Просмотр кода страницы Русская Википедия:Ряд Тейлора

{{Русская Википедия/Панель перехода}}
'''Ряд Те́йлора''' — разложение [[Функция (математика)|функции]] в [[Сумма ряда|бесконечную сумму]] [[Степенная функция|степенных функций]]. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется ''рядом [[Маклорен, Колин|Маклорена]]''.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций [[Тейлор, Брук|Брука Тейлора]]<ref>Taylor, Brook, ''Methodus Incrementorum Directa et Inversa'' [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, ''A Source Book in Mathematics 1200—1800'' (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.</ref> — его использовали ещё в XIV веке в [[Индия|Индии]]<ref>''Gupta R. C.'' The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.</ref>, а также в XVII веке [[Грегори, Джеймс|Грегори]] и [[Ньютон, Исаак|Ньютон]].

Ряды Тейлора применяются при [[аппроксимация|аппроксимации]] функции [[многочлен]]ами.
В частности, [[линеаризация]] уравнений происходит путём [[Теорема Тейлора|разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка]].

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является [[ряд Фантапье]].

== Определение ==
1. '''Многочленом''' Тейлора функции <math>f(x)</math> [[Вещественное число|вещественной]] переменной <math>x</math>, [[Дифференцируемая функция|дифференцируемой]] <math>k</math> раз в точке <math>a</math>, называется конечная сумма
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^k \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k</math>,

используемая в [[Приближённые вычисления|приближённых вычислениях]], как обобщение следствия [[Формула конечных приращений|теоремы Лагранжа о среднем значении]] дифференцируемой функции:
: при <math>x-a=h \to 0</math> верно <math>f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h +O(h^2)\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x - a)</math>.

При записи суммы использованы обозначение <math>f^{(0)}(x)=f(x)</math> и соглашение о произведении по пустому множеству: <math>0!=1</math>, <math>(x - a)^0=1</math>.

2. '''Рядом''' Тейлора в точке <math>a</math> функции <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math>, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки <math>a</math>, называется [[формальный степенной ряд]]
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi_{n}(x;a)</math> с общим членом <math>\varphi_{n}(x;a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x - a)^n</math>, зависящим от параметра <math>a</math>.
Другими словами, рядом Тейлора функции <math>f(x)</math> в точке <math>a</math> называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена <math>(x - a)</math>:
:<math>f(x) = f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \ldots\,</math>.<ref>Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371</ref>

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции <math>f(x)</math> в окрестности точки <math>a</math> не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки <math>a</math>.

3. '''Рядом''' Тейлора в точке <math>a</math> функции <math>f(z)</math> комплексной переменной <math>z</math>,
удовлетворяющей в некоторой окрестности <math>U\subseteq \mathbb C</math> точки <math>a</math> [[Условия Коши — Римана|условиям Коши — Римана]],
называется степенной ряд

:<math>f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n</math>.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса <math>R>0</math>, что в <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}\subseteq U</math> ряд сходится к функции <math>f(z)</math>.

4. В случае <math>a=0</math> ряд
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>
называется '''рядом [[Маклорен, Колин|Маклорена]]'''.

== Аналитическая функция ==
1. Функция <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math> называется [[аналитическая функция|аналитической]] в точке <math>x=a</math>, если существуют такой радиус <math>R>0</math> и такие коэффициенты <math>c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,</math>, <math>k=0,1,2,\dots\,</math>, что <math>f(x)</math> может быть представлена в виде сходящегося на интервале <math>(a-R; a+R)</math> степенного ряда:
<math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(x - a)}^k}}\,</math>,
то есть <math>\forall x \in (a-R; a+R)</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\lim_{n\to +\infty}\,\sum\limits_{k = 0}^{n} {{c_k}{{(x - a)}^k}}=f(x)</math>.

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}}</math> на любом компактном [[Подмножество|подмножестве]] <math>K</math> области сходимости <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math> допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в <math>k</math>-ю производную функции <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}}</math> подставить <math>z=a</math>, то получится <math>{c_k}\cdot k!</math>.

Таким образом, для аналитической в точке <math>a</math> функции <math>f(z)</math> для некоторого <math>R>0</math> всюду в <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math> является верным представление <math>f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (z - a)^k</math>.

Следствие. Функция <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math> является аналитической в точке <math>a</math> тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром <math>a</math> на некотором открытом интервале, содержащем точку <math>a</math>.

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке <math>a</math> функции <math>f(x)</math> вещественного переменного <math>x</math> её ряд Тейлора <math>\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^k</math> сходиться к <math>f(x)</math> всюду на каком-нибудь интервале <math>(a-R; a+R)</math>, то есть представима ли <math>f(x)</math> этим рядом?

Ответ: нет.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности
<math>a</math>.

Примеры. Функции вещественной переменной <math> f_{2}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{{x^{2} }}}},& x \ne 0\\
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math>,
<math> f_{+}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{x}}},& x > 0\\
0,&x \le 0
\end{array} \right.\,
</math>,
<math> f_{\rm v}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{{|x|}}}},& x \ne 0\\
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math>
являются бесконечно дифференцируемыми в точке <math> x=0
</math>, причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром <math> a=0
</math> тождественно равны нулю.
Однако, для любого <math>R>0</math> в окрестности <math>(-R; +R)</math> точки <math>a=0</math> найдутся точки,
в которых функции отличны от <math>0</math>.
Таким образом, эти функции не являются в точке <math>a=0</math> аналитическими.

{{Начало скрытого блока|
Заголовок=Доказательство}}

Доказательство проведём для функции <math> f(x)=f_{2}(x)= \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{x^{2}}} },& x \ne 0\\
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math>, предложенной [[Коши, Огюстен Луи|Огюстеном Луи Коши]].

Функция <math>\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)</math>, является аналитической функцией комплексной переменной
для всех <math>z\in\overline{\mathbb C}\setminus\{0\}</math>.

Для <math>z \neq 0</math> очевидно, что
<math>\frac{d}{dz}\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)
=\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)\cdot \left( \frac{2}{z^3}\right)</math>.

Функция <math>f(x)</math> для <math>x\in\mathbb R</math> — это «исправленная» функция
<math>\exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)</math>, <math>x \in \mathbb R\setminus\{0\}</math>,
дополненная пределами слева <math>\lim_{x\to 0, x<0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math>
и справа <math>\lim_{x\to 0, x>0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math> в точке <math>x=0</math>.

Найдём производную функции <math>f(x)</math> в точке <math>x=0</math>.
По определению:
<math>f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0, \Delta x\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} 
= \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(h) - 0}{h} 
= \frac{0}{0}
= \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f'(h)}{h'} 
=\lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}</math>.

Поскольку для <math>x \in (0;1)</math> выполняется
<math>0<e^{ - \frac{1}{x^{2}}} < e^{ - \frac{1}{x}} </math>,
то
докажем, что для произвольного <math>\alpha> 0</math> верно <math> 
\lim_{x \to 0, x>0}\frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} = 
0</math>.

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям
: <math>\lim_{x \to 0, x>0}e^{ - \frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0, x>0}x^{\alpha}=0</math> не приводит к результату.
Выполним замену переменной: <math>\frac{1}{x} = t</math>:

<math> \lim_{x \to 0, x>0} \frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} 
= \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} 
= \frac{+\infty}{+\infty}
= \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha t^{\alpha-1}}{e^t}</math>.

Пусть <math>k =\lceil \alpha \rceil</math>.
Применяя правило Лопиталя <math>k</math> раз, в числителе получим либо (при <math>\alpha=k</math>) константу <math>k! </math>, либо (при <math>\alpha<k</math>) бесконечно малую <math>\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}</math>:

: <math> \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} 
= \frac{+\infty}{+\infty}
= \ldots
= \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}}{e^t}=0</math>.

Таким образом,
: <math>f'(0) = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}=0</math>.

Найдём (для <math>x \neq 0</math>) несколько начальных
производных функции <math>f(x)</math>:

: <math>f'(x) = \frac{{2f(x)}}{{{x^3}}}</math>

: <math>f''(x) = \left( {\frac{{2f(x)}}{{{x^3}}}} \right)' 
= 2\left( {f'(x)\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) 
= 2\left( {\frac{{2f(x)}}{{{x^3}}}\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) 
= 2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right)
</math>

: <math>f'''(x) = \left( {2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right)} \right)' 
= 4f(x)\left( {\frac{2}{{{x^9}}} - \frac{3}{{{x^7}}} + \frac{6}{{{x^5}}} - \frac{6}{{{x^7}}}} \right)
</math>

И так далее. Во всех случаях, очевидно,
получается произведение <math>f(x)</math>
на сумму целых отрицательных степеней
<math>x</math>.
Конечная сумма
бесконечно малых является бесконечно малой.
Таким образом,
<math>\lim_{x \to 0, x\in\mathbb R\setminus\{0\}}f^{(k)}(x) = 0 </math>.

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные <math>f(x)</math> в точке <math>x=0</math>,
обнаруживаем, что все производные в
точке <math>x=0</math> равны нулю.
{{Конец скрытого блока}}

== Область сходимости ряда Тейлора ==
Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке <math>a</math>) для случая комплексной переменной
и интервал (с центром в точке <math>a</math>) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция <math>f(x) = \frac{1}{1 - x}</math> может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: <math>\frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{x^k}} </math> (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция <math>\frac{1}{1 - x} </math> определена для всех действительных чисел, кроме точки <math>x=1 </math>, то ряд <math> \sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^k} </math> сходится только при условии <math> |x|<1 </math>.

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

: <math>R = \lim_{k \to \infty} \left| {\dfrac{{\dfrac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}}}{{\dfrac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}{{(k + 1)!}}}}} \right| 
= \lim_{k \to \infty} \left| {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{{f^{(k + 1)}}(a)}}(k + 1)} \right|</math>.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию <math> e^x </math>. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен <math>R=\lim_{k \to \infty}\left| {\frac{{{e^a}}}{{{e^a}}}(k + 1)} \right| = \lim_{k \to \infty}(k + 1) = \infty</math>. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси <math>x</math> для любого параметра <math>a</math>.

<!---- Осмысленный кусок из бредового раздела «Зависимость Р. Т. от параметра». Буду дорабатывать, пока только перебросил ---->

4. От параметра — точки разложения <math>a</math> ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного <math>a</math>) в ряд Тейлора функцию <math>f(x) = \frac{1}{{1 - x}}</math>: <math>f(x) = \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{1 - a}}\sum\limits_{k = 0}^\infty  {{{\left( {\frac{{x - a}}{{1 - a}}} \right)}^k}}</math>.

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента <math>x</math>, при любых значениях <math>a</math> (кроме <math>a=1</math>) имеет один и тот же вид.

Действительно,

: <math>\frac{1}{1 - a}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}{{\left( \frac{x - a}{1 - a} \right)}^k}  = \frac{1}{1 - a} \cdot \frac{1}{1 - \left( \dfrac{x - a}{1 - a} \right)} = \frac{1}{1 - x}</math>.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством <math>\left| \frac{x - a}{1 - a} \right| < 1</math>. И теперь эта область зависит от <math>a</math>. Например, для <math>a=0</math> ряд сходится при <math>x \in ( - 1;1)</math>. Для <math>a=0{,}5</math> ряд сходится при <math>x \in ( 0;1)</math>.

