Русская Википедия:Керальская школа астрономии и математики

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:TOCright Кера́льская школа астрономии и математики — научная школа, которая существовала в Индии в XIV—XVII веках и внесла заметный вклад в астрономию и математику.

История

После завоевания мусульманами северной Индии в XI веке (Махмуд Газневи) центр научной деятельности индийцев переместился в южную провинцию Керала. Основателем школы стал Мадхава из Сангамаграмы. Среди других видных учёных керальской школы:

Последними представителями школы были в XVII веке Ачьюта Пишарати и Нараяна Бхаттатири. Свои результаты керальцы публиковали в трактатах (сиддхантах) на санскрите, излагая их чаще всего без доказательств, нередко стихами.

Преимущественным направлением исследований в Керале была астрономия, но при решении астрономических задач были сделаны важные математические открытия. В частности, опередив европейских математиков на два века, учёные школы получили разложение тригонометрических функций в бесконечные степенные рядыШаблон:Sfn. В Европе их достижения долго оставались неизвестными и были обнаружены историками только в XIX веке[1].

Научные достижения

Астрономия

Астрономы Керальской школы с высокой точностью измерили величину предварения равноденствий, а также продолжительность года, лунного месяца и других астрономических констант.

В 1500 году Нилаканта Сомаяджи в своей «Тантрасанграхе» предложил модификацию системы мира, ранее описанной Ариабхатой. В своей Ариабхатавахьязе, комментариях к Ариабхатье, он предложил модель, где планеты Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн обращаются вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, вокруг Земли[2]. Эта гео-гелиоцентрическая система напоминает предложенную Тихо Браге в конце XVI века. Большинство астрономов Керальской школы приняли его модель.

Математика

Керальская школа, как и вся индийская математика, имела заметный вычислительный уклон. Например, учёные постоянно работали над вычислением числа <math>\pi</math> со всё возрастающей точностью. Для астрономических вычислений им удалось впервые найти разложение тригонометрических и иных функций в бесконечные ряды. Общей теории таких разложений и дальнейшего продвижения в направлении математического анализа у керальцев не было.

Бесконечные ряды приводятся в четырёх керальских сиддхантах[3]:

  1. «Научный справочник» (Тантрасанграха), опубликован Нилакантой.
  2. «Техника действий» (Каранападдхати).
  3. «Нить светящихся жемчужин» (Садратанамала).
  4. «Объяснительный комментарий» (Юкти-бхаша), это комментарий к «Тантрасанграхе».

Кроме тригонометрических функций, в сиддхантах приводится разложение алгебраической дроби, впрочем, известное ещё Ибн аль-Хайсаму (XI век)[4][5]:

<math> \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots ,</math> если <math>|x|<1 </math>

Разложения керальцами тригонометрических функций, вероятно, были получены ещё Мадхавой, но появились впервые в трактате Нилаканты «Тантрасанграха» и в современных обозначениях имели вид[1][6]:

<math>r \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots ,</math> где <math>y \leqslant x.</math>
<math>r\sin \frac{x}{r} = x - x\cdot\frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdot </math>
<math> r\left(1 - \cos \frac{x}{r}\right) = r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots , </math>

При <math> r=1 </math> ряды упрощаются и принимают более распространённый вид:

<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots </math>
<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots </math>

Для получения этих формул было проведено спрямление дуги окружностиШаблон:Sfn[3]. В Европе ряд для арктангенса впервые опубликовал Джеймс Грегори в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — Исаак Ньютон в 1666 году..

Из ряда для арктангенса легко получить[1] ряд для вычисления числа <math>\pi</math>:

<math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots </math>

Ряд этот сходится медленно, поэтому для практических расчётов его преобразуют к виду[1]:

<math>\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots </math>

Как подсчитал Нилаканта, <math>\pi\approx 3{,}141592653.</math> Керальцы получили также из этих рядов довольно точные приближения числа <math>\pi</math> в виде дробей.

Из других математических достижений керальской школы можно упомянуть, что Нилаканта уверенно заявил о несоизмеримости длины окружности с её диаметром, то есть, выражаясь современным языком, что число <math>\pi</math> иррационально[3].

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Roy, Ranjan. 1990. Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок PAPL не указан текст
  4. ↑ Шаблон:Статья
  5. ↑ Edwards, C. H., Jr. 1979. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag.
  6. ↑ Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33(1):2-13, 2002.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Керальская_школа_астрономии_и_математики&oldid=10111473