Просмотр кода страницы Русская Википедия:Керальская школа астрономии и математики

{{Русская Википедия/Панель перехода}}
{{TOCright}}
'''Кера́льская школа астрономии и математики''' — научная школа, которая существовала в Индии в XIV—XVII веках и внесла заметный вклад в [[Индийская астрономия|астрономию]] и [[Индийская математика|математику]].

== История ==
После завоевания мусульманами северной Индии в XI веке ([[Махмуд Газневи]]) центр научной деятельности индийцев переместился в южную провинцию [[Керала]]. Основателем школы стал [[Мадхава из Сангамаграмы]]. Среди других видных учёных керальской школы:
* {{нп5|Ватасери Парамешвара|||Parameshvara}}
* [[Дамодара (астроном)|Дамодара]]
* [[Нилаканта Сомаяджи]]
* {{нп5|Джьештадева|||Jyeṣṭhadeva}}
Последними представителями школы были в XVII веке [[Ачьюта Пишарати]] и [[Нараяна Бхаттатири]]. Свои результаты керальцы публиковали в трактатах ([[сиддханта]]х) на [[санскрит]]е, излагая их чаще всего без доказательств, нередко стихами.

Преимущественным направлением исследований в Керале была [[астрономия]], но при решении астрономических задач были сделаны важные математические открытия. В частности, опередив европейских математиков на два века, учёные школы получили разложение [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]] в [[Ряд (математика)|бесконечные степенные ряды]]{{sfn |Паплаускас А. Б.|1973|name=PAPL}}. В Европе их достижения долго оставались неизвестными и были обнаружены историками только в XIX веке<ref name=roy>''Roy, Ranjan''. 1990. Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.</ref>.

== Научные достижения ==

=== Астрономия ===
Астрономы Керальской школы с высокой точностью измерили величину [[предварение равноденствий|предварения равноденствий]], а также продолжительность года, лунного месяца и других астрономических констант.

В 1500 году [[Нилаканта Сомаяджи]] в своей «Тантрасанграхе» предложил модификацию системы мира, ранее описанной [[Ариабхата|Ариабхатой]]. В своей ''Ариабхатавахьязе'', комментариях к ''Ариабхатье'', он предложил модель, где планеты Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн обращаются вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, вокруг Земли<ref name=MOPM>{{статья |заглавие=Model of planetary motion in the works of Kerala astronomers |издание={{Нп3|Bulletin of the Astronomical Society of India}} |том=26 |страницы=11—31 [23—4] |ссылка=http://adsabs.harvard.edu/full/1998BASI...26...11R |bibcode=1998BASI...26...11R |язык=en |тип=journal |автор=Ramasubramanian, K. |archivedate=2017-10-09 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171009225907/http://adsabs.harvard.edu/full/1998BASI...26...11R }}</ref>. Эта [[гео-гелиоцентрическая система мира|гео-гелиоцентрическая система]] напоминает предложенную [[Браге, Тихо|Тихо Браге]] в конце XVI века. Большинство астрономов Керальской школы приняли его модель.

=== Математика ===
Керальская школа, как и вся индийская математика, имела заметный вычислительный уклон. Например, учёные постоянно работали над вычислением [[Пи (число)|числа <math>\pi</math>]] со всё возрастающей точностью. Для астрономических вычислений им удалось впервые найти разложение [[Тригонометрические функции|тригонометрических]] и иных функций в бесконечные ряды. Общей теории таких разложений и дальнейшего продвижения в направлении [[Математический анализ|математического анализа]] у керальцев не было.

Бесконечные ряды приводятся в четырёх керальских сиддхантах<ref name=PAPL/>:
# «Научный справочник» (''Тантрасанграха''), опубликован Нилакантой.
# «Техника действий» (''Каранападдхати'').
# «Нить светящихся жемчужин» (''Садратанамала'').
# «Объяснительный комментарий» (''Юкти-бхаша''), это комментарий к «''Тантрасанграхе''».

Кроме тригонометрических функций, в сиддхантах приводится разложение алгебраической дроби, впрочем, известное ещё [[Ибн аль-Хайсам]]у (XI век)<ref name =singh>{{статья |заглавие=On the Use of Series in Hindu Mathematics |издание=Osiris |том=1 |страницы=606—628 |doi=10.1086/368443 |автор=Singh, A. N. |год=1936 }}</ref><ref>Edwards, C. H., Jr.   1979.  ''The Historical Development of the Calculus''.  New York: Springer-Verlag.</ref>:
:<math> \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots ,</math> если <math>|x|<1 </math>

Разложения керальцами тригонометрических функций, вероятно, были получены ещё [[Мадхава из Сангамаграмы|Мадхавой]], но появились впервые в трактате Нилаканты «''Тантрасанграха''» и в современных обозначениях имели вид<ref name=roy/><ref name=bressoud>''Bressoud, David''. Was Calculus Invented in India?  ''The College Mathematics Journal'' (Mathematical Association of America).  33(1):2-13, 2002.</ref>:

: <math>r \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots ,</math> где <math>y \leqslant x.</math>

: <math>r\sin \frac{x}{r} = x - x\cdot\frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdot </math>

: <math> r\left(1 - \cos \frac{x}{r}\right) = r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots , </math>

При <math> r=1 </math> ряды упрощаются и принимают более распространённый вид:

:: <math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots </math>

:: <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots </math>

Для получения этих формул было проведено [[спрямление]] [[Дуга окружности|дуги окружности]]{{sfn |История математики, том I|1970|с=202—203}}<ref name=PAPL/>. В Европе ряд для арктангенса впервые опубликовал [[Джеймс Грегори]] в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — [[Исаак Ньютон]] в 1666 году..

Из ряда для [[арктангенс]]а легко получить<ref name=roy/> ряд для вычисления [[Пи (число)|числа <math>\pi</math>]]:

:<math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots  </math>

Ряд этот сходится медленно, поэтому для практических расчётов его преобразуют к виду<ref name=roy/>:

: <math>\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots  </math>

Как подсчитал Нилаканта, <math>\pi\approx 3{,}141592653.</math> Керальцы получили также из этих рядов довольно точные приближения числа <math>\pi</math> в виде дробей.

Из других математических достижений керальской школы можно упомянуть, что Нилаканта уверенно заявил о несоизмеримости [[длина окружности|длины окружности]] с её диаметром, то есть, выражаясь современным языком, что число <math>\pi</math> [[иррациональное число|иррационально]]<ref name=PAPL/>.

== См. также ==
* [[Индийская астрономия]]
* [[История математики]]
* [[История математики в Индии]]

== Литература ==
* {{книга |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени
  |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=I |ref=История математики, том I }}
* {{статья |автор=Бахмутская Э. Я.
 |место=М.
 |год=1960
 |страницы=325—334
 |ref=Бахмутская Э. Я.
 |заглавие=Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV - XVIII вв
 |издание=[[Историко-математические исследования]]
 |номер=13
 |издательство=Физматгиз
}}
* ''Володарский А. И.'' Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9.
* {{статья |автор=Паплаускас А. Б.
 |заглавие=Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I
 |издание=[[Историко-математические исследования]]
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1973
 |выпуск=XVIII
 |страницы=104—131
 |ref=Паплаускас А. Б.
}}
* {{статья |автор=Bressoud, David.
 |заглавие=Was Calculus Invented in India?
 |издание=The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.)
 |год=2002
 |volume=33
 |номер=1
 |pages=2–13
 |nodot=1
}}
* {{статья |автор=Roy, Ranjan.
 |издание=Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.)
 |заглавие=Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha
 |год=1990
 |volume=63
 |номер=5
 |pages=291–306
}}

== Ссылки ==
* ''[http://www.infinityfoundation.com/mandala/t_es/t_es_agraw_kerala.htm The Kerala School, European Mathematics and Navigation]'', 2001.
* [https://web.archive.org/web/20021015003732/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_mathematics.html An overview of Indian mathematics], ''MacTutor History of Mathematics archive'', 2002.
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Projects/Pearce/index.html Indian Mathematics: Redressing the balance], ''MacTutor History of Mathematics archive'', 2002.
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_1.html Keralese mathematics], ''MacTutor History of Mathematics archive'', 2002.
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_4.html Possible transmission of Keralese mathematics to Europe], ''MacTutor History of Mathematics archive'', 2002.
* [http://www.physorg.com/news106238636.html "Indians predated Newton 'discovery' by 250 years"] ''phys.org,'' 2007

== Примечания ==
{{Примечания}}

[[Категория:История астрономии]]
[[Категория:История математики]]
[[Категория:Индийская астрономия]]
[[Категория:История Кералы]]
{{Навигационная таблица/Портал/Русская Википедия}}
[[Категория:Русская Википедия]]
[[Категория:Википедия]]
[[Категория:Статья из Википедии]]
[[Категория:Статья из Русской Википедии]]