
- <math>|f(\vartheta)|^2 = \frac{d\sigma}{d\Omega}.</math>
Амплитуду рассеяния можно разложить в ряд по парциальным волнам, имеющим физический смысл состояний с определённым орбитальным моментом Шаблон:Math:
- <math>f(\vartheta) = \frac{1}{2ik}\sum^\infty_{L=0}(2L+1)(S_L-1)P_L(\cos\vartheta),</math>
где <math>P_L(\cos(\theta))</math> — многочлены Лежандра,
- <math>S_L=e^{2i\delta_L}</math> — элементы матрицы рассеяния — комплексные функции энергии, зависящие от характера взаимодействия.
Для упругого рассеяния <math>S_L=e^{2i\delta_L},</math> где <math>\delta_L</math> — фаза рассеяния данной парциальной волны.
В случае упругого рассеяния число падающих частиц с данным орбитальным моментом Шаблон:Math равно числу рассеянных частиц с тем же моментом, и <math>|S_L|=1.</math>
Амплитуда парциальной волны может быть выражена через элемент Шаблон:Math-матрицы и фазу рассеяния как
- <math>f_L = \frac{S_L-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_L}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_L} \sin\delta_L}{k} = \frac{1}{k\operatorname{ctg}\delta_L-ik}.</math>
Полное сечение упругого рассеяния <math>\sigma^\text{el}</math> равно сумме парциальных сечений со всеми возможными орбитальными моментами:
- <math>\sigma^\text{el} = \sum^\infty_{L=0}\sigma^\text{el}_L,</math>
- <math>\sigma^\text{el}_L = \pi\lambda \!\!\!^{{}^\underline{\ \ }}{}^2(2L+1)|S_L-1|^2,</math>
где <math>\lambda \!\!\!^{{}^\underline{\ \ }} = 1/k</math> — де-бройлевская длина волны частицы.
Максимальное парциальное сечение (резонанс в упругом рассеянии) достигается при <math>S_L=-1 ;</math> оно равно
- <math>\left(\sigma^\text{el}_L\right)_\text{max} = 4\pi\lambda \!\!\!^{{}^\underline{\ \ }}{}^2(2L+1),</math>
причём фаза рассеяния <math>\delta_L=\pi/2.</math> Следовательно, для резонансных условий сечение упругого рассеяния определяется де-бройлевской длиной волны и, если частица имеет малый импульс (соответственно большую длину волны <math>\lambda \!\!\!^{{}^\underline{\ \ }},</math> значительно превосходящую классический радиус <math>R_0</math> рассеивающей частицы), наблюдаемое сечение может значительно превосходить классическое сечение рассеяния <math>\pi R_0^2.</math>
Примеры упругого рассеяния
- Рэлеевское рассеяние — рассеяние света на объектах, размеры которых меньше его длины волны.
- Томсоновское рассеяние — рассеяние фотонов на электронах (или других заряженных частицах) в частном случае, когда энергия фотона пренебрежимо мала по сравнению с массой рассеивающей частицы.
- Комптоновское рассеяние (комптон-эффект) — общий случай рассеяния фотонов на электронах (или других заряженных частицах); при стремлении энергии фотонов к нулю переходит в томсоновское рассеяние.
- Обратное комптоновское рассеяние — рассеяние электронов (или других заряженных частиц) на фотонах.
- Резерфордовское рассеяние (кулоновское рассеяние) — нерелятивистское рассеяние тяжёлых заряженных частиц (в частности, альфа-частиц) на ядрах атомов.
См. также
Источники