== Формула Тейлора ==
Предположим, что функция <math>f(x)</math> имеет все производные до <math>n+1</math>-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку <math>x=a</math>. Найдем многочлен <math>{P_n}(x)</math> степени не выше <math>n</math>, значение которого в точке <math>x=a</math> равняется значению функции <math>f(x)</math> в этой точке, а значения его производных до <math>n</math>-го порядка включительно в точке <math>x=a</math> равняются значениям соответствующих производных от функции <math>f(x)</math> в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид <math>{P_n}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}{{(x - a)}^k}}</math>, то есть это <math>n</math>-я частичная сумма ряда Тейлора функции <math>f(x)</math>. Разница между функцией <math>f(x)</math> и многочленом <math>{P_n}(x)</math> называется остаточным членом и обозначается <math>{R_n}(x)=f(x)-{P_n}(x)</math>. Формула <math>f(x)={P_n}(x)+{R_n}(x)</math> называется формулой Тейлора<ref>{{Книга|автор=Н.С. Пискунов|заглавие=Дифференциальное и интегральное исчисления|ответственный=|издание=|место=|издательство=Мифрил|год=1996|страницы=Том 1, глава 4, параграф 6|страниц=|isbn=}}</ref>. Остаточный член дифференцируем <math>n+1</math> раз в рассматриваемой окрестности точки <math>a</math>. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в [[дифференциальное исчисление|дифференциальном исчислении]].
Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в [[окрестность|окрестности]] некоторой точки.

Теорема:
{{рамка}}
Если функция <math>f(x)</math> имеет <math>n+1</math> [[Производная функции|производную]] на отрезке с концами <math>a</math> и <math>x</math>, то для произвольного положительного числа <math>p</math> найдётся точка <math>\xi</math>, лежащая между <math>a</math> и <math>x</math>, такая, что

: <math>f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi).</math>
{{конец рамки}}

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма '''[[Шлёмильх, Оскар Ксавер|Шлёмильха]] — [[Рош, Эдуард Альберт|Роша]]''').

=== Различные формы [[Остаточный член|остаточного члена]] ===
В форме [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжа]]:
: <math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1 </math>
{{Начало скрытого блока|Заголовок=Вывод}}
: Продифференцируем по <math>x</math> обе части формулы Тейлора <math>n</math> раз:
: <math>\begin{array}{l}
1)f(x)' = f(a)' + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{(k - 1)!}}{{(x - a)}^{k - 1}}}  + {R_n}(x)'\\
2)f(x)'' = f(a)'' + \sum\limits_{k = 3}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{(k - 2)!}}{{(x - a)}^{k - 2}}}  + {R_n}(x)''\\
...\\
n - 1)f{(x)^{(n - 1)}} = f{(a)^{(n - 1)}} + {f^{(n)}}(a)(x - a) + {R_n}{(x)^{(n - 1)}}\\
n)f{(x)^{(n)}} = {f^{(n)}}(a) + {R_n}{(x)^{(n)}}
\end{array}
 </math>
: (Отсюда, в частности, видно, что <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)'' = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math> — это свойство остаточного члена в любой форме.)
: По теореме Лагранжа (поскольку <math>f(x)</math> соответствует условиям теоремы) существует такая точка <math>\xi </math> между <math>x </math> и <math>a </math> (то есть <math>\xi </math> не равно ни <math>x </math>, ни <math>a </math>), что <math>f{(x)^{(n)}} - {f^{(n)}}(a) = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) </math>. Отсюда <math>{R_n}{(x)^{(n)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) </math>. Продифференцируем последнее тождество ещё раз по <math>x </math> и получим <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>.
: Пусть остаточный член задан в виде <math>{R_n}(x) = \frac{{f{{(\xi )}^{(n + 1)}}{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}} </math>. Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке <math>x=a</math>, во-вторых, <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>. В конце ещё можно сделать замену переменной: <math>\xi  = a + \theta (x - a),\qquad 0 < \theta < 1 </math>. Формула выведена.
{{Конец скрытого блока}}
В форме [[Коши, Огюстен Луи|Коши]]:
: <math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1</math>

В интегральной форме:
: <math>R_{n}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt</math>
{{Начало скрытого блока|Заголовок=Вывод}}
: Методом интегрирования по частям получим <math>\begin{array}{l}
{R_n}(x) = \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}{f^{(n + 1)}}(t)dt}  = \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}d{f^{(n)}}(t)}  = \frac{1}{{n!}}\left. {\left( {{{(x - t)}^n}{f^{(n)}}(t)} \right)} \right|_a^x - \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{f^{(n)}}(t)d} {(x - t)^n} = \\
 = \frac{1}{{(n - 1)!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^{n - 1}}{f^{(n)}}(t)d} t - \frac{{{{(x - a)}^n}{f^{(n)}}(a)}}{{n!}} = ... = \int\limits_a^x {f'(t)d} t - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}}  = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}} 
\end{array}</math>
: откуда
: <math>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}}  + {R_n}(x)</math>
{{Конец скрытого блока}}
Ослабим предположения:
* Пусть функция <math>f(x)</math> имеет <math>n-1</math> производную в некоторой окрестности точки <math>a</math> и <math>n</math>-ю производную в самой точке <math>a</math>, тогда:

: В асимптотической форме (форме [[Пеано]], локальной форме):
:: <math>R_{n}(x) = o[(x - a)^n ]</math>
{{Начало скрытого блока|Заголовок=Вывод}}
:: Поскольку <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)'' = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math>, то предел отношения <math>\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} </math> при <math>x</math>, стремящемся к <math>a</math>, может быть найден по правилу Лопиталя: <math>\lim_{x \to a}\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)'}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)'}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)''}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)''}} = ... = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}{{{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)}^{(n)}}}} = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}{{n!}} = 0 </math>
:: Поскольку предел равен нулю, это значит, что остаточный член <math>R_{n}(x)</math> является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем <math>(x - a)^n</math>, при <math>x \to a</math>. А это и есть определение о-малого.
{{Конец скрытого блока}}

== Критерий аналитичности функции ==
{{mainref|<ref>{{Книга|автор=Н.С. Пискунов|заглавие=Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов|ответственный=|издание=тринадцатое|место=|издательство=МОСКВА "НАУКА"|год=1985|страницы=Том 2, глава 16, параграф 16|страниц=|isbn=}}</ref>}}
Предположим, что некоторую функцию <math>f(x)</math> нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке <math>x=a</math>. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке <math>a</math>, и её ряд Тейлора с параметром <math>a</math> может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка <math>x=a</math>, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции <math>f(x)</math> только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку <math>a</math>. Пусть ряд Тейлора с параметром <math>a</math> такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех <math>x</math> из окрестности <math>a</math> по формуле Тейлора можно записать <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = \lim_{n \to \infty}(f(x)-P_n(x))=f(x)-\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math>, где <math>\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math> — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция <math>f(x)</math> является аналитической в точке <math>a</math> тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки <math>a</math> существует непрерывная область <math>X</math> такая, что для всех <math>x \in X</math> остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом <math>n</math>: <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0</math>.

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию <math> e^x </math>. Её ряд Тейлора сходится на всей оси <math>x</math> для любых параметров <math>a</math>. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках <math>a</math>.

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид <math>{R_n}(x) = \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}{e^{\xi_n} }</math>, где <math>\xi_n</math> — некоторое число, заключенное между <math>x</math> и <math>a</math> (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,
: <math>\lim_{n \to \infty}{R_n}(x) =\lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}{e^{\xi_n} }\leq M\cdot \lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}=0</math>

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом <math>M</math>

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых <math>x</math> и <math>a</math>.

== Ряды Маклорена некоторых функций ==
* [[Экспонента]]: <math>\displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}.</math>
* Натуральный [[логарифм]] («[[ряд Меркатора]]»): <math>\displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} =  \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n}</math> для всех <math> -1< x \le 1.</math>
* [[Биномиальный ряд|Биномиальное разложение]]: <math>\displaystyle(1+x)^\alpha  = 1+\sum\limits^{\infin}_{n=1} \binom \alpha n x^n,</math> для всех <math> \left| x \right| < 1</math> и всех комплексных <math>\alpha,</math> где <math>\displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> — обобщённые [[биномиальные коэффициенты]].
**[[Квадратный корень]]<ref name=gr>''[[Градштейн и Рыжик|Градштейн И. С., Рыжик И. М.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/handbooks.htm Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений]. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.</ref>: <math>\displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1\cdot 1}{2\cdot 4}x^2 + \tfrac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^3 - \tfrac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4 + \tfrac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}x^5 - \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}(2n)!}{ 2^{2n} (2n-1)(n!)^2}x^n = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!! (2n+1)(2n-1)} x^n</math> для всех <math>|x| \le 1.</math>
** Обратный квадратный корень<ref name=gr/>: <math>\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^2 - \tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}x^3 + \tfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4 - \tfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}x^5 + \cdots =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} x^n = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n(2n+1)!!}{(2n)!! (2n+1)} x^n</math> для всех <math> -1< x \le 1.</math>
** {{iw|Геометрический ряд|Геометрические ряды|en|Geometric series}}:
*** <math>\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} x^n</math> для всех <math> |x| < 1.</math>
*** <math>\dfrac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=1} nx^{n-1}</math> для всех <math> |x| < 1.</math>
*** <math>\dfrac{1}{(1-x)^3} = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}</math> для всех <math> |x| < 1.</math>
*** Конечный геометрический ряд: <math>\displaystyle\dfrac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n </math> для всех <math> x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0.</math>
* [[Тригонометрические функции]]<ref name=gr/><ref>{{АбрамовицСтиган | автор    = Цукер Р. | глава    = Тригонометрические функции | страницы = 37—43 | ссылка   = }}</ref>:
** Синус: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{C}.</math>
** Косинус: <math>\displaystyle\cos x =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb{C}.</math>
** Тангенс: <math>\displaystyle\operatorname{tg}\ x =  x + \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{2}{15}x^5 + \tfrac{17}{315}x^7 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2},</math> где <math>B_{2n}</math> — [[числа Бернулли]].
** Котангенс: <math>\displaystyle\operatorname{ctg}\ x =  x^{-1} - \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{45}x^3 - \tfrac{2}{945}x^5 - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}</math> для всех <math> 0 < |x| < \pi,</math> где <math>B_{2n}</math> — [[числа Бернулли]].
** Секанс: <math>\displaystyle\sec x = 1 + \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{5}{24}x^4 + \tfrac{61}{720}x^6 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}</math> для всех <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2},</math> где <math>E_{2n}</math> — [[числа Эйлера]].
** Косеканс: <math>\displaystyle\operatorname{cosec} x = x^{-1} + \tfrac{1}{6}x + \tfrac{7}{360}x^3 + \tfrac{31}{15120}x^5 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 \left(2^{2n-1}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}</math> для всех <math> 0 < |x| < \pi,</math> где <math>B_{2n}</math> — [[числа Бернулли]].
* [[Обратные тригонометрические функции]]<ref name=gr/><ref>{{АбрамовицСтиган | автор    = Цукер Р. | глава    = Обратные тригонометрические функции | страницы = 44—47 | ссылка   = }}</ref>:
** Арксинус: <math>\arcsin x = x + \tfrac{1}{2\cdot 3}x^3 + \tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5 + \tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7 + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1</math><ref>При значении {{math|''x''}}, близком к 1, эта расчётная формула сходится медленно, т.е. даёт большую погрешность при приближении функции суммой первых нескольких членов ряда. Поэтому можно воспользоваться формулой <math>\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},</math> где <math>\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x.</math></ref>.
** Арккосинус: <math>\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x = {\pi\over 2} - x - \tfrac{1}{2\cdot 3}x^3 - \tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5 - \tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7 - \cdots =  {\pi\over 2} - \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2} = {\pi\over 2} - \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1.</math>
** Арктангенс: <math>\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1}</math> для всех <math>\left| x \right| \le 1.</math>
** Арккотангенс: <math>\operatorname{arcctg} x = {\pi\over 2} - \operatorname{arctg} x = {\pi\over 2} - x + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} - \cdots = {\pi\over 2} - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1} </math> для всех <math> \left| x \right| \le 1.</math>

* [[Гиперболические функции]]<ref name=gr/><ref>{{АбрамовицСтиган | автор    = Цукер Р. | глава    = Гиперболические функции | страницы = 48—49 | ссылка   = }}</ref>:
** Гиперболический синус: <math>\operatorname{sh}x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{C}.</math>
** Гиперболический косинус: <math>\operatorname{ch}x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb{C}.</math>
** Гиперболический тангенс: <math>\operatorname{th}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{2^{2n}B_{2n} (2^{2n}-1)}{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math>\left|x\right| < \dfrac{\pi}{2}.</math>
** Гиперболический котангенс: <math>\operatorname{cth}x = x^{-1} + \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{45}x^3 + \tfrac{2}{945}x^5 - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{2^{2n}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math> 0 < |x| < \pi.</math>
** Гиперболический секанс: <math>\operatorname{sech}x = 1 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{5}{24}x^4 - \tfrac{61}{720}x^6 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}</math> для всех <math>\left|x\right| < \dfrac{\pi}{2}.</math>
** Гиперболический косеканс: <math>\operatorname{cosech}x = x^{-1} - \tfrac{1}{6}x + \tfrac{7}{360}x^3 - \tfrac{31}{15120}x^5 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math> 0 < |x| < \pi.</math>

* [[Обратные гиперболические функции]]<ref name=gr/><ref>{{АбрамовицСтиган | автор    = Цукер Р. | глава    = Обратные гиперболические функции | страницы = 50—53 | ссылка   = }}</ref>:
** Гиперболический ареасинус: <math>\operatorname{arsh}x =  x - \tfrac{1}{2\cdot 3}x^3 + \tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5 - \tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7 + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{2^{2n} (n!)^2 } \frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1.</math>
** Гиперболический ареатангенс: <math>\operatorname{arth}x = x + \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{1}{5}x^5 + \tfrac{1}{7}x^7 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} </math> для всех <math> \left| x \right| < 1.</math>
* [[W-функция Ламберта]]: <math>W_{0}(x) = x - x^2 + \dfrac{3x^3}{2} - \dfrac{8x^4}{3} + \dfrac{125x^5}{24} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(-n)^{n-1}}{n!}, |x| \le 1/e.</math>

== Формула Тейлора для функции двух переменных ==
Пусть функция <math>f(x,y)</math> имеет непрерывные производные до <math>(n+1)</math>-го порядка включительно в некоторой окрестности точки <math>(x_0, y_0)</math>.
Введём дифференциальный оператор

: <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}</math>.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции <math>f(x,y)</math> по степеням <math>(x-x_0)^p (y-y_0)^q</math> для <math>p+q\leq n</math> в окрестности точки <math>(x_0, y_0)</math> будет иметь вид

: <math>f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),</math>

где <math>R_n(x,y)</math> — остаточный член в форме Лагранжа:

: <math>R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]</math>

Следует иметь в виду, что операторы <math>\dfrac {\partial} {\partial x}</math> и <math>\dfrac {\partial} {\partial y}</math>
в <math>\mathrm{T}^{k}</math> действуют только на функцию <math>f(x,y)</math>, но не на <math>(x-x_0)</math> и/или <math>(y-y_0)</math>.

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе <math>\mathrm{T}</math>.

В случае функции одной переменной <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {d}{dx}\,</math>.

== Формула Тейлора многих переменных ==
Для получения формулы Тейлора функции <math>n</math> переменных <math>f(x_1, x_2, ... x_n)</math>, которая в некоторой окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> имеет непрерывные производные до <math>(m+1)</math>-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

: <math>\mathrm{T}=(x_1-a_{1})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-a_{2})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-a_{n})\dfrac {\partial} {\partial x_n}.</math>

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням <math>(x_i-a_{i})^{k_i}</math> в окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> имеет вид

: <math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^m \dfrac {\mathrm{T}^k f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})} {k!} + R_m(x_1, x_2, ... x_n),</math>

где <math>R_m(x_1, x_2, ... x_n)</math> — остаточный член порядка <math>(m+1)</math>.

Для функции <math>n</math> переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math>, ряд Тейлора имеет вид:

<math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum\limits_{i_1=1}^n\sum\limits_{i_2=1}^n...\sum\limits_{i_k=1}^n \frac{\partial^k f(a_1, a_2, ..., a_n)}{\partial x_{i_1}\partial x_{i_2}...\partial x_{i_k}}(x_{i_1}-a_{1})(x_{i_2}-a_{2})...(x_{i_n}-a_{n})</math>.

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

<math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\overbrace{\sum\limits_{k_1=0}\sum\limits_{k_2=0}...\sum\limits_{k_n=0}}^{k_1+k_2+...+k_n=k}\dfrac{1}{k_1!k_2!...k_n!}\dfrac {\partial^{k}f(a_1,a_2,..., a_n)} 
{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}...\partial x_n^{k_n}}(x_1-a_{1})^{k_1}(x_2-a_{2})^{k_2}...(x_n-a_{n})^{k_n}</math>.

=== Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных ===
Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> в окрестности точки <math>(0, 0, 0)</math> до второго порядка малости. Оператор <math>\mathrm{T}</math> будет иметь вид
: <math>\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.</math>

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

: <math>f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_2(x, y, z) =</math>

: <math>= \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_2(x, y, z);</math>

Учитывая, что

: <math>T^2 = 
x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},
</math>

получим

: <math>f(x, y, z)=  f_0 +

x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z}

+ \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} +

</math>

: <math>
+ xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z}

+ R_2(x, y, z).
</math>

Например, при <math>f(x,y,z)=e^{x+y+z}</math>,

: <math>f(x, y, z)=  1 + x + y + z  
+ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2}
+ xy + xz + yz + R_2(x, y, z).
</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х.'' Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
* ''Камынин Л. И.'' Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
* ''Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В.'' [http://glax-plato.ru/exam/Math/xxx.pdf Сборная Тейлора и Маклорена,] Систематизация степенных рядов функций и операций. - 2023.
* ''Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф.'' [https://web.archive.org/web/20100512095633/http://webmath.exponenta.ru/s/vm_1_index.html Высшая математика. Первый семестр,] Интерактивный компьютерный учебник.
* {{книга
|автор        = [[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]
|заглавие     = Теория аналитических функций. В 2 т
|ссылка       = 
|издание      = Изд. 2-е
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год          = [[1967]]
|том          = 1: Начала теории
|страниц      = 486
|isbn         = 
}}
* {{книга
|автор        = Нарасимхан Р.
|заглавие     = Анализ на действительных и комплексных многообразиях 
|ссылка       = 
|издание      = пер. с англ. Е. М. Чирки
|место        = М.
|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]
|год          = [[1971]]
|том          = 
|страниц      = 232
|isbn         = 
}}
* {{статья |автор=Петрова С. С., Романовска Д. А. |заглавие=К истории открытия ряда Тэйлора.
  |издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=25
  |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |место=М. |год=1980 |страницы=10—24 }}
* {{книга
|автор        = [[Пискунов, Николай Семёнович|Пискунов Н. С.]]
|заглавие     = Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т
|ссылка       = 
|издание      = Изд. 13-е
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука, Главная редакция физико-математической литературы]]
|год          = [[1985]]
|том          = 1
|страниц      = 432
|isbn         = 
}}
* {{книга
|автор        = [[Пискунов, Николай Семёнович|Пискунов Н. С.]]
|заглавие     = Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т
|ссылка       = 
|издание      = Изд. 13-е
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука, Главная редакция физико-математической литературы]]
|год          = [[1985]]
|том          = 2
|страниц      = 560
|isbn         = 
}}
* {{книга
|автор        = [[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]
|заглавие     = Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т
|ссылка       = 
|издание      = Изд. 8-е
|место        = М.
|издательство = [[Физматлит|ФИЗМАТЛИТ]]
|год          = [[2003]]
|том          = I
|страниц      = 680
|isbn         = ISBN 5-9221-0156-0
}}

{{Последовательности и ряды}}
{{Дифференциальное исчисление}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Многочлены]]
[[Категория:Ряды]]
{{Навигационная таблица/Портал/Русская Википедия}}
[[Категория:Русская Википедия]]
[[Категория:Википедия]]
[[Категория:Статья из Википедии]]
[[Категория:Статья из Русской Википедии]]