Русская Википедия:Электромагнитный тензор энергии-импульса
В релятивистской физике электромагнитный тензор энергии-импульса является вкладом в тензор энергии-импульса обусловленный электромагнитным полем. [1] Тензор энергии-импульса описывает поток энергии и импульса в пространстве-времени. Электромагнитный тензор энергии-импульса содержит отрицательное значение классического тензора напряжений Максвелла, который регулирует электромагнитные взаимодействия.
Определение
В единицах СИ
В свободном пространстве и плоском пространстве-времени тензор электромагнитной энергии-импульса в единицах СИ равен [1]
- <math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left[ F^{\mu \alpha}F^\nu{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right] \,.</math>
где <math>F^{\mu\nu}</math> – электромагнитный тензор и где <math>\eta_{\mu\nu}</math> есть метрический тензор Минковского метрической сигнатуры (− + + +) . При использовании метрики с сигнатурой (+ − − −) выражение справа от знака равенства будет иметь противоположный знак.
Явно в матричной форме:
- <math>T^{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2\right) & \frac{1}{c}S_\text{x} & \frac{1}{c}S_\text{y} & \frac{1}{c}S_\text{z} \\
\frac{1}{c}S_\text{x} & -\sigma_\text{xx} & -\sigma_\text{xy} & -\sigma_\text{xz} \\
\frac{1}{c}S_\text{y} & -\sigma_\text{yx} & -\sigma_\text{yy} & -\sigma_\text{yz} \\
\frac{1}{c}S_\text{z} & -\sigma_\text{zx} & -\sigma_\text{zy} & -\sigma_\text{zz}
\end{bmatrix},</math>
где
- <math>\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B},</math>
- <math>\sigma_{ij} = \epsilon_0 E_i E_j + \frac{1}Шаблон:\mu 0B_i B_j - \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu _0}B^2 \right)\delta _{ij} </math>
– тензор напряжений Максвелла, c – скорость света. Таким образом, <math>T^{\mu\nu}</math> выражается и измеряется в единицах давления СИ (паскалях).
Условные обозначения единиц СГС
Диэлектрическая проницаемость свободного пространства и магнитная проницаемость свободного пространства в единицах СГС-Гаусса равны
- <math>\epsilon_0 = \frac{1}{4\pi},\quad \mu_0 = 4\pi\,</math>
тогда:
- <math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi} \left[F^{\mu\alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right] \,.</math>
и в явной матричной форме:
- <math>T^{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{8\pi}\left(E^2 + B^2\right) & \frac{1}{c}S_\text{x} & \frac{1}{c}S_\text{y} & \frac{1}{c}S_\text{z} \\
\frac{1}{c}S_\text{x} & -\sigma_\text{xx} & -\sigma_\text{xy} & -\sigma_\text{xz} \\
\frac{1}{c}S_\text{y} & -\sigma_\text{yx} & -\sigma_\text{yy} & -\sigma_\text{yz} \\
\frac{1}{c}S_\text{z} & -\sigma_\text{zx} & -\sigma_\text{zy} & -\sigma_\text{zz}
\end{bmatrix}</math>
где вектор Пойнтинга принимает вид:
- <math>\mathbf{S} = \frac{c}{4\pi}\mathbf{E}\times\mathbf{B}.</math>
Тензор энергии-импульса для электромагнитного поля в диэлектрической среде менее изучен и является предметом неразрешенного спора Абрахама-Минковского.[2]
Элемент <math>T^{\mu\nu}\!</math> тензора энергии-импульса представляет собой поток µ-й компоненты четырёхимпульса электромагнитного поля, <math>P^{\mu}\!</math>, проходящий через гиперплоскость (<math> x^{\nu}</math> является постоянным). Он представляет собой вклад электромагнетизма в источник гравитационного поля (искривление пространства-времени) в общей теории относительности.
Алгебраические свойства
Электромагнитный тензор энергии-импульса обладает несколькими алгебраическими свойствами:
- Он является симметричным тензором:<math display="block">T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}</math>
- Тензор <math>T^{\nu}{}_{\alpha}</math> бесследен:<math display="block">T^{\alpha}{}_{\alpha} = 0.</math>
- Плотность энергии положительно-определённая:<math display="block">T^{00} \ge 0</math>
Симметрия тензора такая же, как у общего тензора энергии-импульса в общей теории относительности. След тензора энергии-импульса есть скаляр Лоренца; электромагнитное поле (и, в частности, электромагнитные волны) не имеет лоренц-инвариантной энергетической шкалы, поэтому его тензор энергии-импульса должен иметь исчезающий след. Эта бесследность в конечном счёте связана с безмассовостью фотона . [3]
Законы сохранения
Электромагнитный тензор энергии-импульса позволяет компактно записать законы сохранения линейного количества движения и энергии в электромагнетизме. Дивергенция тензора энергии-импульса:
- <math>\partial_\nu T^{\mu \nu} + \eta^{\mu \rho} \, f_\rho = 0 \,</math>
где <math>f_\rho</math> - (4D) сила Лоренца на единицу объема вещества .
Это уравнение эквивалентно следующим трёхмерным законам сохранения
- <math>\begin{align}
\frac{\partial u_\mathrm{em}}{\partial t} + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{S} + \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} &= 0 \\
\frac{\partial \mathbf{p}_\mathrm{em}}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\cdot \sigma + \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} &= 0
\ \Leftrightarrow\ \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} - \nabla \cdot \mathbf{\sigma} + \mathbf{f} = 0
\end{align}</math>
соответственно, описывая поток плотности электромагнитной энергии
- <math>u_\mathrm{em} = \frac{\epsilon_0}{2}E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2 \,</math>
и плотность электромагнитного импульса
- <math>\mathbf{p}_\mathrm{em} = {\mathbf{S} \over {c^2}} </math>
где J — плотность электрического тока, ρ — плотность электрического заряда, <math>\mathbf{f} </math> - плотность силы Лоренца.
Смотрите также
- Исчисление Риччи
- Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
- Математические описания электромагнитного поля
- Уравнения Максвелла
- Уравнения Максвелла в искривлённом пространстве-времени
- Общая теория относительности
- Уравнения поля Эйнштейна
- Магнитогидродинамика
- Векторное исчисление
Примечания
Литература
- ↑ 1,0 1,1 Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, Шаблон:ISBN
- ↑ however see Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007)
- ↑ Garg, Anupam. Classical Electromagnetism in a Nutshell, p. 564 (Princeton University Press, 2012).
