Русская Википедия:Числа эпсилон

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Числа эпсилон — ординалы, введенные немецким математиком Гергом Кантором и являющиеся неподвижными точками функции <math>f(\alpha)=\omega^\alpha,</math> то есть удовлетворяющие равенству <math>\varepsilon=\omega^\varepsilon,</math> где <math>\omega</math> — первый трансфинитный ординал. Числа эпсилон могут быть определены следующим образом (как супремумы трансфинитных последовательностей):

• <math>\varepsilon_0=\sup\{0,1,\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}},...\};</math>
• <math>\varepsilon_{\alpha+1}=\sup\{\varepsilon_{\alpha}+1,\omega^{\varepsilon_{\alpha}+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_{\alpha}+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\alpha}+1}}},...\};</math>
• <math>\varepsilon_\alpha=\sup\{\varepsilon_\beta|\beta<\alpha\}</math> для предельного ординала <math>\alpha.</math>

Наименьший ординал, который является неподвижной точкой функции <math>f(\alpha)=\varepsilon_\alpha,</math> называется ординалом Кантора и обозначается как <math>\zeta_0.</math>

<math>\zeta_0=\sup\{0,\varepsilon_{0},\varepsilon_{\varepsilon_{0}},\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{0}}},\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{0}}}},...\}.</math>

Впоследствии, в 1908 году, Освальд Веблен разработал более мощную ординальную нотацию — иерархию функций <math>\varphi_\alpha</math>. В соответствии с нотацией Веблена <math>\varepsilon_\alpha=\varphi_1(\alpha)</math>.

Ссылки

• J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press Шаблон:ISBN
• Section XIV.20 of Sierpiński, Wacław (1965), Cardinal and ordinal numbers (Second revised ed.), PWN — Polish Scientific Publishers