Русская Википедия:Ряд Тейлора

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора — его использовали ещё в XIV веке в Индии, а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение

1. Многочленом Тейлора функции <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math>, дифференцируемой <math>k</math> раз в точке <math>a</math>, называется конечная сумма

<math>f(x) = \sum_{n=0}^k \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k</math>,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при <math>x-a=h \to 0</math> верно <math>f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h +O(h^2)\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x - a)</math>.

При записи суммы использованы обозначение <math>f^{(0)}(x)=f(x)</math> и соглашение о произведении по пустому множеству: <math>0!=1</math>, <math>(x - a)^0=1</math>.

2. Рядом Тейлора в точке <math>a</math> функции <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math>, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки <math>a</math>, называется формальный степенной ряд

<math>f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi_{n}(x;a)</math> с общим членом <math>\varphi_{n}(x;a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x - a)^n</math>, зависящим от параметра <math>a</math>.

Другими словами, рядом Тейлора функции <math>f(x)</math> в точке <math>a</math> называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена <math>(x - a)</math>:

<math>f(x) = f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \ldots\,</math>.

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции <math>f(x)</math> в окрестности точки <math>a</math> не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки <math>a</math>.

3. Рядом Тейлора в точке <math>a</math> функции <math>f(z)</math> комплексной переменной <math>z</math>, удовлетворяющей в некоторой окрестности <math>U\subseteq \mathbb C</math> точки <math>a</math> условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

<math>f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n</math>.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса <math>R>0</math>, что в <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}\subseteq U</math> ряд сходится к функции <math>f(z)</math>.

4. В случае <math>a=0</math> ряд

<math>f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

1. Функция <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math> называется аналитической в точке <math>x=a</math>, если существуют такой радиус <math>R>0</math> и такие коэффициенты <math>c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,</math>, <math>k=0,1,2,\dots\,</math>, что <math>f(x)</math> может быть представлена в виде сходящегося на интервале <math>(a-R; a+R)</math> степенного ряда: <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(x - a)}^k}}\,</math>, то есть <math>\forall x \in (a-R; a+R)</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\lim_{n\to +\infty}\,\sum\limits_{k = 0}^{n} {{c_k}{{(x - a)}^k}}=f(x)</math>.

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}}</math> на любом компактном подмножестве <math>K</math> области сходимости <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math> допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в <math>k</math>-ю производную функции <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}}</math> подставить <math>z=a</math>, то получится <math>{c_k}\cdot k!</math>.

Таким образом, для аналитической в точке <math>a</math> функции <math>f(z)</math> для некоторого <math>R>0</math> всюду в <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math> является верным представление <math>f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (z - a)^k</math>.

Следствие. Функция <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math> является аналитической в точке <math>a</math> тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром <math>a</math> на некотором открытом интервале, содержащем точку <math>a</math>.

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке <math>a</math> функции <math>f(x)</math> вещественного переменного <math>x</math> её ряд Тейлора <math>\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^k</math> сходиться к <math>f(x)</math> всюду на каком-нибудь интервале <math>(a-R; a+R)</math>, то есть представима ли <math>f(x)</math> этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности <math>a</math>.

Примеры. Функции вещественной переменной <math> f_{2}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} {e^{ - \frac{1}{{x^{2} }}}},& x \ne 0\\ 0,& x = 0 \end{array} \right.\, </math>, <math> f_{+}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} {e^{ - \frac{1}{x}}},& x > 0\\ 0,&x \le 0 \end{array} \right.\, </math>, <math> f_{\rm v}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} {e^{ - \frac{1}{{|x|}}}},& x \ne 0\\ 0,& x = 0 \end{array} \right.\, </math> являются бесконечно дифференцируемыми в точке <math> x=0 </math>, причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром <math> a=0 </math> тождественно равны нулю. Однако, для любого <math>R>0</math> в окрестности <math>(-R; +R)</math> точки <math>a=0</math> найдутся точки, в которых функции отличны от <math>0</math>. Таким образом, эти функции не являются в точке <math>a=0</math> аналитическими.

Доказательство проведём для функции <math> f(x)=f_{2}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} {e^{ - \frac{1}{x^{2}}} },& x \ne 0\\ 0,& x = 0 \end{array} \right.\, </math>, предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция <math>\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)</math>, является аналитической функцией комплексной переменной для всех <math>z\in\overline{\mathbb C}\setminus\{0\}</math>.

Для <math>z \neq 0</math> очевидно, что <math>\frac{d}{dz}\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right) =\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)\cdot \left( \frac{2}{z^3}\right)</math>.

Функция <math>f(x)</math> для <math>x\in\mathbb R</math> — это «исправленная» функция <math>\exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)</math>, <math>x \in \mathbb R\setminus\{0\}</math>, дополненная пределами слева <math>\lim_{x\to 0, x<0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math> и справа <math>\lim_{x\to 0, x>0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math> в точке <math>x=0</math>.

Найдём производную функции <math>f(x)</math> в точке <math>x=0</math>. По определению: <math>f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0, \Delta x\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(h) - 0}{h} = \frac{0}{0} = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f'(h)}{h'} =\lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}</math>.

Поскольку для <math>x \in (0;1)</math> выполняется <math>0<e^{ - \frac{1}{x^{2}}} < e^{ - \frac{1}{x}} </math>, то докажем, что для произвольного <math>\alpha> 0</math> верно <math> \lim_{x \to 0, x>0}\frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} = 0</math>.

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

<math>\lim_{x \to 0, x>0}e^{ - \frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0, x>0}x^{\alpha}=0</math> не приводит к результату.

Выполним замену переменной: <math>\frac{1}{x} = t</math>:

<math> \lim_{x \to 0, x>0} \frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} = \frac{+\infty}{+\infty} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha t^{\alpha-1}}{e^t}</math>.

Пусть <math>k =\lceil \alpha \rceil</math>. Применяя правило Лопиталя <math>k</math> раз, в числителе получим либо (при <math>\alpha=k</math>) константу <math>k! </math>, либо (при <math>\alpha<k</math>) бесконечно малую <math>\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}</math>:

<math> \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t}

= \frac{+\infty}{+\infty} = \ldots = \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}}{e^t}=0</math>.

Таким образом,

<math>f'(0) = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}=0</math>.

Найдём (для <math>x \neq 0</math>) несколько начальных производных функции <math>f(x)</math>:

<math>f'(x) = \fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}</math>

<math>f(x) = \left( {\fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}} \right)'

= 2\left( {f'(x)\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) = 2\left( {\fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) = 2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right) </math>

<math>f(x) = \left( {2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right)} \right)'

= 4f(x)\left( {\frac{2}{{{x^9}}} - \frac{3}{{{x^7}}} + \frac{6}{{{x^5}}} - \frac{6}{{{x^7}}}} \right) </math>

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение <math>f(x)</math> на сумму целых отрицательных степеней <math>x</math>. Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, <math>\lim_{x \to 0, x\in\mathbb R\setminus\{0\}}f^{(k)}(x) = 0 </math>.

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные <math>f(x)</math> в точке <math>x=0</math>, обнаруживаем, что все производные в точке <math>x=0</math> равны нулю. Шаблон:Конец скрытого блока

Область сходимости ряда Тейлора

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке <math>a</math>) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке <math>a</math>) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция <math>f(x) = \frac{1}{1 - x}</math> может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: <math>\frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty Шаблон:X^k </math> (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция <math>\frac{1}{1 - x} </math> определена для всех действительных чисел, кроме точки <math>x=1 </math>, то ряд <math> \sum\limits_{k = 0}^\infty {x^k} </math> сходится только при условии <math> |x|<1 </math>.

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

<math>R = \lim_{k \to \infty} \left| {\dfrac{{\dfrac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:K!}}{{\dfrac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}Шаблон:(k + 1)!}}} \right|

= \lim_{k \to \infty} \left| {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{{f^{(k + 1)}}(a)}}(k + 1)} \right|</math>.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию <math> e^x </math>. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен <math>R=\lim_{k \to \infty}\left| {\frac{{{e^a}}}{{{e^a}}}(k + 1)} \right| = \lim_{k \to \infty}(k + 1) = \infty</math>. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси <math>x</math> для любого параметра <math>a</math>.

4. От параметра — точки разложения <math>a</math> ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного <math>a</math>) в ряд Тейлора функцию <math>f(x) = \frac{1}Шаблон:1 - x</math>: <math>f(x) = \frac{1}Шаблон:1 - x = \frac{1}Шаблон:1 - a\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( {\fracШаблон:X - aШаблон:1 - a} \right)}^k}}</math>.

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента <math>x</math>, при любых значениях <math>a</math> (кроме <math>a=1</math>) имеет один и тот же вид.

Действительно,

<math>\frac{1}{1 - a}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}{{\left( \frac{x - a}{1 - a} \right)}^k} = \frac{1}{1 - a} \cdot \frac{1}{1 - \left( \dfrac{x - a}{1 - a} \right)} = \frac{1}{1 - x}</math>.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством <math>\left| \frac{x - a}{1 - a} \right| < 1</math>. И теперь эта область зависит от <math>a</math>. Например, для <math>a=0</math> ряд сходится при <math>x \in ( - 1;1)</math>. Для <math>a=0{,}5</math> ряд сходится при <math>x \in ( 0;1)</math>.

Формула Тейлора

Предположим, что функция <math>f(x)</math> имеет все производные до <math>n+1</math>-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку <math>x=a</math>. Найдем многочлен <math>{P_n}(x)</math> степени не выше <math>n</math>, значение которого в точке <math>x=a</math> равняется значению функции <math>f(x)</math> в этой точке, а значения его производных до <math>n</math>-го порядка включительно в точке <math>x=a</math> равняются значениям соответствующих производных от функции <math>f(x)</math> в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид <math>{P_n}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:K!{{(x - a)}^k}}</math>, то есть это <math>n</math>-я частичная сумма ряда Тейлора функции <math>f(x)</math>. Разница между функцией <math>f(x)</math> и многочленом <math>{P_n}(x)</math> называется остаточным членом и обозначается <math>{R_n}(x)=f(x)-{P_n}(x)</math>. Формула <math>f(x)={P_n}(x)+{R_n}(x)</math> называется формулой Тейлора. Остаточный член дифференцируем <math>n+1</math> раз в рассматриваемой окрестности точки <math>a</math>. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема: Шаблон:Рамка Если функция <math>f(x)</math> имеет <math>n+1</math> производную на отрезке с концами <math>a</math> и <math>x</math>, то для произвольного положительного числа <math>p</math> найдётся точка <math>\xi</math>, лежащая между <math>a</math> и <math>x</math>, такая, что

<math>f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi).</math>

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

<math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1 </math>

Продифференцируем по <math>x</math> обе части формулы Тейлора <math>n</math> раз:

<math>\begin{array}{l}

1)f(x)' = f(a)' + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:(k - 1)!{{(x - a)}^{k - 1}}} + {R_n}(x)'\\ 2)f(x) = f(a) + \sum\limits_{k = 3}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:(k - 2)!{{(x - a)}^{k - 2}}} + {R_n}(x)\\ ...\\ n - 1)f{(x)^{(n - 1)}} = f{(a)^{(n - 1)}} + {f^{(n)}}(a)(x - a) + {R_n}{(x)^{(n - 1)}}\\ n)f{(x)^{(n)}} = {f^{(n)}}(a) + {R_n}{(x)^{(n)}} \end{array}

</math>

(Отсюда, в частности, видно, что <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a) = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math> — это свойство остаточного члена в любой форме.)

По теореме Лагранжа (поскольку <math>f(x)</math> соответствует условиям теоремы) существует такая точка <math>\xi </math> между <math>x </math> и <math>a </math> (то есть <math>\xi </math> не равно ни <math>x </math>, ни <math>a </math>), что <math>f{(x)^{(n)}} - {f^{(n)}}(a) = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) </math>. Отсюда <math>{R_n}{(x)^{(n)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) </math>. Продифференцируем последнее тождество ещё раз по <math>x </math> и получим <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>.

Пусть остаточный член задан в виде <math>{R_n}(x) = \frac{{f{{(\xi )}^{(n + 1)}}{{(x - a)}^{n + 1}}}}Шаблон:(n + 1)! </math>. Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке <math>x=a</math>, во-вторых, <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>. В конце ещё можно сделать замену переменной: <math>\xi = a + \theta (x - a),\qquad 0 < \theta < 1 </math>. Формула выведена.

Шаблон:Конец скрытого блока В форме Коши:

<math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1</math>

В интегральной форме:

<math>R_{n}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt</math>

Методом интегрирования по частям получим <math>\begin{array}{l}

{R_n}(x) = \frac{1}Шаблон:N!\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}{f^{(n + 1)}}(t)dt} = \frac{1}Шаблон:N!\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}d{f^{(n)}}(t)} = \frac{1}Шаблон:N!\left. {\left( {{{(x - t)}^n}{f^{(n)}}(t)} \right)} \right|_a^x - \frac{1}Шаблон:N!\int\limits_a^x {{f^{(n)}}(t)d} {(x - t)^n} = \\

= \frac{1}Шаблон:(n - 1)!\int\limits_a^x {{{(x - t)}^{n - 1}}{f^{(n)}}(t)d} t - \frac{{{{(x - a)}^n}{f^{(n)}}(a)}}Шаблон:N! = ... = \int\limits_a^x {f'(t)d} t - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}Шаблон:K!}  = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}Шаблон:K!} 

\end{array}</math>

откуда

<math>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}Шаблон:K!} + {R_n}(x)</math>

Шаблон:Конец скрытого блока Ослабим предположения:

• Пусть функция <math>f(x)</math> имеет <math>n-1</math> производную в некоторой окрестности точки <math>a</math> и <math>n</math>-ю производную в самой точке <math>a</math>, тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

<math>R_{n}(x) = o[(x - a)^n ]</math>

Поскольку <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a) = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math>, то предел отношения <math>\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} </math> при <math>x</math>, стремящемся к <math>a</math>, может быть найден по правилу Лопиталя: <math>\lim_{x \to a}\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)'}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)'}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)}} = ... = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}{{{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)}^{(n)}}}} = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}Шаблон:N! = 0 </math>

Поскольку предел равен нулю, это значит, что остаточный член <math>R_{n}(x)</math> является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем <math>(x - a)^n</math>, при <math>x \to a</math>. А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Шаблон:Mainref Предположим, что некоторую функцию <math>f(x)</math> нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке <math>x=a</math>. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке <math>a</math>, и её ряд Тейлора с параметром <math>a</math> может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка <math>x=a</math>, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции <math>f(x)</math> только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку <math>a</math>. Пусть ряд Тейлора с параметром <math>a</math> такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех <math>x</math> из окрестности <math>a</math> по формуле Тейлора можно записать <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = \lim_{n \to \infty}(f(x)-P_n(x))=f(x)-\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math>, где <math>\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math> — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция <math>f(x)</math> является аналитической в точке <math>a</math> тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки <math>a</math> существует непрерывная область <math>X</math> такая, что для всех <math>x \in X</math> остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом <math>n</math>: <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0</math>.

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию <math> e^x </math>. Её ряд Тейлора сходится на всей оси <math>x</math> для любых параметров <math>a</math>. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках <math>a</math>.

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид <math>{R_n}(x) = \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}Шаблон:(n + 1)!{e^{\xi_n} }</math>, где <math>\xi_n</math> — некоторое число, заключенное между <math>x</math> и <math>a</math> (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

<math>\lim_{n \to \infty}{R_n}(x) =\lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}Шаблон:(n + 1)!{e^{\xi_n} }\leq M\cdot \lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}Шаблон:(n + 1)!=0</math>

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом <math>M</math>

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых <math>x</math> и <math>a</math>.

Ряды Маклорена некоторых функций

• Экспонента: <math>\displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}.</math>
• Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): <math>\displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} = \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n}</math> для всех <math> -1< x \le 1.</math>
• Биномиальное разложение: <math>\displaystyle(1+x)^\alpha = 1+\sum\limits^{\infin}_{n=1} \binom \alpha n x^n,</math> для всех <math> \left| x \right| < 1</math> и всех комплексных <math>\alpha,</math> где <math>\displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> — обобщённые биномиальные коэффициенты.
  • Квадратный корень: <math>\displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1\cdot 1}{2\cdot 4}x^2 + \tfrac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^3 - \tfrac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4 + \tfrac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}x^5 - \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}(2n)!}{ 2^{2n} (2n-1)(n!)^2}x^n = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!! (2n+1)(2n-1)} x^n</math> для всех <math>|x| \le 1.</math>
  • Обратный квадратный корень: <math>\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^2 - \tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}x^3 + \tfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4 - \tfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}x^5 + \cdots =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} x^n = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n(2n+1)!!}{(2n)!! (2n+1)} x^n</math> для всех <math> -1< x \le 1.</math>
  • Шаблон:Iw:
    • <math>\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} x^n</math> для всех <math> |x| < 1.</math>
    • <math>\dfrac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=1} nx^{n-1}</math> для всех <math> |x| < 1.</math>
    • <math>\dfrac{1}{(1-x)^3} = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}</math> для всех <math> |x| < 1.</math>
    • Конечный геометрический ряд: <math>\displaystyle\dfrac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n </math> для всех <math> x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0.</math>
• Тригонометрические функции:
  • Синус: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{C}.</math>
  • Косинус: <math>\displaystyle\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb{C}.</math>
  • Тангенс: <math>\displaystyle\operatorname{tg}\ x = x + \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{2}{15}x^5 + \tfrac{17}{315}x^7 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2},</math> где <math>B_{2n}</math> — числа Бернулли.
  • Котангенс: <math>\displaystyle\operatorname{ctg}\ x = x^{-1} - \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{45}x^3 - \tfrac{2}{945}x^5 - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}</math> для всех <math> 0 < |x| < \pi,</math> где <math>B_{2n}</math> — числа Бернулли.
  • Секанс: <math>\displaystyle\sec x = 1 + \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{5}{24}x^4 + \tfrac{61}{720}x^6 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}</math> для всех <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2},</math> где <math>E_{2n}</math> — числа Эйлера.
  • Косеканс: <math>\displaystyle\operatorname{cosec} x = x^{-1} + \tfrac{1}{6}x + \tfrac{7}{360}x^3 + \tfrac{31}{15120}x^5 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 \left(2^{2n-1}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}</math> для всех <math> 0 < |x| < \pi,</math> где <math>B_{2n}</math> — числа Бернулли.
• Обратные тригонометрические функции:
  • Арксинус: <math>\arcsin x = x + \tfrac{1}{2\cdot 3}x^3 + \tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5 + \tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7 + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1</math>.
  • Арккосинус: <math>\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x = {\pi\over 2} - x - \tfrac{1}{2\cdot 3}x^3 - \tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5 - \tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7 - \cdots = {\pi\over 2} - \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2} = {\pi\over 2} - \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1.</math>
  • Арктангенс: <math>\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1}</math> для всех <math>\left| x \right| \le 1.</math>
  • Арккотангенс: <math>\operatorname{arcctg} x = {\pi\over 2} - \operatorname{arctg} x = {\pi\over 2} - x + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} - \cdots = {\pi\over 2} - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1} </math> для всех <math> \left| x \right| \le 1.</math>

• Гиперболические функции:
  • Гиперболический синус: <math>\operatorname{sh}x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{C}.</math>
  • Гиперболический косинус: <math>\operatorname{ch}x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb{C}.</math>
  • Гиперболический тангенс: <math>\operatorname{th}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{2^{2n}B_{2n} (2^{2n}-1)}{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math>\left|x\right| < \dfrac{\pi}{2}.</math>
  • Гиперболический котангенс: <math>\operatorname{cth}x = x^{-1} + \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{45}x^3 + \tfrac{2}{945}x^5 - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{2^{2n}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math> 0 < |x| < \pi.</math>
  • Гиперболический секанс: <math>\operatorname{sech}x = 1 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{5}{24}x^4 - \tfrac{61}{720}x^6 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}</math> для всех <math>\left|x\right| < \dfrac{\pi}{2}.</math>
  • Гиперболический косеканс: <math>\operatorname{cosech}x = x^{-1} - \tfrac{1}{6}x + \tfrac{7}{360}x^3 - \tfrac{31}{15120}x^5 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math> 0 < |x| < \pi.</math>

• Обратные гиперболические функции:
  • Гиперболический ареасинус: <math>\operatorname{arsh}x = x - \tfrac{1}{2\cdot 3}x^3 + \tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5 - \tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7 + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{2^{2n} (n!)^2 } \frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1.</math>
  • Гиперболический ареатангенс: <math>\operatorname{arth}x = x + \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{1}{5}x^5 + \tfrac{1}{7}x^7 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} </math> для всех <math> \left| x \right| < 1.</math>
• W-функция Ламберта: <math>W_{0}(x) = x - x^2 + \dfrac{3x^3}{2} - \dfrac{8x^4}{3} + \dfrac{125x^5}{24} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(-n)^{n-1}}{n!}, |x| \le 1/e.</math>

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция <math>f(x,y)</math> имеет непрерывные производные до <math>(n+1)</math>-го порядка включительно в некоторой окрестности точки <math>(x_0, y_0)</math>. Введём дифференциальный оператор

<math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}</math>.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции <math>f(x,y)</math> по степеням <math>(x-x_0)^p (y-y_0)^q</math> для <math>p+q\leq n</math> в окрестности точки <math>(x_0, y_0)</math> будет иметь вид

<math>f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),</math>

где <math>R_n(x,y)</math> — остаточный член в форме Лагранжа:

<math>R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]</math>

Следует иметь в виду, что операторы <math>\dfrac {\partial} {\partial x}</math> и <math>\dfrac {\partial} {\partial y}</math> в <math>\mathrm{T}^{k}</math> действуют только на функцию <math>f(x,y)</math>, но не на <math>(x-x_0)</math> и/или <math>(y-y_0)</math>.

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе <math>\mathrm{T}</math>.

В случае функции одной переменной <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {d}{dx}\,</math>.

Формула Тейлора многих переменных

Для получения формулы Тейлора функции <math>n</math> переменных <math>f(x_1, x_2, ... x_n)</math>, которая в некоторой окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> имеет непрерывные производные до <math>(m+1)</math>-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

<math>\mathrm{T}=(x_1-a_{1})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-a_{2})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-a_{n})\dfrac {\partial} {\partial x_n}.</math>

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням <math>(x_i-a_{i})^{k_i}</math> в окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> имеет вид

<math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^m \dfrac {\mathrm{T}^k f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})} {k!} + R_m(x_1, x_2, ... x_n),</math>

где <math>R_m(x_1, x_2, ... x_n)</math> — остаточный член порядка <math>(m+1)</math>.

Для функции <math>n</math> переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math>, ряд Тейлора имеет вид:

<math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum\limits_{i_1=1}^n\sum\limits_{i_2=1}^n...\sum\limits_{i_k=1}^n \frac{\partial^k f(a_1, a_2, ..., a_n)}{\partial x_{i_1}\partial x_{i_2}...\partial x_{i_k}}(x_{i_1}-a_{1})(x_{i_2}-a_{2})...(x_{i_n}-a_{n})</math>.

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

<math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\overbrace{\sum\limits_{k_1=0}\sum\limits_{k_2=0}...\sum\limits_{k_n=0}}^{k_1+k_2+...+k_n=k}\dfrac{1}{k_1!k_2!...k_n!}\dfrac {\partial^{k}f(a_1,a_2,..., a_n)} {\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}...\partial x_n^{k_n}}(x_1-a_{1})^{k_1}(x_2-a_{2})^{k_2}...(x_n-a_{n})^{k_n}</math>.

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> в окрестности точки <math>(0, 0, 0)</math> до второго порядка малости. Оператор <math>\mathrm{T}</math> будет иметь вид

<math>\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.</math>

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

<math>f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_2(x, y, z) =</math>

<math>= \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_2(x, y, z);</math>

Учитывая, что

<math>T^2 =

x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z}, </math>

получим

<math>f(x, y, z)= f_0 +

x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z}

+ \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} +

</math>

<math>

+ xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z}

+ R_2(x, y, z). </math>

Например, при <math>f(x,y,z)=e^{x+y+z}</math>,

<math>f(x, y, z)= 1 + x + y + z

+ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2} + xy + xz + yz + R_2(x, y, z). </math>

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. Сборная Тейлора и Маклорена, Систематизация степенных рядов функций и операций. - 2023.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга