Русская Википедия:Уравнение синус-Гордона
Уравнение синус-Гордона — это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Это уравнение привлекло много внимания в 1970-х годах из-за наличия у него солитонных решений.
Происхождение уравнения и его названия
Существует две эквивалентные формы уравнения синус-Гордона. В (вещественных) координатах пространство-время, обозначенных (x, t), уравнение имеет вид
- <math>\varphi_{tt} - \varphi_{xx} + \sin\varphi = 0.</math>
При переходе к координатам светового конуса (u, v), близким к асимптотическим координатам, где
- <math>u = \frac{x + t}{2}, \quad v = \frac{x - t}{2},</math>
уравнение принимает вид
- <math>\varphi_{uv} = \sin\varphi.</math>
Это исходная форма уравнения синус-Гордона, в которой оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, также называемых псевдосферами. Выберем систему координат, в которой координатная сетка u = const, v = const задаётся асимптотическими линиями, параметризованными длиной дуги. Первая квадратичная форма данной поверхности в таких координатах примет специальный вид:
- <math>ds^2 = du^2 + 2\cos\varphi \,du\,dv + dv^2,</math>
где φ — угол между асимптотическими линиями, и для второй квадратичной формы, L = N = 0. Тогда уравнение Петерсона ― Кодацци, отражающее условие совместимости между первой и второй квадратичными формами, приводит к уравнению синус-Гордона. Изучение этого уравнения и соответствующих преобразований псевдосфер в XIX веке Бьянки и Бэклундом привели к открытию преобразований Бэклунда.
Название «уравнение синус-Гордона» — каламбур на тему хорошо известного в физике уравнения Клейна — Гордона:
- <math>\varphi_{tt} - \varphi_{xx} + \varphi = 0.</math>
Уравнение синус-Гордона является уравнением Эйлера — Лагранжа для лагранжиана
- <math>\mathcal{L}_\text{sine-Gordon}(\varphi) := \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - 1 + \cos\varphi.</math>
Используя разложение в ряд Тейлора косинуса
- <math>\cos(\varphi) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\varphi ^2)^n}{(2n)!}</math>
в данном лагранжиане, он может быть записан как лагранжиан Клейна — Гордона плюс члены более высокого порядка
- <math>
\begin{align} \mathcal{L}_\text{sine-Gordon}(\varphi) & = \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \frac{\varphi^2}{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!} = \\ & = 2\mathcal{L}_\text{Klein–Gordon}(\varphi) + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!}. \end{align} </math>
Солитоны
Интересное свойство уравнения синус-Гордона — существование солитонных и многосолитонных решений.
Односолитонное решение
Уравнение синус-Гордона имеет следующие односолитонные решения:
- <math>\varphi_\text{soliton}(x, t) := 4 \arctan e^{m \gamma (x - v t) + \delta},</math>
где
- <math>\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2}.</math>
Односолитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для <math>\gamma</math>, называется кинк и представляет виток по переменной <math>\varphi</math>, который переводит одно решение <math>\varphi = 0</math> в смежное <math>\varphi = 2\pi</math>. Состояния <math>\varphi = 0 \pmod{2\pi}</math> известны как вакуумные, так как они являются постоянными решениями нулевой энергии. Односолитонное решение, в котором мы взяли отрицательный корень для <math>\gamma</math>, называется антикинк. Форма односолитонных решений может быть получена посредством применения преобразования Бэклунда к тривиальному (постоянному вакуумному) решению и интегрированию получившихся дифференциальных уравнений первого порядка:
- <math>\varphi'_u = \varphi_u + 2\beta\sin\frac{\varphi' + \varphi}{2},</math>
- <math>\varphi'_v = -\varphi_v + \frac{2}{\beta} \sin\frac{\varphi' - \varphi}{2}, \quad \varphi = \varphi_0 = 0.</math>
Односолитонные решения могут быть визуализированы посредством синус-гордоновской модели упругой ленты[1]. Примем виток упругой ленты по часовой стрелке (левовинтовой) за кинк с топологическим зарядом <math>\vartheta_\textrm{K} = -1</math>. Альтернативный виток против часовой стрелки (правовинтовой) с топологическим зарядом <math>\vartheta_\textrm{AK} = +1</math> будет антикинком.
Двухсолитонные решения
Многосолитонные решения могут быть получены посредством непрерывного применения преобразования Бэклунда к односолитонному решению, как предписывается решёткой Бьянки, соответствующей результатам преобразования[2]. 2-солитонные решения уравнения синус-Гордона проявляют некоторые характерные свойства солитонов. Бегущие синус-гордоновские кинки и/или антикинки проходят сквозь друг друга как полностью проницаемые, и единственный наблюдаемый эффект — фазовый сдвиг. Так как сталкивающиеся солитоны сохраняют свою скорость и форму, такой вид взаимодействия называется упругим столкновением.
Другие интересные двухсолитонные решения возникают из возможности спаренного кинк-антикинкового поведения, известного как бризер. Известно три типа бризеров: стоячий бризер, бегущий высокоамплитудный бризер и бегущий малоамплитудный бризер[3].
Трёхсолитонные решения
Трёхсолитонные столкновения между бегущим кинком и стоячим бризером или бегущим антикинком и стоячим бризером приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером сдвиг последнего <math>\Delta_\textrm{B}</math> даётся соотношением
- <math>\Delta_B = \frac{2\operatorname{arctanh}\sqrt{(1 - \omega^{2})(1 - v_\text{K}^2)}}{\sqrt{1 - \omega^{2}}},</math>
где <math>v_\text{K}</math> — скорость кинка, а <math>\omega</math> — частота бризера[3]. Если координата стоячего бризера до столкновения — <math>x_0</math>, то после столкновения она станет <math>x_0 + \Delta_\text{B}</math>.
Связанные уравнения
Уравнение шинус-ГордонаШаблон:Нет АИ:
- <math>\varphi_{xx} - \varphi_{tt} = \sinh\varphi.</math>
Это уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана
- <math>\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \cosh\varphi.</math>
Другое тесно связанное с уравнением синус-Гордона — это эллиптическое уравнение синус-Гордона:
- <math>\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = \sin\varphi,</math>
где <math>\varphi</math> — функция переменных x и y. Это уже не солитонное уравнение, но оно имеет много похожих свойств, так как оно связано с уравнением синус-Гордона аналитическим продолжением (или поворотом Вика) y = it.
Эллиптическое уравнение шинус-Гордона может быть определено аналогичным образом. Обобщение даётся теорией поля Тоды.
Квантовая версия
В квантовой теории поля модель синус-Гордона содержит параметр, который может быть отождествлён с постоянной Планка. Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров. Число бризеров зависит от данного параметра. Множественные рождения частиц сокращаются на уравнениях движения.
Квазиклассическое квантование модели синус-Гордона было осуществлено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным[4]. Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александром и Алексеем Замолодчиковыми[5]. Данная модель s-дуальна модели Тирринга.
В конечном объёме и на луче
Также рассматривают модель синус-Гордона на круге, отрезке прямой или луче. Возможно подобрать граничные условия, которые сохраняют интегрируемость данной модели. На луче спектр частиц содержит пограничные состояния кроме солитонов и бризеров.
Суперсимметричная модель синуса-Гордона
Суперсимметричный аналог модели синус-Гордона также существует. С таким же успехом для него могут быть найдены сохраняющие интегрируемость граничные условия.
Примечания
Ссылки
- Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.
- Rajaraman R. Solitons and instantons. North-Holland Personal Library, 1989.
- ↑ Dodd R. K., Eilbeck J. C., Gibbon J. D., Morris H. C. Solitons and Nonlinear Wave Equations. Academic Press, London, 1982.
- ↑ Rogers C., Schief W. K. Bäcklund and Darboux Transformations. New York: Cambridge University Press, 2002.
- ↑ 3,0 3,1 Miroshnichenko A., Vasiliev A., Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions Шаблон:Wayback.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Дифференциальная геометрия поверхностей
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Нелинейные уравнения
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии
