Просмотр кода страницы Русская Википедия:Список правильных многомерных многогранников и соединений

{{Русская Википедия/Панель перехода}}
{| class=wikitable align=right
|+ Примеры правильных многогранников
!colspan=2|Правильные (2D) многоугольники
|-
!Выпуклые
!Звёздчатые
|- align=center
|[[Файл:Regular pentagon.svg|150px]]<br>[[Пятиугольник|{5}]]
|[[Файл:Star polygon 5-2.svg|150px]]<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]
|-
!colspan=2| Правильные 3D-многогранники
|-
! Выпуклые
! Звёздчатые
|- align=center
|[[Файл:Dodecahedron.png|150px]]<br>[[Додекаэдр|{5,3}]]
|[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|150px]]<br>[[Малый звёздчатый додекаэдр|{5/2,5}]]
|-
!colspan=2| Правильные 2D-замощения
|-
!Евклидовы
!Гиперболические
|- align=center
|[[Файл:Uniform tiling 44-t0.svg|150px]]<br>[[Квадратный паркет|{4,4}]]
|[[Файл:Uniform tiling 54-t0.png|150px]]<br>{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика порядка 4|{5,4}||Order-4 pentagonal tiling}}
|-
!colspan=2| Правильные 4D-многогранники
|-
!Выпуклые 
!Звёздчатые
|- align=center
|[[Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png|150px]]<br>[[стодвадцатиячейник|{5,3,3}]]
|[[Файл:Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png|150px]]<br>{{не переведено 5|Малый звёздчатый 120-ячейник|{5/2,5,3}||Small stellated 120-cell}}
|-
!colspan=2| Правильные 3D-замощения
|-
!Евклидовы
!Гиперболические
|- align=center
|[[Файл:Cubic honeycomb.png|150px]]<br>[[Кубические соты|{4,3,4}]]
|[[Файл:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png|150px]]<br>[[Додекаэдральные соты порядка 4|{5,3,4}]]
|}

Эта страница содержит список [[Правильные многомерные многогранники|правильных многомерных многогранников (политопов)]] и правильных [[Соединение многогранников|cоединений этих многогранников]] в [[Евклидова геометрия|евклидовом]], [[Сферическая геометрия|сферическом]] и [[Геометрия Лобачевского|гиперболическом]] пространствах разных размерностей.

[[Символ Шлефли]] описывает каждое правильное замощение n-сферы, евклидова и гиперболического пространства. Символ Шлефли описания n-мерного многогранника равным образом описывает мозаику (n-1)-сферы. Вдобавок, симметрия правильного многогранника или замощения выражается как [[группа Коксетера]], которые  [[Коксетер, Гарольд|Коксетер]] обозначал идентично символам Шлефли, за исключением разграничения квадратными скобками, и эта нотация называется {{не переведено 5|Нотация Коксетера|нотацией Коксетера||Coxeter notation}}. Другой связанный символ — [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграмма Коксетера — Дынкина]], которая представляет группу симметрии (без помеченных кружком узлов) и правильные многогранники или замощения с обведённым кружком первым узлом. Например, [[куб]] имеет символ Шлефли {4,3}, с его {{не переведено 5|Октаэдральная симметрия|октаэдральной симметрией||octahedral symmetry}}  [4,3] или {{CDD|node|4|node|3|node}}, представляется диаграммой Коксетера {{CDD|node_1|4|node|3|node}}.

Правильные многогранники сгруппированы по размерности, а затем по форме — выпуклые, невыпуклые и бесконечные. Невыпуклые виды используют те же вершины, что и выпуклые, но имеют пересекающиеся фасеты (грани максимальной размерности = размерности пространства – 1). Бесконечные виды [[Паркет (геометрия)|замощают]] евклидово пространство на единицу меньшей размерности.

Бесконечные формы можно расширить до замощения [[Геометрия Лобачевского|гиперболического пространства]]. Гиперболическое пространство подобно обычному пространству, но параллельные прямые с расстоянием расходятся. Это позволяет вершинным фигурам иметь отрицательные [[Дефект (геометрия)|угловые дефекты]]. Например, в вершине может сходиться семь [[Правильный треугольник|правильных треугольников]], лежащих на плоскости. Это нельзя осуществить на обычной (евклидовой) плоскости, но можно сделать при некотором масштабе на гиперболической плоскости.

Многогранники, удовлетворяющие более общему определению и не имеющие простых символов Шлефли, включают [[Правильный косой многогранник|правильные косые многогранники]] и бесконечноугольные правильные косые многогранники с неплоскими фасетами или [[Вершинная фигура|вершинными фигурами]].

==Обзор==
Таблица показывает сводку правильных многогранников по размерностям.
{| class="wikitable"
!
!colspan=3|Конечные 
!Евклидовы
!colspan=3|Гиперболические
!colspan=2| Соединения
|-
!Разм.
!Выпук-<br>лые
!Звёзд-<br>чатые
!Косые
! Выпук-<br>лые
!Компак-<br>тные
! Звёзд-<br>чатые
! Параком-<br>пактные
! Выпук-<br>лые
! Звёзд-<br>чатые
|- align=center
!1
||1||0||0||1||0||0||0||0||0
|- align=center
!2
||∞||∞||∞||1||1||0||0||∞||∞
|- align=center
!3
||5||4||?||3||∞||∞||∞||5||0
|- align=center
!4
||6||10||?||1||4||0||11||26||20
|- align=center
!5
||3||0||?||3||5||4||2||0||0
|- align=center
!6
||3||0||?||1||0||0||5||0||0
|- align=center
!7
||3||0||?||1||0||0||0||3||0
|- align=center
!8
||3||0||?||1||0||0||0||6||0
|- align=center
!9+
||3||0||?||1||0||0||0||*||0
|}
<nowiki>*</nowiki> 1, если размерность имеет вид 2<sup>''k''</sup> − 1; 2, если размерность является степенью двойки; 0 в противном случае.

Не существует правильных звёздчатых замощений в евклидовом пространстве любой размерности.

==Одномерное пространство ==
{| class=wikitable align=right width=350
|- valign=top
|[[Файл:Coxeter node markup (ru).svg|170px]]
|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера — Дынкина]] представляет зеркальные "плоскости" как узлы, и помещает кружок вокруг узла, если точка ''не'' лежит на плоскости. ''Отрезок'', { }, {{CDD|node_1}} — это точка ''p'' и зеркальный образ точки ''p'', а также отрезок между ними.
|}
Одномерный многогранник (1-многогранник)  — это замкнутый [[отрезок]], ограниченный двумя конечными точками. 1-многогранник является правильным по определению и представляется [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {&nbsp;}{{sfn|Coxeter|1973|с=129}}{{sfn|McMullen, Schulte|2002|с=30}} или [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграммой Коксетера]] с единственным помеченным кружком узлом, {{CDD|node_1}}. [[Джонсон, Норман|Норман Джонсон]] дал им название ''дайтел'' и символ Шлефли {&nbsp;} {{sfn|Johnson|2012|с=86}}.

Будучи тривиальным в качестве многогранника, дайтел возникает в качестве рёбер многоугольников и многогранников{{sfn|Coxeter|1973|с=120}}. Он используется в определении [[Призма (геометрия)|однородных призм]] (как в символе Шлефли {&nbsp;}×{p}) или в диаграмме Коксетера {{CDD|node_1|2|node_1|p|node}} как [[прямое произведение]] отрезка и правильного многоугольника {{sfn|Coxeter|1973|с=124}}.

== Двумерное пространство (многоугольники)==

Двумерные многогранники называются [[Многоугольник|многоугольниками]]. Правильные многоугольники имеют равные стороны и [[Описанная окружность|вписаны]] в окружность. Правильный p-угольник представляется [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {p}.

Обычно только [[Выпуклый многоугольник|выпуклые многоугольники]] считаются правильными, но [[Звёздчатый многоугольник|звёздчатые многоугольники]] наподобие [[Пентаграмма|пентаграммы]] можно также считать правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединение происходит другим путём, при котором окружность обходится более одного раза.

Звёздчатые многоугольники следует называть скорее ''невыпуклыми'', чем ''вогнутыми'', поскольку пересечение рёбер не образует новых вершин и все вершины находятся на окружности.

===Выпуклые===

Символ Шлефли {p} представляет [[Правильный многоугольник|правильный ''p''-угольник]].

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0" valign="top"
!Название
![[Правильный треугольник|Треугольник]]<br />([[Симплекс|2-симплекс]])
![[Квадрат]]<br />(2-[[ортоплекс]])<br />([[ Гиперкуб|2-куб]])
![[Пятиугольник]]
![[Шестиугольник]]
![[Семиугольник]]
![[Восьмиугольник]]
|- bgcolor="#ffe0e0"
![[Символ Шлефли|Шлефли]]
|{3}
|{4}
|{5}
|{6}
|{7}
|{8}
|-
!Симметрия
|D<sub>3</sub>, [3]||D<sub>4</sub>, [4]||D<sub>5</sub>, [5]||D<sub>6</sub>, [6]||D<sub>7</sub>, [7]||D<sub>8</sub>, [8]
|-
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]
|{{CDD|node_1|3|node}}
|{{CDD|node_1|4|node}}
|{{CDD|node_1|5|node}}
|{{CDD|node_1|6|node}}
|{{CDD|node_1|7|node}}
|{{CDD|node_1|8|node}}
|-
!Рисунок
|[[Файл:Regular triangle.svg|60px]]
|[[Файл:Regular quadrilateral.svg|60px]]
|[[Файл:Regular pentagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular hexagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular heptagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular octagon.svg|60px]]
|-
!Название
![[Девятиугольник]]
![[Десятиугольник]]
![[Одиннадцатиугольник]]
![[Двенадцатиугольник]]
![[Тринадцатиугольник]]
![[Четырнадцатиугольник]]
|- bgcolor="#ffe0e0"
!Шлефли
|{9}
|{10}
|{11}
|{12}
|{13}
|{14}
|-
!Симметрия
|D<sub>9</sub>, [9]||D<sub>10</sub>, [10]||D<sub>11</sub>, [11]||D<sub>12</sub>, [12]||D<sub>13</sub>, [13]||D<sub>14</sub>, [14]
|-
!Дынкин
|{{CDD|node_1|9|node}}
|{{CDD|node_1|10|node}}
|{{CDD|node_1|11|node}}
|{{CDD|node_1|12|node}}
|{{CDD|node_1|13|node}}
|{{CDD|node_1|14|node}}
|-
!Рисунок
|[[Файл:Regular nonagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular decagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular hendecagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular dodecagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular tridecagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular tetradecagon.svg|60px]]
|-
!Название
![[Пятнадцатиугольник]]
![[Шестнадцатиугольник]]
![[Семнадцатиугольник]]
![[Восемнадцатиугольник]]
![[Девятнадцатиугольник]]
![[Двадцатиугольник]]
|...[[Правильный многоугольник|p-угольник]]
|- bgcolor="#ffe0e0"
!Шлефли
|{15}
|{16}
|{17}
|{18}
|{19}
|{20}
|{''p''}
|-
!Симметрия
|D<sub>15</sub>, [15]||D<sub>16</sub>, [16]||D<sub>17</sub>, [17]||D<sub>18</sub>, [18]||D<sub>19</sub>, [19]||D<sub>20</sub>, [20]||D<sub>p</sub>, [p]
|-
!Дынкин
|{{CDD|node_1|15|node}}
|{{CDD|node_1|16|node}}
|{{CDD|node_1|17|node}}
|{{CDD|node_1|18|node}}
|{{CDD|node_1|19|node}}
|{{CDD|node_1|20|node}}
|{{CDD|node_1|p|node}}
|-
!Рисунок
|[[Файл:Regular pentadecagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular hexadecagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular heptadecagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular octadecagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular enneadecagon.svg|60px]]
|[[Файл:Regular icosagon.svg|60px]]
|}

====Сферические====

Правильный [[двуугольник]] {2} можно считать [[Вырождение (математика)|вырожденным]] правильным  многоугольником. Он может существовать как невырожденный в некоторых неевклидовых пространствах, таких как поверхность [[Сфера|сферы]] или [[Тор (поверхность)|тора]].

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0" valign="top"
!Название
|[[Одноугольник]]
|[[Двуугольник]]
|- bgcolor="#ffe0e0"
![[Символ Шлефли]]
|{1}
|{2}
|-
!Симметрия
|D<sub>1</sub>, [ ]
|D<sub>2</sub>, [2]
|-
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер diagram]]
|{{CDD|node}} или {{CDD|node_h|2x|node}}
|{{CDD|node_1|2x|node}}
|-
!Рисунок
|[[Файл:Monogon.svg|60px]]
|[[Файл:Digon.svg|60px]]
|}

===Звёзды===
Существует бесконечно много правильных звёздчатых многогранников в двумерном пространстве (т.е. многоугольников), символы Шлефли которых являются рациональными числами {''n''/''m''}. Они называются [[Звёздчатый многоугольник|звёздчатыми многоугольниками]] и имеют то же самое {{не переведено 5|расположение вершин|||vertex arrangement}}, что и у выпуклого многоугольника.

В общем случае для любого натурального числа ''n'' и для всех m, таких, что ''m'' < ''n''/2 и ''m'', ''n'' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], существуют n-точечные правильные звёзды с символами Шлефли {''n''/''m''}  (строго говоря,  {''n''/''m''}={''n''/(''n''−''m'')}) .

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0"
!Название
|[[Пентаграмма]]
| colspan="2" | [[Гептаграмма|Гептаграммы]]
|[[ Октаграмма]]
| colspan="2" | [[Эннеаграмма (геометрия)|Эннеаграммы]]
|{{не переведено 5|Декаграмма|||Decagram (geometry)}}
|...[[Звёздчатый многоугольник|n-граммы]]
|- bgcolor="#ffe0e0"
![[Символ Шлефли|Шлефли]]
|{5/2}<!--<br/>(star)-->
|{7/2}<!--<br/>(hag)-->
|{7/3}<!--<br/>(gahg)-->
|{8/3}<!--<br/>(og)-->
|{9/2}<!--<br/>(eng)-->
|{9/4}<!--<br/>(geng)-->
|{10/3}<!--<br/>(dag)-->
|{''p/q''}
|-
!Симметрия
|D<sub>5</sub>, [5]||colspan=2|D<sub>7</sub>, [7]||D<sub>8</sub>, [8]||colspan=2|D<sub>9</sub>, [9],||D<sub>10</sub>, [10]||D<sub>p</sub>, [''p'']
|-
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]
|{{CDD|node_1|5|rat|d2|node}}
|{{CDD|node_1|7|rat|d2|node}}
|{{CDD|node_1|7|rat|d3|node}}
|{{CDD|node_1|8|rat|d3|node}}
|{{CDD|node_1|9|rat|d2|node}}
|{{CDD|node_1|9|rat|d4|node}}
|{{CDD|node_1|10|rat|d3|node}}
|{{CDD|node_1|p|rat|dq|node}}
|-
!Рисунок
|[[Файл:Regular star polygon 5-2.svg|75px]]
|[[Файл:Regular star polygon 7-2.svg|75px]]
|[[Файл:Regular star polygon 7-3.svg|75px]]
|[[Файл:Regular star polygon 8-3.svg|75px]]
|[[Файл:Regular star polygon 9-2.svg|75px]]
|[[Файл:Regular star polygon 9-4.svg|75px]]
|[[Файл:Regular star polygon 10-3.svg|75px]]
|&nbsp;
|}

{| class=wikitable
|+ Правильные звёздчатые многоугольники с числом сторон до 20 
|- align=center
|[[Файл:Regular star polygon 11-2.svg|60px]]<br>'''{11/2}'''
|[[Файл:Regular star polygon 11-3.svg|60px]]<br>{11/3}
|[[Файл:Regular star polygon 11-4.svg|60px]]<br>{11/4}
|[[Файл:Regular star polygon 11-5.svg|60px]]<br>{11/5}
|[[Файл:Regular star polygon 12-5.svg|60px]]<br>'''{12/5}'''
|[[Файл:Regular star polygon 13-2.svg|60px]]<br>'''{13/2}'''
|[[Файл:Regular star polygon 13-3.svg|60px]]<br>{13/3}
|[[Файл:Regular star polygon 13-4.svg|60px]]<br>{13/4}
|[[Файл:Regular star polygon 13-5.svg|60px]]<br>{13/5}
|[[Файл:Regular star polygon 13-6.svg|60px]]<br>{13/6}
|- align=center
|[[Файл:Regular star polygon 14-3.svg|60px]]<br>'''{14/3}'''
|[[Файл:Regular star polygon 14-5.svg|60px]]<br>{14/5}
|[[Файл:Regular star polygon 15-2.svg|60px]]<br>'''{15/2}'''
|[[Файл:Regular star polygon 15-4.svg|60px]]<br>{15/4}
|[[Файл:Regular star polygon 15-7.svg|60px]]<br>{15/7}
|[[Файл:Regular star polygon 16-3.svg|60px]]<br>'''{16/3}'''
|[[Файл:Regular star polygon 16-5.svg|60px]]<br>{16/5}
|[[Файл:Regular star polygon 16-7.svg|60px]]<br>{16/7}
|- align=center
|[[Файл:Regular star polygon 17-2.svg|60px]]<br>'''{17/2}'''
|[[Файл:Regular star polygon 17-3.svg|60px]]<br>{17/3}
|[[Файл:Regular star polygon 17-4.svg|60px]]<br>{17/4}
|[[Файл:Regular star polygon 17-5.svg|60px]]<br>{17/5}
|[[Файл:Regular star polygon 17-6.svg|60px]]<br>{17/6}
|[[Файл:Regular star polygon 17-7.svg|60px]]<br>{17/7}
|[[Файл:Regular star polygon 17-8.svg|60px]]<br>{17/8}
|[[Файл:Regular star polygon 18-5.svg|60px]]<br>'''{18/5}'''
|[[Файл:Regular star polygon 18-7.svg|60px]]<br>{18/7}
|- align=center
|[[Файл:Regular star polygon 19-2.svg|60px]]<br>'''{19/2}'''
|[[Файл:Regular star polygon 19-3.svg|60px]]<br>{19/3}
|[[Файл:Regular star polygon 19-4.svg|60px]]<br>{19/4}
|[[Файл:Regular star polygon 19-5.svg|60px]]<br>{19/5}
|[[Файл:Regular star polygon 19-6.svg|60px]]<br>{19/6}
|[[Файл:Regular star polygon 19-7.svg|60px]]<br>{19/7}
|[[Файл:Regular star polygon 19-8.svg|60px]]<br>{19/8}
|[[Файл:Regular star polygon 19-9.svg|60px]]<br>{19/9}
|[[Файл:Regular star polygon 20-3.svg|60px]]<br>'''{20/3}'''
|[[Файл:Regular star polygon 20-7.svg|60px]]<br>{20/7}
|[[Файл:Regular star polygon 20-9.svg|60px]]<br>{20/9}
|}

===Пространственные многоугольники ===

В 3-мерном пространстве [[Пространственный многоугольник|правильный пространственный многоугольник]] <ref>В английской литературе — skew polygon, буквально — ''косой многоугольник''. В русской литературе прижился термин ''пространственный многоугольник'', а термин ''косой многоугольник'' соответствует термину ''skew polyhedron'' (''косой многогранник''). В данной статье используется термин ''косой многогранник'' для размерностей 4 и выше.</ref> называется ''антипризматическим многоугольником'' и он имеет то же {{не переведено 5|расположение вершин|||vertex arrangement}}, что и у [[Антипризма|антипризмы]], и его рёбра являются подмножеством рёбер антипризмы, соединяющие зигзагом вершины верхнего и нижнего многоугольников.
{| class=wikitable
|+ Пример правильного пространственного зигзаг-многоугольника
|- align=center
|Шестиугольник
|Восьмиугольник
|colspan=3|Десятиугольник
|- align=center
!D<sub>3d</sub>, [2<sup>+</sup>,6]
!D<sub>4d</sub>, [2<sup>+</sup>,8]
!colspan=3|D<sub>5d</sub>, [2<sup>+</sup>,10]
|- align=center
|{3}#{ }
|{4}#{ }
|{5}#{ }
|{5/2}#{ }
|{5/3}#{ }
|- align=center
|[[Файл:Skew polygon in triangular antiprism.png|80px]]
|[[Файл:Skew polygon in square antiprism.png|100px]]
|[[Файл:Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png|100px]]
|[[Файл:Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png|80px]]
|[[Файл:Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png|100px]]
|}

В 4-мерном пространстве правильный пространственный многоугольник может иметь вершины на [[Тор Клиффорда|торе Клиффорда]] и связан с {{не переведено 5|Вращение Клиффорда|вращением Клиффорда||Clifford displacement}}. В отличие от антипризматичных пространственных многоугольников, пространственные многоугольники двойного вращения могут иметь нечётное число сторон.

Их можно видеть в [[Многоугольник Петри|многоугольниках Петри]] {{не переведено 5|Выпуклый правильный четырёхмерный многогранник|выпуклых правильных четырёхмерных многогранников||convex regular 4-polytope}}, видимые как  правильные плоские многоугольники периметров проекций Коксетера:
{| class=wikitable
!Пятиугольник
!Восьмиугольник
!Двенадцатиугольник
!Тридцатиугольник
|- align=center
|[[Файл:4-simplex t0.svg|80px]]<br>[[Пятиячейник]]
|[[Файл:4-orthoplex.svg|80px]]<br>[[Шестнадцатиячейник]]
|[[Файл:24-cell t0 F4.svg|80px]]<br>[[Двадцатичетырёхъячейник]]
|[[Файл:600-cell graph H4.svg|80px]]<br>[[Шестисотячейник]]
|}

==Трёхмерное пространство (многогранники)==

В трёхмерном пространстве правильный многогранник с [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {p,q} и диаграммой Коксетера {{CDD|node_1|p|node|q|node}} имеет правильные грани вида {p} и правильную [[Вершинная фигура|вершинную фигуру]] {q}.

[[Вершинная фигура|Вершинная фигура]] (многогранника) является многоугольником, получаемым соединением вершин, отстоящих на одно ребро от заданной вершины. Для [[Правильный многогранник|правильных трёхмерных многогранников]], эта вершинная фигура является всегда правильным  (и планарным) многоугольником.

Существование правильного многогранника {p,q} ограничено неравенством, относящимся к [[Дефект (геометрия)|угловому дефекту]] вершинной фигуры:
: <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}</math> : Многогранник (существует в евклидовом 3-мерном пространстве)
: <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2}</math> : ''Евклидова'' плоская мозаика
: <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} < \frac{1}{2}</math> : Замощение гиперболической плоскости

Перенумеровав [[Перестановка|перестановки]], мы найдём 5 выпуклых форм, 4 звёздчатые формы и 3 плоских замощения, все с многоугольниками {p} и {q} из списка: {3}, {4}, {5}, {5/2} и  {6}.

Вдобавок к мозаикам евклидова пространства существует бесконечное количество правильных гиперболических мозаик.

===Выпуклые===
Пять выпуклых правильных [[Многогранник|многогранников]] называются [[Правильный многогранник|платоновыми телами]]. [[Вершинная фигура]] указана вместе с числом вершин. Все эти многогранники имеют [[Эйлерова характеристика|эйлерову характеристику]] (χ) 2.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Шлефли]]<br />{p,q}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]<br />{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!Рисунок<br>(прозрачный)
!Рисунок<br>(тело)
!Рисунок<br>(сфера)
![[Грань (геометрия)|Граней]]<br />{p}
![[Ребро (математика)|Рёбер]]
![[Вершина (геометрия)|Вершин]]<br />{q}
![[Группы симметрии|Симметрия]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- bgcolor="#e0e0e0"
|[[Тетраэдр]]<br />([[Симплекс|3-симплекс]])
|{3,3}
|{{CDD|node_1|3|node|3|node}}
|[[Файл:Tetrahedron.gif|75px]]
|[[Файл:Tetrahedron.png|75px]]
|[[Файл:Uniform tiling 332-t0-1-.png|75px]]
|4<br />{3}
|6
|4<br />{3}
|T<sub>d</sub><br>[3,3]<br>(*332)
|(самодвойственен)
|- bgcolor="#ffe0e0"
|Шестигранник<br>[[Куб]] <br />([[Гиперкуб|3-куб]])
|{4,3}
|{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
|[[Файл:Hexahedron.gif|75px]]
|[[Файл:Hexahedron.png|75px]]
|[[Файл:Uniform tiling 432-t0.png|75px]]
|6<br />{4}
|12
|8<br />{3}
|O<sub>h</sub><br>[4,3]<br>(*432)
|Октаэдр
|- bgcolor="#e0e0ff"
|[[Октаэдр]]<br />(3-[[ортоплекс]])
|{3,4}
|{{CDD|node_1|3|node|4|node}}
|[[Файл:Octahedron.gif|75px]]
|[[Файл:Octahedron.png|75px]]
|[[Файл:Uniform tiling 432-t2.png|75px]]
|8<br />{3}
|12
|6<br />{4}
|O<sub>h</sub><br>[4,3]<br>(*432)
|Куб
|- bgcolor="#ffe0e0"
|[[Додекаэдр]]<!--<br/>(doe)-->
|{5,3}
|{{CDD|node_1|5|node|3|node}}
|[[Файл:Dodecahedron.gif|75px]]
|[[Файл:Dodecahedron.png|75px]]
|[[Файл:Uniform tiling 532-t0.png|75px]]
|12<br />{5}
|30
|20<br />{3}
|I<sub>h</sub><br>[5,3]<br>(*532)
|Икосаэдр
|- bgcolor="#e0e0ff"
|[[Икосаэдр]]<!--<br/>(ike)-->
|{3,5}
|{{CDD|node_1|3|node|5|node}}
|[[Файл:Icosahedron.gif|75px]]
|[[Файл:Icosahedron.png|75px]]
|[[Файл:Uniform tiling 532-t2.png|75px]]
|20<br />{3}
|30
|12<br />{5}
|I<sub>h</sub><br>[5,3]<br>(*532)
|Додекаэдр
|}

====Сферические====

В [[Сферическая геометрия|сферической геометрии]] существуют правильные [[сферический многогранник|сферические многогранники]] ([[Паркет (геометрия)|мозаики]] на [[Сфера|cфере]]), которые в нормальном случае являются вырожденными многогранниками. Это [[Осоэдр|осоэдры]] {2,n} и двойственные им [[Диэдр|диэдры]] {n,2}. [[Коксетер, Гарольд|Коксетер]] называет такие случаи "несобственными" замощениями {{sfn|Coxeter|1973|с=66-67}}.

Несколько первых примеров (n от 2 до 6) приведены ниже.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ [[Осоэдр|Осоэдры]]
|- valign="top"
!Название
![[Символ Шлефли|Шлефли]]<br />{2,p}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер<br>diagram]]
!Рисунок<br>(sphere)
![[Грань (геометрия)|Граней]]<br />{2}<sub>&pi;/p</sub>
![[Ребро (математика)|Рёбер]]
![[Вершина (геометрия)|Вершин]]<br />{p}
![[Список групп сферической симметрии|Симметрия]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- bgcolor="#e0e0e0"
|Двуугольный  осоэдр
|{2,2}
|{{CDD|node_1|2x|node|2x|node}}
|[[Файл:Spherical digonal hosohedron.png|75px]]
|2<br>{2}<sub>&pi;/2</sub>
|2
|2<br>{2}<sub>&pi;/2</sub>
|D<sub>2h</sub><br>[2,2]<br>(*222)
|Самодвойственен
|- bgcolor="#ffe0e0"
|Треугольный осоэдр
|{2,3}
|{{CDD|node_1|2x|node|3|node}}
|[[Файл:Spherical trigonal hosohedron.png|75px]]
|3<br>{2}<sub>&pi;/3</sub>
|3
|2<br>{3}
|D<sub>3h</sub><br>[2,3]<br>(*322)
|Треугольный диэдр
|- bgcolor="#ffe0e0"
|Квадратный осоэдр
|{2,4}
|{{CDD|node_1|2x|node|4|node}}
|[[Файл:Spherical square hosohedron.png|75px]]
|4<br>{2}<sub>&pi;/4</sub>
|4
|2<br>{4}
|D<sub>4h</sub><br>[2,4]<br>(*422)
|Квадратный диэдр
|- bgcolor="#ffe0e0"
|Пятиугольный осоэдр
|{2,5}
|{{CDD|node_1|2x|node|5|node}}
|[[Файл:Spherical pentagonal hosohedron.png|75px]]
|5<br>{2}<sub>&pi;/5</sub>
|5
|2<br>{5}
|D<sub>5h</sub><br>[2,5]<br>(*522)
|Пятиугольный диэдр
|- bgcolor="#ffe0e0"
|Шестиугольный осоэдр
|{2,6}
|{{CDD|node_1|2x|node|6|node}}
|[[Файл:Spherical hexagonal hosohedron.png|75px]]
|6<br>{2}<sub>&pi;/6</sub>
|6
|2<br>{6}
|D<sub>6h</sub><br>[2,6]<br>(*622)
|Шестиугольный диэдр
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ [[Диэдр|Диэдры]]
|- valign="top"
!Название
![[Символ Шлефли|Шлефли]]<br />{p,2}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма<br>Коксетера]]
!Рисунок<br>(сфера)
![[Грань (геометрия)|Граней]]<br />{p}
![[Ребро (математика)|Рёбер]]
![[Вершина (геометрия)|Вершин]]<br />{2}
![[Список групп сферической симметрии|Симметрия]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- bgcolor="#e0e0e0"
|Двуугольный диэдр
|{2,2}
|{{CDD|node_1|2x|node|2x|node}}
|[[Файл:Digonal dihedron.png|75px]]
|2<br>{2}<sub>&pi;/2</sub>
|2
|2<br>{2}<sub>&pi;/2</sub>
|D<sub>2h</sub><br>[2,2]<br>(*222)
|Самодвойственен
|- bgcolor="#e0e0ff"
|Треугольный диэдр
|{3,2}
|{{CDD|node_1|3|node|2x|node}}
|[[Файл:Trigonal dihedron.png|75px]]
|2<br>{3}
|3
|3<br>{2}<sub>&pi;/3</sub>
|D<sub>3h</sub><br>[3,2]<br>(*322)
|Треугольный осоэдр
|- bgcolor="#e0e0ff"
|Квадратный диэдр
|{4,2}
|{{CDD|node_1|4|node|2x|node}}
|[[Файл:Tetragonal dihedron.png|75px]]
|2<br>{4}
|4
|4<br>{2}<sub>&pi;/4</sub>
|D<sub>4h</sub><br>[4,2]<br>(*422)
|Квадратный осоэдр
|- bgcolor="#e0e0ff"
|Пятиугольный диэдр
|{5,2}
|{{CDD|node_1|5|node|2x|node}}
|[[Файл:Pentagonal dihedron.png|75px]]
|2<br>{5}
|5
|5<br>{2}<sub>&pi;/5</sub>
|D<sub>5h</sub><br>[5,2]<br>(*522)
|Пятиугольный осоэдр
|- bgcolor="#e0e0ff"
|Шестиугольный диэдр
|{6,2}
|{{CDD|node_1|6|node|2x|node}}
|[[Файл:Hexagonal dihedron.png|75px]]
|2<br>{6}
|6
|6<br>{2}<sub>&pi;/6</sub>
|D<sub>6h</sub><br>[6,2]<br>(*622)
|Шестиугольный осоэдр
|}
Звёздчатые диэдры и осоэдры также существуют, такие как {5/2,2} и {2,5/2}.

===Звёзды===
Правильные [[Звёздчатый многогранник|звёздчатые многогранники]] называются  [[Тело Кеплера — Пуансо|телами Кеплера — Пуансо]] и их существует четыре. Они основываются на {{не переведено 5|Расположение вершин|расположении вершин||vertex arrangement}}  [[Додекаэдр|додекаэдра]] {5,3} и [[Икосаэдр|икосаэдра]] {3,5}:

Как [[Сферический многогранник|cферические мозаики]] эти звёздчатые формы перекрывают сферу несколько раз, что называется их ''плотностью''. Для этих форм плотность равна 3 или 7. Рисунки мозаик показывают грани отдельных [[Сферическая тригонометрия|сферических многоугольников]] жёлтым цветом.
{| class="wikitable"
|-
!Название
!Рисунок<br>(прозрачный)
!Рисунок<br>(непрозрачный)
!Рисунок<br>(сферический)
!Диаграмма [[Образование звёздчатой формы|образования<br>звёздчатой<br>формы]]
![[Символ Шлефли|Шлефли]]<br />{p,q} и<br />[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]
!Граней<br />{p}
!Рёбер
!Вершин<br />{q}<br />[[Вершинная фигура|Фигура]]
![[Эйлерова характеристика|χ]]
!{{не переведено 5|Плотность многогранника|Плот-<br>ность||Density (polytope)}}
![[Группы симметрии|Симметрия]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Малый звёздчатый додекаэдр]]
|[[Файл:SmallStellatedDodecahedron.jpg|80px]]
|[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|80px]]
|[[Файл:Small stellated dodecahedron tiling.png|80px]]
|[[Файл:First stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5/2,5}<br />{{CDD|node|5|node|5|rat|d2|node_1}}
|12<br />{5/2}<br />[[Файл:Pentagram.svg|30px]]
|30||12<br />{5}<br />[[Файл:Pentagon.svg|30px]]
| −6||3||I<sub>h</sub><br>[5,3]<br>(*532)||Большой додекаэдр
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[Большой додекаэдр]]
|[[Файл:GreatDodecahedron.jpg|80px]]
|[[Файл:Great dodecahedron.png|80px]]
|[[Файл:Great dodecahedron tiling.png|80px]]
|[[Файл:Second stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5,5/2}<br />{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node}}
|12<br />{5}<br />[[Файл:Pentagon.svg|30px]]
|30||12<br />{5/2}<br />[[Файл:Pentagram.svg|30px]]
| −6||3||I<sub>h</sub><br>[5,3]<br>(*532)||Малый звёздчатый додекаэдр
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Большой звёздчатый додекаэдр]]
|[[Файл:GreatStellatedDodecahedron.jpg|80px]]
|[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|80px]]
|[[Файл:Great stellated dodecahedron tiling.png|80px]]
|[[Файл:Third stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5/2,3}<br />{{CDD|node|3|node|5|rat|d2|node_1}}
|12<br />{5/2}<br />[[Файл:Pentagram.svg|30px]]
|30||20<br />{3}<br />[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|30px]]
|2||7||I<sub>h</sub><br>[5,3]<br>(*532)||Большой икосаэдр
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[Большой икосаэдр]]
|[[Файл:GreatIcosahedron.jpg|80px]]
|[[Файл:Great icosahedron.png|80px]]
|[[Файл:Great icosahedron tiling.png|80px]]
|[[Файл:Sixteenth stellation of icosahedron facets.png|80px]]
|{3,5/2}<br />{{CDD|node_1|3|node|5|rat|d2|node}}
|20<br />{3}<br />[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|30px]]
|30||12<br />{5/2}<br />[[Файл:Pentagram.svg|30px]]
|2||7||I<sub>h</sub><br>[5,3]<br>(*532)||Большой звёздчатый додекаэдр
|}

=== Косые многогранники  ===
[[Правильный косой многогранник]] является обобщением множества правильных многогранников, в котором допускается непланарность [[Вершинная фигура|вершинных фигур]].

Для 4-мерных косых многогранников Коксетер предложил модифицированный [[символ Шлефли]] {l,m|n}, имеющих [[Вершинная фигура|вершинную фигуру]] {l,m}, ''m'' l-угольников вокруг вершины с ''n''-угольными дырами. Их вершинные фигуры являются [[Пространственный многоугольник|пространственными многоугольниками]], представляющими зигзаги между двумя плоскостями.

Для правильных косых многогранников, представленных символом {l,m|n}, выполняется равенство:
: 2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)

Четыре из них можно видеть в 4-мерном пространстве как множество граней четырёх [[Правильный четырёхмерный многогранник|правильных четырёхмерных многогранников]], имеющих одно и то же {{не переведено 5|расположение вершин|||vertex arrangement}} и {{не переведено 5|расположение рёбер|||edge arrangement}}:

{| class=wikitable 
|[[Файл:4-simplex t03.svg|100px]]
|[[Файл:4-simplex t12.svg|100px]]
|[[Файл:24-cell t03 F4.svg|100px]]
|[[Файл:24-cell t12 F4.svg|100px]]
|-
!{4, 6 &#124; 3}
!{6, 4 &#124; 3}
!{4, 8 &#124; 3}
!{8, 4 &#124; 3}
|}

==Четырёхмерное пространство==

Правильные [[4-мерный многогранник|4-мерные многогранники]] с [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] <math>\{p,q,r\}</math> имеют ячейки вида <math>\{p,q\}</math>, грани вида <math>\{p\}</math>, рёберные фигуры 
<math>\{r\}</math> и вершинные фигуры <math>\{q,r\}</math>.
* [[Вершинная фигура]] (4-мерного многогранника) является (3-мерным) многогранником, образованным соседними к данной вершине вершинами многогранника. Для правильных четырёхмерных многогранников эта вершинная фигура является правильным (3-мерным) многогранником.
* [[Вершинная фигура#Рёберная фигура|Рёберной фигурой]] является многоугольник, образованный прилегающими к ребру гранями. Для правильных четырёхмерных многогранников рёберной фигурой всегда будет правильный многоугольник.

Существование правильных четырёхмерных многогранников <math>\{p,q,r\}</math> ограничено существованием правильного многогранника <math>\{p,q\}, \{q,r\}</math>. Для 4-мерных многогранников предлагается использовать название "полихор"<ref>{{Cite web |url=http://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf |title=Источник |access-date=2016-01-10 |archive-date=2014-11-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141129150529/http://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf |deadlink=no }}</ref><ref>В английском языке для многогранников используются следующие названия: polyhedra — трёхмерный многогранник, polychoron — четырёхмерный многогранник, polytope — многогранник размерности 5 и выше. В русском языке, как правило, для всех этих видов используется термин ''многогранник'', иногда ''политоп''.</ref>

Каждый вид может существовать в пространстве, зависящем от следующего выражения:
: <math>\sin \left ( \frac{\pi}{p} \right ) \sin \left(\frac{\pi}{r}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{q}\right)</math>
:: <math>> 0</math> : Гиперсферические 3-мерные соты или 4-мерные многогранники
:: <math>= 0</math> : евклидовы 3-мерные соты
:: <math>< 0</math> : Гиперболические 3-мерные соты

Эти ограничения допустимы для 21 форм — 6 форм выпуклы, 10 не выпуклы, ''одна'' является евклидовыми 3-мерными сотами и 4 являются гиперболическими сотами.

[[Эйлерова характеристика]] <math>\chi</math> четырёхмерного многогранника вычисляется по формуле
<math>\chi = V+F-E-C</math>
и равна нулю для всех видов.

===Выпуклые===

6 выпуклых [[Правильный четырёхмерный многогранник|правильных четырёхмерных многогранников]] показаны в таблице ниже. Все эти многогранники имеют [[Эйлерова характеристика|эйлерову характеристику]] (χ) 0.

{| class="wikitable"
! Название<br />
! [[Символ Шлефли|Шлефли]]<br />{p,q,r}
! [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]<br />{{CDD|node|p|node|q|node|r|node}}
! {{не переведено 5|Ячейка (геометрия)|Ячейки||Cell (geometry)}}<br /> {p,q}
![[Грань (геометрия)|Граней]]<br />{p}
![[Ребро (математика)|Рёбер]] <br /> {r}
![[Вершина (геометрия)|Вершин]]<br />{q,r}
!Двойственный<br /> {r,q,p}
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
| [[Пятиячейник]]<br />([[Симплекс|4-симплекс]])
| {3,3,3}
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node}}
| 5<br />{3,3}
| 10<br />{3}
| 10<br /> {3}
| 5<br /> {3,3}
| (самодвойственен)
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
| [[Тессеракт]]<br />([[Гиперкуб|4-куб]])
| {4,3,3}
|{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}
| 8<br /> {4,3}
| 24<br /> {4}
| 32<br /> {3}
| 16<br /> {3,3}
| Шестнадцатиячейник
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
| [[Шестнадцатиячейник]]<br />(4-[[ортоплекс]])
| {3,3,4}
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
| 16<br /> {3,3}
| 32<br /> {3}
| 24<br /> {4}
| 8<br /> {3,4}
| Тессеракт
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
| [[Двадцатичетырёхъячейник]]
| {3,4,3}
|{{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node}}
| 24<br /> {3,4}
| 96<br /> {3}
| 96<br /> {3}
| 24<br /> {4,3}
| (самодвойственен)
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
| [[Стодвадцатиячейник]]
| {5,3,3}
|{{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node}}
| 120<br /> {5,3}
| 720<br /> {5}
| 1200<br /> {3}
| 600<br /> {3,3}
| Шестисотъячейник
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[Шестисотъячейник]]
| {3,3,5}
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|5|node}}
| 600<br /> {3,3}
| 1200<br /> {3}
| 720<br /> {5}
| 120<br /> {3,5}
| Стодвадцатиячейник
|}

{| class="wikitable"
|-
! [[Пятиячейник]] || [[Тессеракт]] || [[Шестнадцатиячейник|Шестнадцати-<br>ячейник]] || [[Двадцатичетырёхъячейник|Двадцати-<br>четырёхъячейник]] || [[Стодвадцатиячейник|Стодвадцати-<br>ячейник]] || [[Шестисотъячейник]]
|-
! {3,3,3} || {4,3,3} || {3,3,4} || {3,4,3} || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
!colspan=6|Каркас ([[Многоугольник Петри]]) в косой [[Проекция (геометрия)|ортогональной проекции]]
|-
| [[Файл:Complete graph K5.svg|105px]]
| [[Файл:4-cube graph.svg|105px]]
| [[Файл:4-orthoplex.svg|105px]]
| [[Файл:24-cell graph F4.svg|105px]]
| [[Файл:Cell120Petrie.svg|105px]]
| [[Файл:Cell600Petrie.svg|105px]]
|-
!colspan=6|[[Проекция (геометрия)|Ортогональная проекция]]
|-
| [[Файл:Tetrahedron.png|105px]]<br>[[Тетраэдр|Тетраэдральная<br>оболочка]]<br>(центрировано по<br> ячейке/вершине)
| [[Файл:Hexahedron.png|105px]]<br>[[Куб|Кубическая оболочка]]<br>(центрировано по ячейке)
| [[Файл:16-cell ortho cell-centered.png|105px]]<br>[[Куб|Кубическая<br>оболочка]]<br>(центрировано по ячейке)
| [[Файл:Ortho solid 24-cell.png|105px]]<br>[[Кубооктаэдр|Кубооктаэдральная<br>оболочка]]<br>(центрировано по ячейке)
| [[Файл:Ortho solid 120-cell.png|105px]]<br>{{не переведено 5|Усечённый ромботриаконтаэдр|Усечённая<br>ромботриаконта-<br>эдральная<br>оболочка||Truncated rhombic triacontahedron}}<br> (центрировано по ячейке)
| [[Файл:Ortho solid 600-cell.png|105px]]<br>{{не переведено 5|Пентакиикосидодекаэдр|Пентакиикоси-<br>додекаэдральная<br>оболочка||Pentakis icosidodecahedron}}<br>(центрировано по вершине)
|-
!colspan=6|[[Диаграмма Шлегеля|Диаграммы Шлегеля]] ([[Перспектива|перспективная проекция]])
|-
| [[Файл:Schlegel wireframe 5-cell.png|105px]]<br>(центрировано по ячейке)
| [[Файл:Schlegel wireframe 8-cell.png|105px]]<br>(центрировано по ячейке)
| [[Файл:Schlegel wireframe 16-cell.png|105px]]<br>(центрировано по ячейке)
| [[Файл:Schlegel wireframe 24-cell.png|105px]]<br>(центрировано по ячейке)
| [[Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png|105px]]<br>(центрировано по ячейке)
| [[Файл:Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png|105px]]<br>(центрировано по вершине)
|-
!colspan=6|Каркас [[Стереографическая проекция|стереографической проекции]] ([[3-сфера|гиперсферический]])
|-
| [[Файл:Stereographic polytope 5cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 8cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 16cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 24cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 120cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 600cell.png|105px]]
|}

====Сферические====

4-мерные [[Диэдр|диэдры]] и [[Осоэдр|осоэдры]] существуют как правильные замощения [[3-сфера|3-сферы]].

Правильные '''4-мерные диэдры''' (2 фасеты = 3-мерные грани) включают: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2} и их [[Двойственный многогранник|двойственные]] '''4-мерные осоэдры''' (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Многогранники вида {2,p,2} являются одновременно 4-мерными диэдрами и осоэдрами. Существуют также формы {p,2,q}, которые имеют диэдральные ячейки и осоэдральные вершинные фигуры.

{| class="wikitable" style="text-align:center;" width=640
|+ Правильные 4-мерные осоэдры как соты на [[3-сфера|3-сфере]]
|-
![[Символ Шлефли|Шлефли]]<br />{2,p,q}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]<br />{{CDD|node_1|2x|node|p|node|q|node}}
!{{не переведено 5|Ячейка (геометрия)|Ячейки||Cell (geometry)}}<br />{2,p}<sub>&pi;/q</sub>
![[Грань (геометрия)|Граней]]<br />{2}<sub>&pi;/p,&pi;/q</sub>
![[Ребро (математика)|Рёбер]]
![[Вершина (геометрия)|Вершин]]
![[Вершинная фигура]]<br>{p,q}
![[Группы симметрии|Симметрия]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- bgcolor="#e0e0e0"
|{2,3,3}
|{{CDD|node_1|2x|node|3|node|3|node}}
|4<br>{2,3}<sub>&pi;/3</sub><br>[[Файл:Spherical trigonal hosohedron.png|50px]]
|6<br />{2}<sub>&pi;/3,&pi;/3</sub>
|4
|2
|{3,3}<br>[[Файл:Uniform tiling 332-t0-1-.png|75px]]
|[2,3,3]
|{3,3,2}
|- bgcolor="#ffe0e0"
|{2,4,3}
|{{CDD|node_1|2x|node|4|node|3|node}}
|6<br>{2,4}<sub>&pi;/3</sub><br>[[Файл:Spherical square hosohedron.png|50px]]
|12<br />{2}<sub>&pi;/4,&pi;/3</sub>
|8
|2
|{4,3}<br>[[Файл:Uniform tiling 432-t0.png|75px]]
|[2,4,3]
|{3,4,2}
|- bgcolor="#e0e0ff"
|{2,3,4}
|{{CDD|node_1|2x|node|3|node|4|node}}
|8<br>{2,3}<sub>&pi;/4</sub><br>[[Файл:Spherical trigonal hosohedron.png|50px]]
|12<br />{2}<sub>&pi;/3,&pi;/4</sub>
|6
|2
|{3,4}<br>[[Файл:Uniform tiling 432-t2.png|75px]]
|[2,4,3]
|{4,3,2}
|- bgcolor="#ffe0e0"
|{2,5,3}
|{{CDD|node_1|2x|node|5|node|3|node}}
|12<br>{2,5}<sub>&pi;/3</sub><br>[[Файл:Spherical trigonal hosohedron.png|50px]]
|30<br />{2}<sub>&pi;/5,&pi;/3</sub>
|20
|2
|{5,3}<br>[[Файл:Uniform tiling 532-t0.png|75px]]
|[2,5,3]
|{3,5,2}
|- bgcolor="#e0e0ff"
|{2,3,5}
|{{CDD|node_1|2x|node|3|node|5|node}}
|20<br>{2,3}<sub>&pi;/5</sub><br>[[Файл:Spherical pentagonal hosohedron.png|50px]]
|30<br />{2}<sub>&pi;/3,&pi;/5</sub>
|12
|2
|{3,5}<br>[[Файл:Uniform tiling 532-t2.png|75px]]
|[2,5,3]
|{5,3,2}
|}

===Звёзды===
Существует десять [[Звёздчатый многогранник|правильных 4-мерных звёздчатых многогранника]], которые называются {{не переведено 5|Многогранник Шлефли—Хесса|многогранниками Шлефли—Гесса||Schläfli–Hess 4-polytope}}. Их вершины располагаются на выпуклом [[стодвадцатиячейник]]е ''{5,3,3}'' и [[Шестисотъячейник|шестисотъячейнике]] ''{3,3,5}''.

[[Шлефли, Людвиг|Людвиг Шлефли]] нашёл четыре из них и отбросил остальные шесть, поскольку не позволял нарушение [[Эйлерова характеристика|эйлеровой характеристики]] на ячейках или вершинных фигурах (F+V−E=2). Эдмунд Гесс (Edmund Hess, 1843–1903) завершил список в своей книге ''Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder'' ([http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8623.0001.001], 1883) ''(Введение в учение о замощении сферы с учётом теории равногранных и равноугольных многогранников)'' .

Существует 4 {{не переведено 5|расположение рёбер|расположения рёбер||edge arrangement}} и  7 {{не переведено 5|расположение граней|расположений граней||face arrangement}} в этих 10 правильных звёздчатых 4-мерных многогранниках, показанные как [[Проекция (геометрия)|ортогональные проекции]]:

{| class="wikitable"
! Название<br>
! Каркас
! Тело
! [[Символ Шлефли|Шлефли]]<br>{p, q, r}<br>[[ Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]
! Ячеек<br>{p, q}
! Граней<br>{p}
! Рёбер<br>{r}
! Вершин<br>{q, r}
!{{не переведено 5|Плотность многогранника|Плот-<br>ность||Density (polytope)}}
! [[Эйлерова характеристика|χ]]
![[Группа Коксетера|Группа симметрии]]
! Двойственный<br>{r, q,p}
|- align=center BGCOLOR="#e0e0ff"
| {{не переведено 5|Икосаэдральный 120-ячейник|||Icosahedral 120-cell}}<br>(огранённый Шестисотячейник)
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 007-uniform polychoron 35p-t0.png|75px]]
| {3,5,5/2}<br>{{CDD|node_1|3|node|5|node|5|rat|d2|node}}
| 120<br>[[Икосаэдр|{3,5}]]<br>[[Файл:Icosahedron.png|25px]]
| 1200<br>[[Треугольник|{3}]]<br>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|25px]]
| 720<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]<br>[[Файл:Pentagram.svg|25px]]
| 120<br>[[Большой додекаэдр|{5,5/2}]]<br>[[Файл:Great dodecahedron.png|25px]]
| 4
| 480
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Малый звёздчатый 120-ячейник
|- align=center BGCOLOR="#ffe0e0"
| {{не переведено 5|Малый звёздчатый 120-ячейник|||Small stellated 120-cell}}
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-2.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png|75px]]
| {5/2,5,3}<br>{{CDD|node|3|node|5|node|5|rat|d2|node_1}}
| 120<br>[[Малый звёздчатый додекаэдр|{5/2,5}]]<br>[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|25px]]
| 720<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]<br>[[Файл:Pentagram.svg|25px]]
| 1200<br>[[Треугольник|{3}]]<br>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|25px]]
| 120<br>[[Додекаэдр|{5,3}]]<br>[[Файл:Dodecahedron.png|25px]]
| 4
| −480
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Икосаэдральный 120-ячейник
|- align=center BGCOLOR="#e0ffe0"
| {{не переведено 5|Большой 120-ячейник|||Great 120-cell}}
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 008-uniform polychoron 5p5-t0.png|75px]]
| {5,5/2,5}<br>{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node|5|node}}
| 120<br>[[Great dodecahedron|{5,5/2}]]<br>[[Файл:Great dodecahedron.png|25px]]
| 720<br>[[Пятиугольник|{5}]]<br>[[Файл:Pentagon.svg|25px]]
| 720<br>[[Пятиугольник|{5}]]<br>[[Файл:Pentagon.svg|25px]]
| 120<br>[[Малый звёздчатый додекаэдр|{5/2,5}]]<br>[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|25px]]
| 6
| 0
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Самодвойственный
|- align=center BGCOLOR="#e0e0ff"
| {{не переведено 5|Великий 120-ячейник|||Grand 120-cell}}
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 009-uniform polychoron 53p-t0.png|75px]]
| {5,3,5/2}<br>{{CDD|node_1|5|node|3|node|5|rat|d2|node}}
| 120<br>[[Додекаэдр|{5,3}]]<br>[[Файл:Dodecahedron.png|25px]]
| 720<br>[[Пятиугольник|{5}]]<br>[[Файл:Pentagon.svg|25px]]
| 720<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]<br>[[Файл:Pentagram.svg|25px]]
| 120<br>[[Большой икосаэдр|{3,5/2}]]<br>[[Файл:Great icosahedron.png|25px]]
| 20
| 0
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Большой звёздчатый 120-ячейник
|- align=center BGCOLOR="#ffe0e0"
| {{не переведено 5|Большой звёздчатый 120-ячейник|||Great stellated 120-cell}}
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 012-uniform polychoron p35-t0.png|75px]]
| {5/2,3,5}<br>{{CDD|node|5|node|3|node|5|rat|d2|node_1}}
| 120<br>[[Большой звёздчатый додекаэдр|{5/2,3}]]<br>[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|25px]]
| 720<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]<br>[[Файл:Pentagram.svg|25px]]
| 720<br>[[Пятиугольник|{5}]]<br>[[Файл:Pentagon.svg|25px]]
| 120<br>[[Икосаэдр|{3,5}]]<br>[[Файл:Icosahedron.png|25px]]
| 20
| 0
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Великий 120-ячейник
|- align=center BGCOLOR="#e0ffe0"
| {{не переведено 5|Великий звёздчатый 120-ячейник|||Grand stellated 120-cell}}
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 013-uniform polychoron p5p-t0.png|75px]]
| {5/2,5,5/2}<br>{{CDD|node_1|5|rat|d2|node|5|node|5|rat|d2|node}}
| 120<br>[[Малый звёздчатый додекаэдр|{5/2,5}]]<br>[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|25px]]
| 720<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]<br>[[Файл:Pentagram.svg|25px]]
| 720<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]<br>[[Файл:Pentagram.svg|25px]]
| 120<br>[[Большой додекаэдр|{5,5/2}]]<br>[[Файл:Great dodecahedron.png|25px]]
| 66
| 0
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Самодвойственный
|- align=center BGCOLOR="#e0e0ff"
| {{не переведено 5|Большой великий 120-ячейник|||Great grand 120-cell}}
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-2.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 011-uniform polychoron 53p-t0.png|75px]]
| {5,5/2,3}<br>{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node|3|node}}
| 120<br>[[Большой додекаэдр|{5,5/2}]]<br>[[Файл:Great dodecahedron.png|25px]]
| 720<br>[[Пятиугольник|{5}]]<br>[[Файл:Pentagon.svg|25px]]
| 1200<br>[[Треугольник|{3}]]<br>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|25px]]
| 120<br>[[Большой звёздчатый додекаэдр|{5/2,3}]]<br>[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|25px]]
| 76
| −480
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Большой икосаэдральный 120-ячейник
|- align=center BGCOLOR="#ffe0e0"
|{{не переведено 5|Большой икосаэдральный 120-ячейник|||Great icosahedral 120-cell}}<br>(большой огранёный 600-ячейник)
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 014-uniform polychoron 3p5-t0.png|75px]]
| {3,5/2,5}<br>{{CDD|node|5|node|5|rat|d2|node|3|node_1}}
| 120<br>[[Большой икосаэдр|{3,5/2}]]<br>[[Файл:Great icosahedron.png|25px]]
| 1200<br>[[Треугольник|{3}]]<br>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|25px]]
| 720<br>[[Пятиугольник|{5}]]<br>[[Файл:Pentagon.svg|25px]]
| 120<br>[[Малый звёздчатый додекаэдр|{5/2,5}]]<br>[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|25px]]
| 76
| 480
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Великий большой 120-ячейник
|- align=center BGCOLOR="#e0e0ff"
| {{не переведено 5|Великий 600-ячейник|||Grand 600-cell}}
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 015-uniform polychoron 33p-t0.png|75px]]
| {3,3,5/2}<br>{{CDD|node_1|3|node|3|node|5|rat|d2|node}}
| 600<br>[[тетраэдр|{3,3}]]<br>[[Файл:Tetrahedron.png|25px]]
| 1200<br>[[Треугольник|{3}]]<br>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|25px]]
| 720<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]<br>[[Файл:Pentagram.svg|25px]]
| 120<br>[[Большой икосаэдр|{3,5/2}]]<br>[[Файл:Great icosahedron.png|25px]]
| 191
| 0
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Великий большой звёздчатый 120-ячейник
|- align=center BGCOLOR="#ffe0e0"
| {{не переведено 5|Большой великий 120-ячейник|||Great grand stellated 120-cell}}
| [[Файл:Schläfli-Hess polychoron-wireframe-1.png|75px]]
| [[Файл:Ortho solid 016-uniform polychoron p33-t0.png|75px]]
| {5/2,3,3}<br>{{CDD|node|3|node|3|node|5|rat|d2|node_1}}
| 120<br>[[Большой звёздчатый додекаэдр|{5/2,3}]]<br>[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|25px]]
| 720<br>[[Пентаграмма|{5/2}]]<br>[[Файл:Pentagram.svg|25px]]
| 1200<br>[[Треугольник|{3}]]<br>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|25px]]
| 600<br>[[тетраэдр|{3,3}]]<br>[[Файл:Tetrahedron.png|25px]]
| 191
| 0
| ''H''<sub>4</sub><br>[5,3,3]
| Великий 600-ячейник
|}
Существует 4 ''несостоявшихся'' правильных звёздчатых перестановок многогранников: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Их ячейки и вершинные фигуры существует, но они не покрывают гиперсферу конечным числом представлений.

==Размерность пять и выше==
В {{не переведено 5|Пятимерное пространство|пятимерном пространстве||Five-dimensional space}} правильные многогранники можно обозначить как <math>\{p,q,r,s\}</math>, где <math>\{p,q,r\}</math> является типом 4-грани, <math>\{p,q\}</math> является типом ячейки, <math>\{p\}</math> является типом 2-грани, <math>\{s\}</math> является фигурой грани, <math>\{r,s\}</math> является рёберной фигурой, а <math>\{q,r,s\}</math> является вершинной фигурой.

: [[Вершинная фигура]] (5-мерного многогранника) является 4-мерным многогранником, образованным вершинами, соседними с данной вершиной.
: {{не переведено 5|Рёберная фигура|||edge figure}} (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным гранями вокруг каждого ребра.
: {{не переведено 5|Фигура грани|||face figure}} (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным ячейками вокруг каждой грани.

Правильный 5-мерный многогранник <math>\{p,q,r,s\}</math> существует, только если  <math>\{p,q,r\}</math> и <math>\{q,r,s\}</math> являются правильными четырёхмерными многогранниками.

В зависимости от значения
: <math>\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{q}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{p}\right)} + \frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{r}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{s}\right)}</math>
получим тип пространства
:: <math>< 1</math>: Сферическое 4-мерное замощение или 5-мерный многогранник
:: <math>= 1</math>: евклидово 4-мерное замощение
:: <math>> 1</math>: Гиперболическое 4-мерное замощение

Из этих ограничений получаем ''3'' выпуклых многогранника, ''нуль'' невыпуклых многогранников, ''3'' 4-мерных замощения  и ''5'' гиперболических 4-мерных замощений. Не существует невыпуклых правильных многогранников в пятимерном пространстве и выше.

===Выпуклые===
В размерностях 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников <ref>{{Harvtxt|Coxeter|1973}}, Таблица I: Regular polytopes, (iii) Три правильных многогранника для размерностей ''n'' (n>=5), стр. 294–295.</ref>.

{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br>{p<sub>1</sub>,...,p<sub><var>n</var>−1</sub>}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]
!<var>k</var>-граней
!Тип<br>фасеты
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|[[Симплекс|''n''-симплекс]]||{3<sup><var>n</var>−1</sup>}||{{CDD|node_1|3|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}}||[[binomial coefficient|<math>{{n+1} \choose {k+1}}</math>]]||{3<sup><var>n</var>−2</sup>}||{3<sup><var>n</var>−2</sup>}||Самодвойственен
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Гиперкуб|<var>n</var>-куб]]||{4,3<sup><var>n</var>−2</sup>}||{{CDD|node_1|4|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}}||<math>2^{n-k}{n \choose k}</math>||{4,3<sup><var>n</var>−3</sup>}||{3<sup><var>n</var>−2</sup>}||<var>n</var>-ортоплекс
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|<var>n</var>-[[ортоплекс]]||{3<sup><var>n</var>−2</sup>,4}||{{CDD|node_1|3|node|3}}...{{CDD|3|node|4|node}}||<math>2^{k+1}{n \choose {k+1}}</math>||{3<sup><var>n</var>−2</sup>}||{3<sup><var>n</var>−3</sup>,4}||<var>n</var>-куб
|}

Существуют также несобственные случаи, в которых некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p,q,r,...2} является несобственным правильным сферическим многогранником в случае, если {p,q,r...} является правильным сферическим многогранником, и {2,...p,q,r} является несобственным правильным сферическим многогранником, когда {...p,q,r} является правильным сферическим многогранником. Такие многогранники можно использовать как фасеты, дающие формы вида {p,q,...2...y,z}.

====Пятимерные пространства====
{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br>{p,q,r,s}<br>[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]
!Число фасет<br>(четырёхмерных<br>граней)<br>{p,q,r}
!Ячеек<br>(трёхмерных<br>граней)<br>{p,q}
!Граней<br>(двумерных)<br>{p}
!Рёбер
!Вершин
!Фигура<br>при грани<br>{s}
!Рёберная<br>фигура<br>{r,s}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r,s}
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|[[Гексатерон]]
|{3,3,3,3}<br>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node}}||6<br>{3,3,3}||15<br>{3,3}||20<br>{3}||15||6||{3}||{3,3}||{3,3,3}
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Пентеракт]]
|{4,3,3,3}<br>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node|3|node}}||10<br>{4,3,3}||40<br>{4,3}||80<br>{4}||80||32||{3}||{3,3}||{3,3,3}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[5-ортоплекс]]
|{3,3,3,4}<br>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|node}}||32<br>{3,3,3}||80<br>{3,3}||80<br>{3}||40||10||{4}||{3,4}||{3,3,4}
|}

{| class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Файл:5-simplex t0.svg|150px]]<br>[[Гексатерон]]
|[[Файл:5-cube graph.svg|150px]]<br>[[Пентеракт]]
|[[Файл:5-orthoplex.svg|150px]]<br>[[5-ортоплекс]]
|}

====Шестимерное пространство====
{| class=wikitable
!Название!![[Символ Шлефли|Шлефли]]!!Вершин!!Рёбер!!Граней (2D)!!Ячеек (3D)!!4D-граней||5D-граней!!χ
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Шестимерный симплекс|6-симплекс||6-simplex}}||{3,3,3,3,3}||7||21||35||35||21||7||0
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Хексеракт]]||{4,3,3,3,3}||64||192||240||160||60||12||0
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Шестимерный ортоплекс|6-ортоплекс||6-orthoplex}}||{3,3,3,3,4}||12||60||160||240||192||64||0
|}

{| class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Файл:6-simplex t0.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|6-мерный симплекс|||6-simplex}}
|[[Файл:6-cube graph.svg|150px]]<br>[[Хексеракт]]
|[[Файл:6-orthoplex.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|6-мерный ортоплекс|||6-orthoplex}}
|}

====Семимерное пространство====
{| class=wikitable
!Название!![[Символ Шлефли|Шлефли]]!!Вершин!!Рёбер!!Граней (2D)!!Ячеек (3D)!!4D-граней||5D-граней!!6D-граней!!χ
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Семимерный симплекс|7-симплекс||7-simplex}}||{3,3,3,3,3,3}||8||28||56||70||56||28||8||2
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Хептеракт]]||{4,3,3,3,3,3}||128||448||672||560||280||84||14||2
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Семимерный ортоплекс|7-ортоплекс||7-orthoplex}}||{3,3,3,3,3,4}||14||84||280||560||672||448||128||2
|}

{| class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Файл:7-simplex t0.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|Семимерный симплекс|7-симплекс||7-simplex}}
|[[Файл:7-cube graph.svg|150px]]<br>[[Хептеракт]]
|[[Файл:7-orthoplex.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|Семимерный ортоплекс|7-ортоплекс||7-orthoplex}} 
|}

====Восьмимерное пространство====
{| class=wikitable
!Название!![[Символ Шлефли|Шлефли]]!!Вершин!!Рёбер!!Граней (2D)!!Ячеек (3D)!!4D-граней||5D-граней !!6D-граней!!7D-граней!!χ
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Восьмимерный симплекс|8-симплекс||8-simplex}}||{3,3,3,3,3,3,3}||9||36||84||126||126||84||36||9||0
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Октеракт]]||{4,3,3,3,3,3,3}||256||1024||1792||1792||1120||448||112||16||0
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Восьмимерный ортоплекс|8-ортоплекс||8-orthoplex}}||{3,3,3,3,3,3,4}||16||112||448||1120||1792||1792||1024||256||0
|}

{| class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Файл:8-simplex t0.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|Восьмимерный симплекс|8-симплекс||8-simplex}}
|[[Файл:8-cube.svg|150px]]<br>[[Октеракт]]
|[[Файл:8-orthoplex.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|Восьмимерный ортоплекс|8-ортоплекс||8-orthoplex}}
|}

====Девятимерное пространство====
{| class=wikitable
!Название!![[Символ Шлефли|Шлефли]]!!Вершин!!Рёбер!!Граней (2D)!!Ячеек (3D)!!4D-граней||5D-граней!!6D-граней!!7D-граней!!8D-граней!!χ
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Девятимерный симплекс|9-симплекс||9-simplex}}||{3<sup>8</sup>}||10||45||120||210||252||210||120||45||10||2
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Энтенеракт]]||{4,3<sup>7</sup>}||512||2304||4608||5376||4032||2016||672||144||18||2
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Девятимерный ортоплекс|9-ортоплекс||9-orthoplex }}||{3<sup>7</sup>,4}||18||144||672||2016||4032||5376||4608||2304||512||2
|}

{| class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Файл:9-simplex t0.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|Девятимерный симплекс|9-симплекс||9-simplex}}
|[[Файл:9-cube.svg|150px]]<br>[[Энтенеракт]]
|[[Файл:9-orthoplex.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|Девятимерный ортоплекс|9-ортоплекс||9- orthoplex }}
|}

====Десятимерное пространство====
{| class=wikitable
!Название!![[Символ Шлефли|Шлефли]]!!Вершин!!Рёбер!!Граней (2D)!!Ячеек (3D)!!4D-граней||5D-граней!!6D-граней!!7D-граней!!8D-граней!!9D-граней!!χ
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Десятимерный симплекс|10-симплекс||10-simplex}}||{3<sup>9</sup>}||11||55||165||330||462||462||330||165||55||11||0
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Декеракт]]||{4,3<sup>8</sup>}||1024||5120||11520||15360||13440||8064||3360||960||180||20||0
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Десятимерный ортоплекс|10-ортоплекс||10-orthoplex }}||{3<sup>8</sup>,4}||20||180||960||3360||8064||13440||15360||11520||5120||1024||0
|}

{| class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Файл:10-simplex t0.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|Десятимерный симплекс|10-симплекс||10-simplex}}
|[[Файл:10-cube.svg|150px]]<br>[[Декеракт]]
|[[Файл:10-orthoplex.svg|150px]]<br>{{не переведено 5|Десятимерный ортоплекс|10-ортоплекс||10-orthoplex }}
|}

...

===Невыпуклые===

Не существует невыпуклых правильных многогранников в размерностях 5 и выше.

== Правильные проективные многогранники ==
Проективный правильный (''n''+1)-многогранник существует, если исходное правильное ''n''-сферическое замощение {p,q,...} [[Центральная симметрия|центрально симметрично]]. Такие многогранники называются полу-<nowiki/>{p,q,...}, и содержат вполовину меньше элементов. Коксетер даёт им символ {p,q,...}/2, в то время как Макмуллен пишет {p,q,...}<sub>h/2</sub>, где ''h'' — [[число Кокстера]]. <ref>Abstract regular polytopes, p. 162-165 [https://books.google.com/books?id=JfmlMYe6MJgC&lpg=PA163&ots=IGcpn3wv_C&dq=Hemi-24-cell%20abstract%20regular%20polytope&pg=PA164#v=onepage&q=Hemi-24-cell&f=false] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=JfmlMYe6MJgC&lpg=PA163&ots=IGcpn3wv_C&dq=Hemi-24-cell%20abstract%20regular%20polytope&pg=PA164#v=onepage&q=Hemi-24-cell&f=false |date=20190915155648 }}</ref>

[[Правильный многоугольник|Правильные многоугольники]] с чётным числом сторон имеют  полу-''2n''-угольные проективные многоугольники, {2p}/2.

Существует 4 правильных {{не переведено 5|Проективный многогранник|проективных многогранника||projective polyhedron}}, соответствующих 4 из 5 [[Правильный многогранник|платоновых тел]].

Полукуб и полуоктаэдр обобщаются в полу-[[Гиперкуб|''n''-кубы]] и полу-''n''-[[ортоплекс]]ы в любой размерности. 

=== Правильные проективные многогранники в трёхмерном пространстве ===
{| class=wikitable
|+ 3-dimensional regular hemi-polytopes
!Название||Коксетер<br>McMullen||Image||Faces||Edges||Vertices||[[Эйлерова характеристика|&chi;]]
|- align=center
!{{не переведено 5|Полукуб|||Hemicube (geometry)}}||{4,3}/2<br>{4,3}<sub>3</sub>
|[[Файл:Hemicube2.PNG|60px]]||3||6||4||1
|- align=center
!{{не переведено 5|Полуоктаэдр|||Hemi-octahedron}}||{3,4}/2<br>{3,4}<sub>3</sub>
|[[Файл:Hemi-octahedron2.png|60px]]||4||6||3||1
|- align=center
![[Полудодекаэдр]]||{5,3}/2<br>{5,3}<sub>5</sub>
|[[Файл:Hemi-dodecahedron.png|60px]]||6||15||10||1
|- align=center
![[Полуикосаэдр]]||{3,5}/2<br>{3,5}<sub>5</sub>
|[[Файл:Hemi-icosahedron2.png|60px]]||10||15||6||1
|}

=== Правильные проективные многогранники в четырёхмерном пространстве ===
В 4-мерном пространстве 5 из 6 выпуклых правильных многогранников образуют проективные 4-мерные многогранники. 3 специальных случая — это полудвадцатичетырёхъячейник, полушестисотъячейник и полустодвадцатиячейник.

{| class=wikitable
|+ 4-мерные правильные полумногогранники!Название||Символ<br>Коксетера||Символ<br>Макмаллена||Ячеек||Граней||Рёбер||Вершин||[[Эйлерова характеристика|&chi;]]
|- align=center
!полу[[тессеракт]]
||{4,3,3}/2||{4,3,3}<sub>4</sub>
|4 ||12 ||16 || 8 || 0
|- align=center
!полу[[шестнадцатиячейник]]
||{3,3,4}/2||{3,3,4}<sub>4</sub>
|8 ||16 ||12 || 4 || 0
|- align=center
!полу[[двадцатичетырёхъячейник]]
||{3,4,3}/2||{3,4,3}<sub>6</sub>
|12 ||48 ||48 ||12 || 0
|- align=center
!полу[[стодвадцатиячейник]]
||{5,3,3}/2||{5,3,3}<sub>15</sub>
|60 ||360 ||600 || 300 || 0
|- align=center
!полу[[шестисотъячейник]]
||{3,3,5}/2||{3,3,5}<sub>15</sub>
|300 ||600 ||360 || 60 || 0
|}

=== Правильные проективные многогранники в пятимерном пространстве ===
Существует только 2 выпуклых правильных проективных полумногогранника в пространствах размерности 5 и выше.

{| class="wikitable"
|-
!Название
||[[Символ Шлефли|Шлефли]]||4D-граней||Ячеек (3D)||Граней (2D)||Рёбер||Вершин||[[Эйлерова характеристика|&chi;]]
|- align=center
! полу[[пентеракт]]
|{4,3,3,3}/2||5||20||40||40||16||1
|- align=center
!полу{{не переведено 5|Пентакросс|пентакросс||pentacross}}
|{3,3,3,4}/2||16||40||40||20||5||1
|}

==Бесконечногранники==
'''{{не переведено 5|Бесконечногранник|||apeirotope}}''' — это [[многогранник]], имеющий бесконечное число фасет. ''n''-бесконечногранник  — это ''n''-мерный бесконечногранник:  2-бесконечногранник = бесконечноугольник (апейрогон), 3-бесконечногранник = бесконечногранник в трёхмерном пространстве и т.д.

Существует два главных геометрических класса бесконечногранников:<ref>Grünbaum, B.; "Regular Polyhedra—Old and New", ''Aeqationes mathematicae'', Vol. 16 (1977), pp 1–20.</ref>
*Правильные [[Соты (геометрия)|соты]] в ''n''-мерном пространстве, полностью заполняющие  ''n''-мерное пространство.
*Правильные {{не переведено 5|Косой бесконечногранник|косые бесконечногранники||skew apeirotope}}, содержащие ''n''-мерные многообразия в более высоких пространствах.

===Одномерное пространство (бесконечноугольники)===
Прямой [[апейрогон]] — это правильное замощение прямой с разделением её на бесконечно много равных отрезков. Он имеет бесконечно много вершин и рёбер. Его [[символ Шлефли]] равен {∞}, а диаграмма Коксетера — {{CDD|node_1|infin|node}}.

...[[Файл:Regular apeirogon.svg|320px]]...

Апейрогоны на [[Геометрия Лобачевского|гиперболической плоскости]], среди которых наиболее заметен ''правильный апейрогон '' {∞}, могут иметь кривизну, наподобие конечных многоугольников на евклидовой плоскости, и иметь вершины, лежащие на [[орицикл]]ах или [[Эквидистанта|гиперциклах]].

Правильные апейрогоны со сходимостью на бесконечности имеют символ {∞} и существуют на орициклах, хотя в общем случае они могут существовать на гиперциклах.

{| class=wikitable
!{∞}
!{πi/λ}
|-
|[[Файл:Hyperbolic apeirogon example.png|160px]]<br>Бесконечноугольник на [[орицикл]]е
|[[Файл:Pseudogon example.png|160px]]<br> Бесконечноугольник на [[Эквидистанта|гиперцикле]]
|}

Выше показаны два гиперболических апейрогона на [[Модель Пуанкаре|диске Пуанкаре]]. На правом рисунке показаны перпендикулярные прямые, разделяющие [[Фундаментальная область|фундаментальные области]], отстоящие на расстояние λ друг от друга.

==== Пространственные бесконечноугольники ====
Косые апейрогоны в двумерном пространстве (плоскости) образуют зигзаг. Если зигзаг симметричен и однороден, апейрогон правильный.

Косые апейрогоны можно построить в пространстве любой размерности. В трёхмерном пространстве {{не переведено 5|Косой апейрогон|косые апейрогоны|en|Skew apeirogon}} образуют спираль и могут быть левыми или правыми.

{| class=wikitable
!Двумерное пространство
!Трёхмерное пространство
|- align=center
|[[Файл:Regular apeirogon zig-zag.png|400px]]<BR />Апейрогон в виде зигзага
|[[Файл:Triangular helix.png|160px]]<BR />Спиральный апейрогон
|}

===Двумерное пространство (бесконечногранники)===

====Евклидовы мозаики====

Существует три правильных замощения плоскости. Все три имеют [[Эйлерова характеристика|эйлерову характеристику]] (χ)  0.
{| class=wikitable
!Название
![[Квадратный паркет|Квадратная мозаика]]<br>(кадриль)
![[Треугольный паркет|Треугольная мозаика]]<br>(дельтаплитка)
![[Шестиугольный паркет]]<br>(гексаплитка)
|- align=center
![[Список групп симметрии плоскости|Симметрия]]
|p4m, [4,4], (*442)
|colspan=2|p6m, [6,3], (*632)
|- align=center
![[Символ Шлефли|Шлефли]] {p,q}
|{4,4}
|{3,6}
|{6,3}
|- align=center
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
|{{CDD|node_1|4|node|4|node}}
|{{CDD|node|6|node|3|node_1}}
|{{CDD|node_1|6|node|3|node}}
|- align=center
!Рисунок
|[[Файл:Uniform tiling 44-t0.png|100px]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t2.png|100px]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t0.png|100px]]
|}

Существует две несобственные правильные мозаики — {∞,2}, бесконечноугольный [[диэдр]], полученный из двух [[Апейрогон|апейрогонов]], каждый из которых заполняет полуплоскость, и двойственная ей {2,∞} мозаика, бесконечноугольный [[осоэдр]], который можно представить как бесконечное число параллельных прямых.

{| class=wikitable
|- align=center
|[[Файл:Apeirogonal tiling.png|210px]]<br>{{не переведено 5|Бесконечноугольная мозаика порядка 2|{∞,2}||Order-2_apeirogonal_tiling}}, {{CDD|node_1|infin|node|2|node}}
|[[Файл:Apeirogonal hosohedron.png|240px]]<br>{{не переведено 5|Бесконечноугольный осоэдр|{2,∞}||Apeirogonal hosohedron}}, {{CDD|node_1|2|node|infin|node}}
|}

====Евклидовы звёздчатые мозаики ====

Не существует правильных замощений плоскости [[Звёздчатый многоугольник|звёздчатыми многоугольниками]]. Существует бесконечно много пар чисел, для которых выполняется условие плоской мозаики (1/''p'' + 1/''q'' = 1/2), например, {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, и т.д., но ни одна из этих звёзд не подходит для замощения.

====Гиперболические мозаики====

Замощения [[Геометрия Лобачевского|гиперболического двухмерного пространства]] — это ''{{не переведено 5|Гиперболическая мозаика|гиперболические мозаики||hyperbolic tiling}}''. Существует бесконечно много правильных мозаик в H<sup>2</sup>. Как констатировано выше, любая положительная пара {''p'',''q''}, такая что 1/''p''&nbsp;+&nbsp;1/''q'' < 1/2 даёт гиперболическую мозаику. Фактически для общего [[Треугольник Шварца|треугольника Шварца]] (''p'',&nbsp;''q'',&nbsp;''r'') то же самое верно для 1/''p''&nbsp;+&nbsp;1/''q''&nbsp;+&nbsp;1/''r'' < 1.

Существует много различных путей представления гиперболической плоскости, включая [[Модель Пуанкаре|дисковую модель Пуанкаре]], в которой  плоскость отображается в диск, как показано ниже. Следует рассматривать все многоугольные грани замощения как равносторонние, и многоугольники становятся меньше при приближению к краю диска вследствие применения проекции, что похоже на эффект фотокамеры c объективом [[Рыбий глаз (объектив)|«Рыбий глаз»]].

Существует бесконечно много плоских правильных 3-бесконечногранников как правильных мозаик гиперболической плоскости, имеющих вид {p,q}, где p+q<pq/2. 
* {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
* {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
* {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
* {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
* {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
* {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
* {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
* ...
* {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Примеры:
{{Таблица правильных гиперболических мозаик}}

====Гиперболические звёздчатые мозаики====
Существует два бесконечных вида гиперболических мозаик, [[Грань (геометрия)|грани]] или [[Вершинная фигура|вершинные фигуры]] которых являются звёздчатыми многоугольниками — {''m''/2, ''m''} и их двойственные {''m'', ''m''/2} с ''m'' = 7, 9, 11, ....  Мозаики {''m''/2, ''m''} являются [[Образование звёздчатой формы|звёздчатыми формами]] мозаик {''m'', 3}, в то время как двойственные мозаики {''m'', ''m''/2} являются [[Огранка (геометрия)|огранкой]] мозаик {3, ''m''} и {{не переведено 5|Увеличение (геометрия)|увеличениями||greatening (geometry)}} мозаик {''m'', 3}.

Схемы {''m''/2, ''m''} и {''m'', ''m''/2} продолжаются для нечётных ''m'' &lt; 7 как [[Многогранник|многогранники]]: если ''m'' = 5, мы получим [[малый звёздчатый додекаэдр]] и [[большой додекаэдр]], а при ''m'' = 3 мы получим [[тетраэдр]]. Другие два тела Кеплера — Пуансо ([[большой звёздчатый додекаэдр]] и [[большой икосаэдр]]) не имеют аналогов в правильных гиперболических мозаиках. Если ''m'' чётно, в зависимости от того, как мы выберем определение  {''m''/2}, мы можем получить либо вырожденное покрытие другой мозаики или [[Соединение многогранников|соединение]] мозаик.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! Название 
! [[Символ Шлефли|Шлефли]]
! [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
! Рисунок
! Тип грани<br />{p}
! [[Вершинная фигура]]<br />{q}
! {{не переведено 5|Плотность многогранника|Плот-<br>ность||Density (polytope)}}
! [[Группы симметрии|Симметрия]]
! Двойственная
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Семиугольная мозаика порядка 7|||Order-7 heptagrammic tiling}}
|{7/2,7}
|{{CDD|node_1|7|rat|d2|node|7|node}}
|[[Файл:Hyperbolic tiling 7-2 7.png|60px]]
|{7/2}<br />[[Файл:Star polygon 7-2.svg|30px]]
|{7}<br />[[Файл:Heptagon.svg|30px]]
| 3
| *732<br>[7,3]
| Семиугольная гептаграммная мозаика  
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Семиугольная гептаграммная мозаика|||Heptagrammic-order heptagonal tiling}}
|{7,7/2}
|{{CDD|node_1|7|node|7|rat|d2|node}}
|[[Файл:Hyperbolic tiling 7 7-2.png|60px]]
|{7}<br />[[Файл:Heptagon.svg|30px]]
|{7/2}<br />[[Файл:Star polygon 7-2.svg|30px]]
| 3
| *732<br>[7,3]
| Гептаграммная мозаика порядка7
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
| [[Эннеаграммная мозаика порядка 9]]
|{9/2,9}
|{{CDD|node_1|9|rat|d2|node|9|node}}
|[[Файл:Hyperbolic tiling 9-2 9.png|60px]]
|{9/2}<br />[[Файл:Star polygon 9-2.svg|30px]]
|{9}<br />[[Файл:Nonagon.svg|30px]]
| 3
| *932<br>[9,3]
| Эннеаграммная девятиугольная мозаика
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
| Эннеаграммная девятиугольная мозаика
|{9,9/2}
|{{CDD|node_1|9|node|9|rat|d2|node}}
|[[Файл:Hyperbolic tiling 9 9-2.png|60px]]
|{9}<br />[[Файл:Nonagon.svg|30px]]
|{9/2}<br />[[Файл:Star polygon 9-2.svg|30px]]
| 3
| *932<br>[9,3]
| Эннеаграммная девятиугольная мозаика порядка 9
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
| Гендекаграммная мозаика порядка 11
|{11/2,11}
|{{CDD|node_1|11|rat|d2|node|11|node}}
|[[Файл:Order-11 hendecagrammic tiling.png|60px]]
|{11/2}<br />[[Файл:Star polygon 11-2.svg|30px]]
|{11}<br />[[Файл:Hendecagon.svg|30px]]
| 3
| *11.3.2<br>[11,3]
| Гендекаграммная мозаика одиннадцатиугольная мозаика
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
| Гендекаграммная мозаика одиннадцатиугольная мозаика
|{11,11/2}
|{{CDD|node_1|11|node|11|rat|d2|node}}
|[[Файл:Hendecagrammic-order hendecagonal tiling.png|60px]]
|{11}<br />[[Файл:Hendecagon.svg|30px]]
|{11/2}<br />[[Файл:Star polygon 11-2.svg|30px]]
| 3
| *11.3.2<br>[11,3]
| Гендекаграммная мозаика порядка 11

|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
| ''p''- граммная мозаика порядка ''p''
|{''p''/2,''p''}
|{{CDD|node_1|p|rat|d2|node|p|node}}
|&nbsp;
|{''p''/2}
|{''p''}
| 3
| *''p''32<br>[p,3]
| ''p''- граммная ''p''- угольная мозаика 
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
| ''p''-граммная мозаика ''p''-угольная мозаика
|{''p'',''p''/2}
|{{CDD|node_1|p|node|p|rat|d2|node}}
|&nbsp;
|{''p''}
|{''p''/2}
| 3
| *''p''32<br>[p,3]
| ''p''-граммная мозаика порядка ''p'' 
|}

====Косые бесконечногранники в евклидовом 3-мерном пространстве====
Существует три {{не переведено 5|Правильный косой бесконечногранник|правильных косых бесконечногранников||Regular skew apeirohedron}} в евклидовом трёхмерном пространстве с [[Пространственный многоугольник|правильным пространственным многоугольником]] в качестве [[Вершинная фигура|вершинных фигур]] {{sfn|Coxeter|1937|с=33–62}}<ref>Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'' 2.34</ref><ref>The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 ''Objects with Primary Symmmetry'', ''Infinite Platonic Polyhedra'', pp. 333–335</ref>. Они имеют то же самое {{не переведено 5|расположение вершин|||vertex arrangement}} и {{не переведено 5|расположение рёбер|||edge arrangement}}, что и у 3 {{не переведено 5|Выпуклые однородные соты|выпуклых однородных сот||convex uniform honeycomb}}.
* 6 квадратов вокруг каждой вершины: {4,6|4}
* 4 шестиугольника вокруг каждой вершины: {6,4|4}
* 6 шестиугольников вокруг каждой вершины: {6,6|3}
[[Файл:Pure 3-dimensional apeirohedra chart.png|320px|thumb|12 "чистых" бесконечногранников в евклидовом 3-мерном пространстве на основе [[Кубические соты|кубических сот]], {4,3,4} {{sfn|McMullen, Schulte|2002|с=224}}. {{не переведено 5|Оператор Петри|Оператор Петри||petrie dual}} &pi; заменяет грани  [[Многоугольник Петри|многоугольниками Петри]]. &delta; является двойственным оператором, обменивающим местами вершины и грани. &phi;<sub>k</sub> является ''k''-м оператором огранки. &eta; является оператором взятия половины, а &sigma; — взятием косой половины.]]
{| class="wikitable"
!colspan=3|Правильный косой многоугольник
|-
|align=center|[[Файл:Mucube.png|100px]]<br>{4,6|4}
|align=center|[[Файл:Muoctahedron.png|100px]]<br>{6,4|4}
|align=center|[[Файл:Mutetrahedron.png|100px]]<br>{6,6|3}
|}
Существует тридцать правильных бесконечноугольников в евклидовом трёхмерном пространстве {{sfn|McMullen, Schulte|2002|с=Section 7E}}. Они включают как перечисленные выше, так и 8 других "чистых" бесконечноугольников. Все они связаны с кубическими сотами {4,3,4}. Остальные имеют пространственные многоугольные грани: {6,6}<sub>4</sub>, {4,6}<sub>4</sub>, {6,4}<sub>6</sub>, {∞,3}<sup>a</sup>, {∞,3}<sup>b</sup>, {∞,4}<sup>.*3</sup>, {∞,4}<sub>6,4</sub>, {∞,6}<sub>4,4</sub> и {∞,6}<sub>6,3</sub>.

====Косые бесконечногранники в гиперболическом трёхмерном пространстве ====
Существует 31 {{не переведено 5|Правильный косой бесконечногранник|правильный косой бесконечногранник||Regular skew apeirohedron}} в гиперболическом трёхмерном пространстве <ref>Garner, C. W. L. ''Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space.'' Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [http://cms.math.ca/cjm/a145822] {{Wayback|url=http://cms.math.ca/cjm/a145822 |date=20150402131943 }} Замечание: В статье говорится, что существует 32, но один самодвойственен, так что остаётся 31.</ref>:
* 14 компактных: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5}, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3} и {6,8|3}.
* 17 паракомпактных: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6}, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3} и {8,8|4}.

===Трёхмерное пространство (4-apeirotopes)===

====Замощения евклидова трёхмерного пространства ====
[[Файл:Cubic honeycomb.png|150px|thumb|Рёберный каркас кубических сот {4,3,4}]]

Существует только одно невырожденное правильное замощение 3-мерного пространства (''[[Соты (геометрия)|соты]]''),  {4, 3, 4}  {{sfn|Coxeter|1973|с=296, Table II: Regular honeycombs}}:

{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Шлефли]]<br>{p,q,r}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]<br>{{CDD|node|p|node|q|node|r|node}}
!Тип<br>ячейки<br>{p,q}
!Тип<br>грани<br>{p}
!Рёберная<br>фигура<br>{r}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r}
![[Эйлерова характеристика|χ]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|[[Кубические соты]]||{4,3,4}||{{CDD|node_1|4|node|3|node|4|node}}||{4,3}||{4}||{4}||{3,4}||0||Самодвойственны
|}

====Несобственные замощения евклидова трёхмерного пространства====
[[Файл:Order-4 square hosohedral honeycomb-sphere.png|160px|thumb|Правильные соты {2,4,4}, в виде проекции на сферу.]]
Существует шесть несобственных правильных замощений, попарно основанных на трёх правильных евклидовых замощениях. Их ячейки и вершинные фигуры являются правильными [[Осоэдр|осоэдрами]] {2,n}, [[Диэдр|диэдрами]] {n,2} и евклидовыми мозаиками. Эти несобственные правильные мозаики конструкционно связаны с призматическими однородными сотами операцией усечения. Они являются высокоразмерными аналогами {{не переведено 5|Бесконечноугольная мозаика порядка 2|бесконечноугольной мозаики порядка 2||order-2 apeirogonal tiling}} и {{не переведено 5|Бесконечноугольный осоэдр|бесконечноугольного осоэдра||apeirogonal hosohedron}}.
{| class=wikitable
|-
![[Символ Шлефли|Шлефли]]<br>{p,q,r}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма<br>Коксетера]]
!Тип<br>ячейки<br>{p,q}
!Тип<br>грани<br>{p}
!Рёберная<br>фигура<br>{r}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r}
|- align=center
|{{не переведено 5|Квадратные осоэдральные соты порядка 4|{2,4,4}||order-4 square hosohedral honeycomb}}||{{CDD|node_1|2|node|4|node|4|node}}||{2,4}||{2}||{4}||{4,4}
|- align=center
|{{не переведено 5|Треугольные осоэдральные соты порядка 6|{2,3,6}||Order-6 triangular hosohedral honeycomb}}||{{CDD|node_1|2|node|3|node|6|node}}||{2,3}||{2}||{6}||{3,6}
|- align=center
|[[Шестиугольные осоэдральные соты|{2,6,3}]]||{{CDD|node_1|2|node|6|node|3|node}}||{2,6}||{2}||{3}||{6,3}
|- align=center
|[[Квадратные соты порядка 2|{4,4,2}]]||{{CDD|node_1|4|node|4|node|2|node}}||{4,4}||{4}||{2}||{4,2}
|- align=center
|[[Треугольная мозаика порядка 2|{3,6,2}]]||{{CDD|node_1|3|node|6|node|2|node}}||{3,6}||{3}||{2}||{6,2}
|- align=center
|[[Шестиугольная мозаика порядка 2|{6,3,2}]]||{{CDD|node_1|6|node|3|node|2|node}}||{6,3}||{6}||{2}||{3,2}
|}

====Замощения гиперболического трёхмерного пространства ====
{| align=right
|
{| class="wikitable"
|+ 4 компактных правильных сот
|- bgcolor="#d0e0ff" align=center
|[[Файл:H3 534 CC center.png|150px]]<br>[[Додекаэдральные соты порядка 4|{5,3,4}]]
|[[Файл:H3 535 CC center.png|150px]]<br>{{не переведено 5|Додекаэдральные соты порядка 5|{5,3,5}||Order-5 dodecahedral honeycomb}}
|- bgcolor="#d0e0ff" align=center
|[[Файл:H3 435 CC center.png|150px]]<br>{{не переведено 5|Кубические соты порядка 5|{4,3,5}||Order-5 cubic honeycomb}}
|[[Файл:H3 353 CC center.png|150px]]<br>{{не переведено 5|Икосаэдральные соты порядка 3|{3,5,3}||Order-3 icosahedral honeycomb}}
|}
|-
|
{| class="wikitable"
|+ 4 из 11 паракомпактных правильных сот
|- bgcolor="#e0d0ff" align=center
|[[Файл:H3 344 CC center.png|150px]]<br>[[Октаэдральные соты порядка 4|{3,4,4}]]
|[[Файл:H3 363 FC boundary.png|150px]]<br>{{не переведено 5|Треугольные мозаичные соты|{3,6,3}||Triangular tiling honeycomb}}
|- bgcolor="#e0d0ff" align=center
|[[Файл:H3 443 FC boundary.png|150px]]<br>{{не переведено 4|Квадратные мозаичные соты|{4,4,3}||Square tiling honeycomb}}
|[[Файл:H3 444 FC boundary.png|150px]]<br>{{ не переведено 4|Квадратные мозаичные соты порядка 4|{4,4,4}||Order-4 square tiling honeycomb}}
|}
|}
Существует десять плоских правильных сот гиперболического 3-мерного пространства{{sfn|Coxeter|1999|с=Глава 10}} ([[#Замощения гиперболического 3-мерного пространства|перечислены выше]] как замощения):
*4 компактных: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} и {5,3,5}
*6 паракомпактных: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Замощения [[Гиперболическое пространство|гиперболического 3-мерного пространства]] можно назвать ''[[Соты (геометрия)|гиперболическими сотами]]''. Существует 15 гиперболических сот в H<sup>3</sup>, 4 компактных и 11 паракомпактных.

{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br> {p,q,r}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]<br>{{CDD|node|p|node|q|node|r|node}}
!Тип<br>ячейки<br>{p,q}
!Тип<br>грани<br>{p}
!Рёберная<br>фигура<br>{r}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r}
![[Эйлерова характеристика|χ]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Икосаэдральные соты|||Icosahedral honeycomb}}||{3,5,3}||{{CDD|node_1|3|node|5|node|3|node}}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||{3}||{3}||[[Додекаэдр|{5,3}]]||0||Самодвойственны
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Кубические соты порядка 5|||Order-5 cubic honeycomb}}||{4,3,5}||{{CDD|node_1|4|node|3|node|5|node}}||[[куб|{4,3}]]||{4}||{5}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||0||{5,3,4}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[Додекаэдральные соты порядка 4]]||{5,3,4}||{{CDD|node_1|5|node|3|node|4|node}}||[[Додекаэдр|{5,3}]]||{5}||{4}||[[октаэдр|{3,4}]]||0||{4,3,5}
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Додекаэдральные соты порядка 5|||Order-5 dodecahedral honeycomb}}||{5,3,5}||{{CDD|node_1|5|node|3|node|5|node}}||[[Додекаэдр|{5,3}]]||{5}||{5}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||0||Самодвойственны
|}

Существует также 11 паракомпактных H<sup>3</sup> сот (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и/или вершинными фигурами): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br> {p,q,r}
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Коксетер]]<br>{{CDD|node|p|node|q|node|r|node}}
!Тип<br>ячейки<br>{p,q}
!Тпи<br>грани<br>{p}
!Рёберная<br>фигура<br>{r}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r}
![[Эйлерова характеристика|χ]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Тетраэдральные соты порядка 6|||Order-6 tetrahedral honeycomb}}||{3,3,6}||{{CDD|node_1|3|node|3|node|6|node}}||[[тетраэдр|{3,3}]]||{3}||{6}||[[Треугольный паркет|{3,6}]]||0||{6,3,3}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Шестиугольные мозаичные соты|||Hexagonal tiling honeycomb}}||{6,3,3}||{{CDD|node_1|6|node|3|node|3|node}}||[[Шестиугольный паркет|{6,3}]]||{6}||{3}||[[тетраэдр|{3,3}]]||0||{3,3,6}
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Октаэдральные соты порядка 4]]||{3,4,4}||{{CDD|node_1|3|node|4|node|4|node}}||[[октаэдр|{3,4}]]||{3}||{4}||[[Квадратный паркет|{4,4}]]||0||{4,4,3}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Квадратные мозаичные соты|||Square tiling honeycomb}}||{4,4,3}||{{CDD|node_1|4|node|4|node|3|node}}||[[Квадратный паркет|{4,4}]]||{4}||{3}||[[куб|{4,3}]]||0||{3,3,4}
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Треугольные мозаичные соты|||Triangular tiling honeycomb}}||{3,6,3}||{{CDD|node_1|3|node|6|node|3|node}}||[[Треугольный паркет|{3,6}]]||{3}||{3}||[[Шестиугольный паркет|{6,3}]]||0||Самодвойственны
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Кубические соты порядка 6|||Order-6 cubic honeycomb}}||{4,3,6}||{{CDD|node_1|4|node|3|node|6|node}}||[[Куб|{4,3}]]||{4}||{4}||[[октаэдр|{3,4}]]||0||{6,3,4}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Шестиугольные мозаичные соты порядка 4|||Order-4 hexagonal tiling honeycomb}}||{6,3,4}||{{CDD|node_1|6|node|3|node|4|node}}||[[Шестиугольный паркет|{6,3}]]||{6}||{4}||[[Октаэдр|{3,4}]]||0||{4,3,6}
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Квадратные мозаичные соты порядка 4|||Order-4 Square tiling honeycomb}}||{4,4,4}||{{CDD|node_1|4|node|4|node|4|node}}||[[Квадратный паркет|{4,4}]]||{4}||{4}||[[Квадратный паркет|{4,4}]]||0||{4,4,4}
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Додекаэдральные соты порядка 6|||Order-6 dodecahedral honeycomb}}||{5,3,6}||{{CDD|node_1|5|node|3|node|6|node}}||[[додекаэдр|{5,3}]]||{5}||{5}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||0||{6,3,5}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Шестиугольные мозаичные соты порядка 5|||Order-5 hexagonal tiling honeycomb}}||{6,3,5}||{{CDD|node_1|6|node|3|node|5|node}}||[[Шестиугольный паркет|{6,3}]]||{6}||{5}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||0||{5,3,6}
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Шестиугольные мозаичные соты порядка 6|||Order-6 hexagonal tiling honeycomb}}||{6,3,6}||{{CDD|node_1|6|node|3|node|6|node}}||[[Шестиугольный паркет|{6,3}]]||{6}||{6}||[[Треугольный паркет|{3,6}]]||0||Самодвойственны
|}

Некомпактные решения существуют как [[Диаграммы Коксетера — Дынкина# Группы Лоренца|лоренцевы группы Коксетера]] и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдрон, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности), и некоторые нарисованы ниже, показывая их пересечение с плоскостью. Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными.
{{Таблица правильных сот}}

Не существует гиперболических звёздчатых сот в H<sup>3</sup> — все формы с правильным звёздчатым многогранником в качестве ячейки, вершинной фигуры, или того и другого оказываются сферическими.

===Четырёхмерное пространство (5-бесконечногранники)===

====Замощения евклидов 4-мерного пространства====
Существует три вида бесконечных правильных ([[Соты (геометрия)|сот]]), которые могут заполнить евклидово четырёхмерное пространство:

{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br>{p,q,r,s}
!Тип<br>фасеты<br>{p,q,r}
!Тип<br>ячейки<br>{p,q}
!Тип<br>грани<br>{p}
!Фигура<br>грани<br>{s}
!Рёберная<br>фигура<br>{r,s}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r,s}
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Тессерактные соты|||Tesseractic honeycomb}}||{4,3,3,4}||{4,3,3}||{4,3}||{4}||{4}||{3,4}||{3,3,4}||Самодвойственены
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[Шестнадцатиячейные соты]]||{3,3,4,3}||{3,3,4}||{3,3}||{3}||{3}||{4,3}||{3,4,3}||{3,4,3,3}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[Двадцатичетырёхъячейные соты|Двадцати-<br>четырёхъячейные соты]]||{3,4,3,3}||{3,4,3}||{3,4}||{3}||{3}||{3,3}||{4,3,3}||{3,3,4,3}
|}

{| class="wikitable"
|[[Файл:Tesseractic tetracomb.png|150px]]<br>Спроецированный фрагмент сот {4,3,3,4}<br>(Тессерактовые соты)
|[[Файл:Demitesseractic tetra hc.png|150px]]<br>Спроецированный фрагмент сот {3,3,4,3}<br>(Шестнадцатиячейные соты)
|[[Файл:Icositetrachoronic tetracomb.png|150px]]<br>Спроецированный фрагмент сот {3,4,3,3}<br>(24-ячейные соты)
|}

Существует также два несобственных случая, {4,3,4,2} и {2,4,3,4}.
Существует три плоских правильных вида сот евклидова 4-мерного пространства:{{sfn|Coxeter|1973|с=296, Table II: Regular honeycombs}} 
* {4,3,3,4}, {3,3,4,3} и {3,4,3,3}.

Существует семь плоских правильных выпуклых сот гиперболического 4-мерного пространства:{{sfn|Coxeter|1999|с=Глава 10}}
*5 компактных: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5} 
*2 паракомпактных: {3,4,3,4} и {4,3,4,3}.

Существует четыре плоских правильных звёздчатых видов сот в гиперболическом 4-мерном пространстве:{{sfn|Coxeter|1999|с=Глава 10}}
* {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} и {5,5/2,5,3}.

====Замощения гиперболического 4-мерного пространства====
Существует семь выпуклых правильных [[Соты (геометрия)|сот]] и четыре звёздчатые формы сот в пространстве H<sup>4</sup> {{sfn|Coxeter|1956|с=213, Table IV}}. Пять выпуклых видов компактны, а два паракомпактны.

Пять компактных правильных сот в H<sup>4</sup>:
{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br>{p,q,r,s}
!Тип<br>фасеты<br>{p,q,r}
!Тип<br>ячейки<br>{p,q}
!Тип<br>грани<br>{p}
!Фигура<br>грани<br>{s}
!Рёберная<br>фигура<br>{r,s}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r,s}
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Пятиячейные соты порядка 5|||Order-5 5-cell honeycomb}}||{3,3,3,5}||[[Пятиячейник|{3,3,3}]]||[[тетраэдр|{3,3}]]||{3}||{5}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||[[Шестисотъячейник|{3,3,5}]]||{5,3,3,3}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[120-ячейные соты]]||{5,3,3,3}||[[Стодвадцатиячейник|{5,3,3}]]||[[додекаэдр|{5,3}]]||{5}||{3}||[[тетраэдр|{3,3}]]||[[Пятиячейник|{3,3,3}]]||{3,3,3,5}
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Тессерактные соты порядка 5|||Order-5 Tesseractic honeycomb}}||{4,3,3,5}||[[tesseract|{4,3,3}]]||[[куб|{4,3}]]||{4}||{5}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||[[Шестисотъячейник|{3,3,5}]]||{5,3,3,4}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|120-ячейные соты порядка 4|||Order-4 120-cell honeycomb}}||{5,3,3,4}||[[Стодвадцатиячейник|{5,3,3}]]||[[додекаэдр|{5,3}]]||{5}||{4}||[[октаэдр|{3,4}]]||[[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]||{4,3,3,5}
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|120-ячейные соты порядка 5|||Order-5 120-cell honeycomb}}||{5,3,3,5}||[[Стодвадцатиячейник|{5,3,3}]]||[[додекаэдр|{5,3}]]||{5}||{5}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||[[Шестисотъячейник|{3,3,5}]]||Самодвойственен
|}

Два правильных паракомпактных правильных вида сот в H<sup>4</sup>: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br>{p,q,r,s}
!Тип<br>фасеты<br>{p,q,r}
!Тип<br>ячейки<br>{p,q}
!Тип<br>грани<br>{p}
!Фигура<br>грани<br>{s}
!Рёберная<br>фигура<br>{r,s}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r,s}
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|24-ячейные соты порядка 4|||Order-4 24-cell honeycomb}}||{3,4,3,4}||[[Двадцатичетырёхъячейник|{3,4,3}]]||[[октаэдр|{3,4}]]||{3}||{4}||[[октаэдр|{3,4}]]||[[Кубические соты|{4,3,4}]]||{4,3,4,3}
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Кубические сотовые соты|||Cubic honeycomb honeycomb}}||{4,3,4,3}||[[Кубические соты|{4,3,4}]]||[[куб|{4,3}]]||{4}||{3}||[[куб|{4,3}]]||[[Двадцатичетырёхъячейник|{3,4,3}]]||{3,4,3,4}
|}
Некомпактные решения существуют как [[Диаграммы Коксетера — Дынкина# Группы Лоренца|лоренцевы группы Коксетера]] и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный пятиячейник, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности). Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными.

{{Таблица правильных тетрасот}}

====Звёздчатые замощения гиперболического 4-мерного пространства====
Существует четыре вида правильных звёздчатых сот в пространстве H<sup>4</sup>:
{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br>{p,q,r,s}
!Тип<br>фасеты<br>{p,q,r}
!Тип ячейки<br>type<br>{p,q}
!Тип<br>грани<br>{p}
!Фигура<br>грани<br>{s}
!Рёберная<br>фигура<br>{r,s}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r,s}
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
!Плот-<br>ность
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Соты из малого звёздчатого 120-ячейника|||Small stellated 120-cell honeycomb}}||{5/2,5,3,3}||{{не переведено 5|Малый звёздчатый 120-ячейник|{5/2,5,3}||Small stellated 120-cell}}||{5/2,5}||{5}||{5}||{3,3}||[[Стодвадцатиячейник|{5,3,3}]]||{3,3,5,5/2}||5
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|600-ячейник пентаграммного порядка|||Pentagrammic-order 600-cell honeycomb}}||{3,3,5,5/2}||[[Стодвадцатиячейник|{3,3,5}]]||[[тетраэдр|{3,3}]]||{3}||{5/2}||{5,5/2}||{3,5,5/2}||{5/2,5,3,3}||5
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|Икосаэдральные 120-ячейные соты порядка 5|||Order-5 icosahedral 120-cell honeycomb}}||{3,5,5/2,5}||{3,5,5/2}||[[Икосаэдр|{3,5}]]||{3}||{5}||{5/2,5}||{5,5/2,5}||{5,5/2,5,3}||10
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Соты большого 120-ячейника|||Great 120-cell honeycomb}}||{5,5/2,5,3}||{5,5/2,5}||{5,5/2}||{5}||{3}||[[додекаэдр|{5,3}]]||{5/2,5,3}||{3,5,5/2,5}||10
|}

===Пятимерное пространство (бесконечноугольные 6-многогранники) ===
Существуют только одни плоские правильные соты в евклидовом 5-мерном пространстве: ( [[#Замощения евклидова 5-мерного пространства|перечислены выше]] как замощения) {{sfn|Coxeter|1973|с=296, Table II: Regular honeycombs}}
* {4,3,3,3,4}

Существует пять плоских правильных сот гиперболического 5-мерного пространства, все паракомпактные: ([[#Замощения гиперболического 5-мерного пространства|перечислены выше]] как замощения){{sfn|Coxeter|1999|с=Глава 10}}
* {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}

====Замощение s евклидова 5-мерного пространства====
[[Гиперкубические соты]] является единственным семейством правильных сот, которые могут замостить пространство любой размерности (пять и выше), образованные фасетами-[[гиперкуб]]ами, по четыре вокруг каждой (n-2)-мерной грани.

{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Шлефли]]<br>{''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ..., ''p''<sub>''n''&minus;1</sub>}
!Тип<br>фасеты
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|[[Квадратный паркет]]||{4,4}||{4}||{4}||Самодвой-<br>ственен
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|[[Кубические соты]]||{4,3,4}||{4,3}||{3,4}||Самодвой-<br>ственны
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|Тессерактные соты|||Tesseractic honeycomb}}||{4,3<sup>2</sup>,4}||{4,3<sup>2</sup>}||{3<sup>2</sup>,4}||Самодвой-<br>ственны
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|5-кубические соты|||5-cube honeycomb}}||{4,3<sup>3</sup>,4}||{4,3<sup>3</sup>}||{3<sup>3</sup>,4}||Самодвой-<br>ственны
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|6-кубические соты|||6-cube honeycomb}}||{4,3<sup>4</sup>,4}||{4,3<sup>4</sup>}||{3<sup>4</sup>,4}||Самодвой-<br>ственны
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|7-кубические соты|||7-cube honeycomb}}||{4,3<sup>5</sup>,4}||{4,3<sup>5</sup>}||{3<sup>5</sup>,4}||Самодвой-<br>ственны
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|{{не переведено 5|8-кубические соты|||8-cube honeycomb}}||{4,3<sup>6</sup>,4}||{4,3<sup>6</sup>}||{3<sup>6</sup>,4}||Самодвой-<br>ственны
|- BGCOLOR="#e0e0e0" align=center
|n-[[Гиперкубические соты|мерные гиперкубические соты]]||{4,3<sup>n−2</sup>,4}||{4,3<sup>n−2</sup>}||{3<sup>n−2</sup>,4}||Самодвой-<br>ственны
|}

В E<sup>5</sup> существуют также несобственные случаи {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2} и {2,3,4,3,3}. В E<sup>''n''</sup>, {4,3<sup>n−3</sup>,4,2} и {2,4,3<sup>n−3</sup>,4} являются всегда несобственными евклидовыми замощениями.

====Замощения гиперболического 5-мерного пространства====

Существует 5 правильных видов сот в H<sup>5</sup>, все паракомпактные. Они включают бесконечные (евклидовы) фасеты или вершинные фигуры: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}.

Существует два некомпактных правильных замощения гиперболического пространстваразмерности 5 и выше и нет паракомпактных правильных замощений в гиперболическом пространстве размерности 6 и выше.

{| class="wikitable"
|-
!Название
![[Символ Шлефли|Символ<br>Шлефли]]<br>{p,q,r,s,t}
!Тип<br>фасеты<br>{p,q,r,s}
!4-face<br>type<br>{p,q,r}
!Cell<br>type<br>{p,q}
!Face<br>type<br>{p}
!Cell<br>figure<br>{t}
!Face<br>figure<br>{s,t}
!Edge<br>figure<br>{r,s,t}
![[Вершинная фигура|Вершинная<br>фигура]]<br>{q,r,s,t}
![[Двойственный многогранник|Двойственный]]
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|5-ортоплексные соты|||5-orthoplex honeycomb}}||{3,3,3,4,3}||[[5-ортоплекс|{3,3,3,4}]]||[[Пятиячейник|{3,3,3}]]||[[тетраэдр|{3,3}]]||{3}||{3}||[[куб|{4,3}]]||[[Двадцатичетырёхъячейник|{3,4,3}]]||[[Шестнадцатиячейные соты|{3,3,4,3}]]||{3,4,3,3,3}

|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[Двадцатичетырёхъячейные сотовые соты|Двадцати-<br>четырёхъячейные сотовые соты]]||{3,4,3,3,3}||[[Двадцатичетырёхъячейные соты|{3,4,3,3}]]||[[Двадцатичетырёхъячейник|{3,4,3}]]||[[октаэдр|{3,4}]]||{3}||{3}||[[тетраэдр|{3,3}]]||[[Пятиячейник|{3,3,3}]]||[[Пентеракт|{4,3,3,3}]]||{3,3,3,4,3}

|- BGCOLOR="#e0ffe0" align=center
|[[Шестнадцатиячейные сотовые соты]]||{3,3,4,3,3}||[[Шестнадцатиячейные соты|{3,3,4,3}]]||[[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]||[[тетраэдр|{3,3}]]||{3}||{3}||[[тетраэдр|{3,3}]]||[[тессеракт|{4,3,3}]]||[[Двадцатичетырёхъячейные соты|{3,4,3,3}]]||Самодвой-<br>ственны

|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|{{не переведено 5|24-ячейные соты порядка 4|||Order-4 24-cell honeycomb}}||{3,4,3,3,4}||[[Шестнадцатиячейные соты|{3,4,3,3}]]||[[Двадцатичетырёхъячейник|{3,4,3}]]||[[октаэдр|{3,4}]]||{3}||{4}||[[октаэдр|{3,4}]]||[[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]||{{не переведено 5|Тессерактные соты|{4,3,3,4}||Tesseractic honeycomb}}||{4,3,3,4,3}

|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|{{не переведено 5|Тессерактные сотовые соты|||Tesseractic honeycomb honeycomb}}||{4,3,3,4,3}||{{не переведено 5|Тессерактные соты|{4,3,3,4}||Tesseractic honeycomb}}||[[Tesseract|{4,3,3}]]||[[Куб|{4,3}]]||{4}||{3}||[[куб|{4,3}]]||[[Двадцатичетырёхъячейник|{3,4,3}]]||[[Шестнадцатиячейные соты|{3,3,4,3}]]||{3,4,3,3,4}

|}

Поскольку не существует правильных звёздчатых ''n''-многогранников для ''n''&nbsp;≥&nbsp;5, которые могли бы быть потенциальными ячейками или вершинными фигурами, не существует больше гиперболических звёздчатых сот в H<sup>''n''</sup> для ''n''&nbsp;≥&nbsp;5.

===Размерность 6 и выше (7-мерные бесконечногранники+)===
====Замощения гиперболического 6-мерного и выше пространства====
Не существует правильных компактных или паракомпактных замощений гиперболического пространства размерности 6 или выше. Все целые неперчисленные значения дают некомпактное замощение гиперболического ''n''-мерного пространства.

== Соединения многогранников ==
{{main|Соединение многогранников}}
=== Двухмерные соединения ===
Для любого натурального числа n существует n-вершинный звёздчатый правильный многоугольник с символом Шлефли {n/m} для любого m < n/2 (строго говоря, {n/m}={n/(n−m)}), где m и n  [[Взаимно простые числа|взаимно просты]]. Если m и n не взаимно просты, полученный многоугольник будет иметь  ''n''/''m'' сторон. Новая фигура получается вращением этих  ''n''/''m''-угольников на одну вершину (влево), пока число вращений не достигнет числа  ''n''/''m'' минус единица, и комбинацией этих повёрнутых фигур. В экстремальном случае, когда ''n''/''m'' равно 2, получим фигуру из ''n''/2 отрезков. Такая фигура называется '''[[Вырождение (математика)|вырожденным]] звёздчатым многоугольником'''.

В других случаях, когда ''n'' и ''m'' имеют общий делитель, получим звёздчатый многоугольник с меньшим ''n'' и с ним можно скомбинировать версии, полученные вращением. Эти фигуры называются '''звёздчатыми фигурами''', '''несобственными звёздчатыми многоугольниками''' или '''соединениями многоугольников'''. Для них часто используется то же обозначение  {''n''/''m''}, хотя некоторые авторы, такие как Грюнбаум (1994), предпочитают (с некоторыми уточнениями) форму ''k''{''n''} как более правильную, где, обычно, ''k'' = ''m''.

Следующее усложнение возникает, когда мы соединяем два или более звёздчатых многоугольника, как, например, две пентаграммы, отличающиеся поворотом на 36° и вписанные в десятиугольник. Правильнее в этом случае писать в виде ''k''{''n''/''m''}, в нашем случае 2{5/2}, а не использовать обычно используемое {10/4}.

Расширенная нотация Коксетера для соединения многоугольников имеет вид ''c''{''m'',''n'',...}[''d''{''p'',''q'',...}]''e''{''s'',''t'',...}, в которой отражается, что ''d'' различных {''p'',''q'',...} вместе покрывают вершины  {''m'',''n'',...} ''c'' раз и грани {''s'',''t'',...} ''e'' раз. Если не существует правильного {''m'',''n'',...}, первая часть записи удаляется, оставляя [''d''{''p'',''q'',...}]''e''{''s'',''t'',...}. Противоположный случай — если не существует правильного {''s'',''t'',...}. Двойственным к  of ''c''{''m'',''n'',...}[''d''{''p'',''q'',...}]''e''{''s'',''t'',...} является ''e''{''t'',''s'',...}[''d''{''q'',''p'',...}]''c''{''n'',''m'',...}. Если ''c'' или ''e'' равно 1, их можно опускать. Для соединения многоугольников эта нотация сводится к  {''nk''}[''k''{''n''/''m''}]{''nk''}. Например, [[Гексаграмма (символ)|гексаграмму]] можно записать как {6}[2{3}]{6}.

{| class=wikitable
|+ Примеры для ''n''=2..10, ''nk''≤30
|- align=center
|[[Файл:Regular star figure 2(2,1).svg|50px]]<br>2{2}
|[[Файл:Regular star figure 3(2,1).svg|50px]]<br>3{2}
|[[Файл:Regular star figure 4(2,1).svg|50px]]<br>4{2}
|[[Файл:Regular star figure 5(2,1).svg|50px]]<br>5{2}
|[[Файл:Regular star figure 6(2,1).svg|50px]]<br>6{2}
|[[Файл:Regular star figure 7(2,1).svg|50px]]<br>7{2}
|[[Файл:Regular star figure 8(2,1).svg|50px]]<br>8{2}
|[[Файл:Regular star figure 9(2,1).svg|50px]]<br>9{2}
|[[Файл:Regular star figure 10(2,1).svg|50px]]<br>10{2}
|[[Файл:Regular star figure 11(2,1).svg|50px]]<br>11{2}
|[[Файл:Regular star figure 12(2,1).svg|50px]]<br>12{2}
|[[Файл:Regular star figure 13(2,1).svg|50px]]<br>13{2}
|[[Файл:Regular star figure 14(2,1).svg|50px]]<br>14{2}
|[[Файл:Regular star figure 15(2,1).svg|50px]]<br>15{2}
|- align=center
|[[Файл:Regular star figure 2(3,1).svg|50px]]<br>[[Гексаграмма (символ)|2{3}]]
|[[Файл:Regular star figure 3(3,1).svg|50px]]<br>[[Эннеаграмма (геометрия)|3{3}]]
|[[Файл:Regular star figure 4(3,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Додекаграмма|4{3}||Dodecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 5(3,1).svg|50px]]<br><br>{{не переведено 5|Пентадекаграмма|5{3}||Pentadecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 6(3,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Октадекаграмма|6{3}||Octadecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 7(3,1).svg|50px]]<br>7{3}
|[[Файл:Regular star figure 8(3,1).svg|50px]]<br>8{3}
|[[Файл:Regular star figure 9(3,1).svg|50px]]<br>9{3}
|[[Файл:Regular star figure 10(3,1).svg|50px]]<br>10{3}
|[[Файл:Regular star figure 2(4,1).svg|50px]]<br>[[ Октаграмма|2{4}]]
|[[Файл:Regular star figure 3(4,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Додекаграмма|3{4}||Dodecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 4(4,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Гексадекаграмма|4{4}||hexadecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 5(4,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Икосаграмма|5{4}||Icosagram}}
|[[Файл:Regular star figure 6(4,1).svg|50px]]<br>6{4}
|[[Файл:Regular star figure 7(4,1).svg|50px]]<br>7{4}
|- align=center
|[[Файл:Regular star figure 2(5,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Декаграмма|2{5}||Decagram (geometry)}}
|[[Файл:Regular star figure 3(5,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Пентадекаграмма|3{5}||Pentadecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 4(5,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Икосаграмма|4{5}||Icosagram}}
|[[Файл:Regular star figure 5(5,1).svg|50px]]<br>5{5}
|[[Файл:Regular star figure 6(5,1).svg|50px]]<br>6{5}
|[[Файл:Regular star figure 2(5,2).svg|50px]]<br>2{5/2}
|[[Файл:Regular star figure 3(5,2).svg|50px]]<br>3{5/2}
|[[Файл:Regular star figure 4(5,2).svg|50px]]<br>4{5/2}
|[[Файл:Regular star figure 5(5,2).svg|50px]]<br>5{5/2}
|[[Файл:Regular star figure 6(5,2).svg|50px]]<br>6{5/2}
|[[Файл:Regular star figure 2(6,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Додекаграмма|2{6}||Dodecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 3(6,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Октадекаграмма|3{6}||Octadecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 4(6,1).svg|50px]]<br>4{6}
|[[Файл:Regular star figure 5(6,1).svg|50px]]<br>5{6}
|- align=center
|[[Файл:Regular star figure 2(7,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Тетрадекаграмма|2{7}||Tetradecagram }}
|[[Файл:Regular star figure 3(7,1).svg|50px]]<br>3{7}
|[[Файл:Regular star figure 4(7,1).svg|50px]]<br>4{7}
|[[Файл:Regular star figure 2(7,2).svg|50px]]<br>2{7/2}
|[[Файл:Regular star figure 3(7,2).svg|50px]]<br>3{7/2}
|[[Файл:Regular star figure 4(7,2).svg|50px]]<br>4{7/2}
|[[Файл:Regular star figure 2(7,3).svg|50px]]<br>2{7/3}
|[[Файл:Regular star figure 3(7,3).svg|50px]]<br>3{7/3}
|[[Файл:Regular star figure 4(7,3).svg|50px]]<br>4{7/3}
|[[Файл:Regular star figure 2(8,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Гексадекаграмма|2{8}||hexadecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 3(8,1).svg|50px]]<br>3{8}
|[[Файл:Regular star figure 2(8,3).svg|50px]]<br>2{8/3}
|[[Файл:Regular star figure 3(8,3).svg|50px]]<br>3{8/3}
|- align=center
|[[Файл:Regular star figure 2(9,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Октадекаграмма|2{9}||Octadecagram}}
|[[Файл:Regular star figure 3(9,1).svg|50px]]<br>3{9}
|[[Файл:Regular star figure 2(9,2).svg|50px]]<br>2{9/2}
|[[Файл:Regular star figure 3(9,2).svg|50px]]<br>3{9/2}
|[[Файл:Regular star figure 2(9,4).svg|50px]]<br>2{9/4}
|[[Файл:Regular star figure 3(9,4).svg|50px]]<br>3{9/4}
|[[Файл:Regular star figure 2(10,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Икосаграмма|2{10}||Icosagram}}
|[[Файл:Regular star figure 3(10,1).svg|50px]]<br>3{10}
|[[Файл:Regular star figure 2(10,3).svg|50px]]<br>2{10/3}
|[[Файл:Regular star figure 3(10,3).svg|50px]]<br>3{10/3}
|- align=center
|[[Файл:Regular star figure 2(11,1).svg|50px]]<br>2{11}
|[[Файл:Regular star figure 2(11,2).svg|50px]]<br>2{11/2}
|[[Файл:Regular star figure 2(11,3).svg|50px]]<br>2{11/3}
|[[Файл:Regular star figure 2(11,4).svg|50px]]<br>2{11/4}
|[[Файл:Regular star figure 2(11,5).svg|50px]]<br>2{11/5}
|[[Файл:Regular star figure 2(12,1).svg|50px]]<br>{{не переведено 5|Двадцвтичетырёхугольник|2{12}||Icositetragon}}
|[[Файл:Regular star figure 2(12,5).svg|50px]]<br>2{12/5}
|[[Файл:Regular star figure 2(13,1).svg|50px]]<br>2{13}
|[[Файл:Regular star figure 2(13,2).svg|50px]]<br>2{13/2}
|[[Файл:Regular star figure 2(13,3).svg|50px]]<br>2{13/3}
|[[Файл:Regular star figure 2(13,4).svg|50px]]<br>2{13/4}
|[[Файл:Regular star figure 2(13,5).svg|50px]]<br>2{13/5}
|[[Файл:Regular star figure 2(13,6).svg|50px]]<br>2{13/6}
|- align=center
|[[Файл:Regular star figure 2(14,1).svg|50px]]<br>2{14}
|[[Файл:Regular star figure 2(14,3).svg|50px]]<br>2{14/3}
|[[Файл:Regular star figure 2(14,5).svg|50px]]<br>2{14/5}
|[[Файл:Regular star figure 2(15,1).svg|50px]]<br>[[Тридцатиугольник|2{15}]]
|[[Файл:Regular star figure 2(15,2).svg|50px]]<br>2{15/2}
|[[Файл:Regular star figure 2(15,4).svg|50px]]<br>2{15/4}
|[[Файл:Regular star figure 2(15,7).svg|50px]]<br>2{15/7}
|}

Правильные пространственные многоугольники также создают соединения, которые можно наблюдать в рёбрах {{не переведено 5|Призматическое соединение антипризм|призматического соединения антипризм||prismatic compound of antiprisms}}, например:
{| class=wikitable
|+ Правильные соединения пространственных многоугольников
|- align=center
|colspan=2|Соединение <br> пространственных квадратов
|Соединение <br>пространственных шестиугольников
|Соединение<br> пространственных десятиугольников
|- align=center
|Два {2}#{ }
|Три {2}#{ }
|Два {3}#{ }
|Два {5/3}#{ }
|- align=center
|[[Файл:Compound skew square in cube.png|150px]]
|[[Файл:Skew tetragons in compound of three digonal antiprisms.png|150px]]
|[[Файл:Compound skew hexagon in hexagonal prism.png|150px]]
|[[Файл:Compound skew hexagon in pentagonal crossed antiprism.png|150px]]
|}

===Трёхмерные соединения===

Правильные соединения многогранников можно определить как соединения, которые, подобно правильным многогранников, [[Изогональная фигура|вершинно транзитивны]], {{не переведено 5|Рёберная транзитивность|рёберно транзитивны||edge-transitive}} и {{не переведено 5|Транзитивность по граням|транзитивны по граням||face-transitive}}. По этому определению имеется 5 правильных соединений.

{| class="wikitable"
|- align=center
!Симметрия
|[4,3], O<sub>h</sub>
|[5,3]<sup>+</sup>, I
|colspan=3|[5,3], I<sub>h</sub>
|- align=center
!Двойственность
!colspan=3|Самодвойственный
!colspan=2|Двойственные пары
|- align=center
!Рисунок
| [[Файл:Compound of two tetrahedra.png|100px]]
| [[Файл:Compound of five tetrahedra.png|100px]]
| [[Файл:Compound of ten tetrahedra.png|100px]]
| [[Файл:Compound of five cubes.png|100px]]
| [[Файл:Compound of five octahedra.png|100px]]
|- align=center
!Сферические
| [[Файл:Spherical compound of two tetrahedra.png|100px]]
| [[Файл:Spherical compound of five tetrahedra.png|100px]]
| [[Файл:Spherical compound of ten tetrahedra.png|100px]]
| [[Файл:Spherical compound of five cubes.png|100px]]
| [[Файл:Spherical compound of five octahedra.png|100px]]
|- align=center
!Многогранники
| [[Звёздчатый октаэдр]]
| [[Соединение пяти тетраэдров|5 {3,3}]]
| {{не переведено 5|Соединение десяти тетраэдров|10 {3,3}||Compound of ten tetrahedral}}
| {{не переведено 5|Соединение пяти кубов|5 {4,3}||Compound of five cubes}}
| [[Соединение пяти октаэдров|5 {3,4}]]
|- align=center
!Коксетер
| [[Куб|{4,3}]][2[[тетраэдр|{3,3}]]][[октаэдр|{3,4}]]
| [[додекаэдр|{5,3}]][5[[тетраэдр|{3,3}]]][[Икосаэдр|{3,5}]]
| 2[[додекаэдр|{5,3}]][10[[тетраэдр|{3,3}]]]2[[Икосаэдр|{3,5}]]
| 2[[додекаэдр|{5,3}]][5[[куб|{4,3}]]]
| [5[[октаэдр|{3,4}]]]2[[Икосаэдр|{3,5}]]
|}

==== Соединения на евклидовой и гиперболической плоскостях ====
Существует восемнадцать двупараметрических семейств правильных соединений мозаик евклидовой плоскости. На гиперболической плоскости известны пять однопараметрических семейств и семнадцать изолированных случаев, но полнота этого списка ещё не доказана.

Семейства соединений евклидовой и гиперболической плоскостей 2 {''p'',''p''} (4 ≤ ''p'' ≤ &infin;, ''p'' целое) аналогичны сферическим [[Звёздчатый октаэдр|звёздчатым октаэдрам]], 2 {3,3}.

{| class="wikitable"
|+ Несколько примеров евклидовых и гиперболических правильных соединений
!Самодвойственные
!colspan=2|Самодвойственные
!Самодвойственные
|-
!2 [[Квадратный паркет|{4,4}]]
!2 [[Шестиугольный паркет|{6,3}]]
!2 [[Треугольный паркет|{3,6}]]
!2 {{не переведено 5|Бесконечноугольная мозаика бесконечного порядка|{&infin;,&infin;}||infinite-order apeirogonal tiling}} 
|- align=center
|[[Файл:Kah 4 4.png|160px]]
|[[Файл:Compound 2 hexagonal tilings.png|160px]]
|[[Файл:Compound 2 triangular tilings.png|160px]]
| [[Файл:Infinite-order apeirogonal tiling and dual.png|160px]]
|- align=center
|<nowiki>{{4,4}}</nowiki> или a{4,4} или {4,4}[2{4,4}]{4,4}<br>{{CDD|nodes_10ru|split2-44|node}} +  {{CDD|nodes_01rd|split2-44|node}} или {{CDD|node_h3|4|node|4|node}}
| [2{6,3}]{3,6}
| a{6,3} или {6,3}[2{3,6}]<br> {{CDD|branch_10ru|split2|node}} + {{CDD|branch_01rd|split2|node}} или {{CDD|node_h3|6|node|3|node}}
|<nowiki>{{&infin;,&infin;}}</nowiki> или a{&infin;,&infin;} или {4,&infin;}[2{&infin;,&infin;}]{&infin;,4}<br> {{CDD|labelinfin|branch_10ru|split2-ii|node}} + {{CDD|labelinfin|branch_01rd|split2-ii|node}} или {{CDD|node_h3|infin|node|infin|node}}
|-
!
!3 {6,3}
!3 {3,6}
!3 {{не переведено 5|Бесконечноугольная мозаика бесконечного порядка|{&infin;,&infin;}||infinite-order apeirogonal tiling}}
|- align=center
|
|[[Файл:Compound 3 hexagonal tilings.png|160px]]
|[[Файл:Compound 3 triangular tilings.png|160px]]
|[[Файл:Iii symmetry 000.png|160px]]
|- align=center
|
|2{3,6}[3{6,3}]{6,3}
|{3,6}[3{3,6}]2{6,3}<br>{{CDD|branch_10ru|split2|node}} + {{CDD|branch_01rd|split2|node}} + {{CDD|branch|split2|node_1}} 
|<br>{{CDD|labelinfin|branch_10ru|split2-ii|node}} + {{CDD|labelinfin|branch_01rd|split2-ii|node}} + {{CDD|labelinfin|branch|split2-ii|node_1}}
|}

=== Соединения в четырёхмерном пространстве ===
{| class=wikitable align=right
|+ Ортогональные проекции
|[[Файл:Regular compound 75 tesseracts.png|120px]]
|[[Файл:Regular compound 75 16-cells.png|120px]]
|-
!75 [[Тессеракт|{4,3,3}]]
!75 [[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]
|}

В 4-мерном пространстве существует тридцать два правильных соединения правильных многогранников, которые [[Коксетер, Гарольд|Коксетер]] перечислил в своей книге  ''[[Правильные многогранники (книга)|Regular Polytopes]]'':{{sfn|Coxeter|1973|с=305 Table VII}}

{| class=wikitable
|+ Самодвойственные правильные соединения
!Соединение
!Симметрия
!Расположение вершин
!Расположение ячеек
|-
| 120 [[Пятиячейник|{3,3,3}]] ||[5,3,3], порядок 14400 || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
| 5 [[Двадцатичетырёхъячейник|{3,4,3}]] || [5,3,3], порядок 14400 || {3,3,5} || {5,3,3}
|}

{| class=wikitable
|+ Правильные соединения как двойственные пары
!Соединение 1
!Соединение 2
!Симметрия
!Расположение вершин (1)
!Расположение ячеек (1)
!Расположение вершин (2)
!Расположение ячеек (2)
|-
|3 [[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]<ref>Richard Klitzing, Uniform compound, [http://www.bendwavy.org/klitzing//incmats/stico.htm stellated icositetrachoron] {{Wayback|url=http://www.bendwavy.org/klitzing//incmats/stico.htm |date=20160304185509 }}</ref>||3 [[Тессеракт|{4,3,3}]]||[3,4,3], порядок 1152 || {3,4,3} || 2{3,4,3} || 2{3,4,3} || {3,4,3}
|-
|15 [[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]||15 [[тессеракт|{4,3,3}]]||[5,3,3], порядок 14400 || {3,3,5} || 2{5,3,3} || 2{3,3,5} || {5,3,3}
|-
|75 [[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]||75 [[тессеракт|{4,3,3}]]||[5,3,3], порядок 14400 || 5{3,3,5} || 10{5,3,3} || 10{3,3,5} || 5{5,3,3}
|-
|75 [[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]||75 [[тессеракт|{4,3,3}]]||[5,3,3], порядок 14400 || {5,3,3} || 2{3,3,5} || 2{5,3,3} || {3,3,5}
|-
|300 [[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]||300 [[тессеракт|{4,3,3}]]||[5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200 || 4{5,3,3} || 8{3,3,5} || 8{5,3,3} || 4{3,3,5}
|-
|600 [[Шестнадцатиячейник|{3,3,4}]]||600 [[тессеракт|{4,3,3}]]||[5,3,3], порядок 14400 || 8{5,3,3} || 16{3,3,5} || 16{5,3,3} || 8{3,3,5}
|-
|25 [[Двадцатичетырёхячейник|{3,4,3}]]||25 [[Двадцатичетырёхячейник|{3,4,3}]]||[5,3,3], порядок 14400 || {5,3,3} || 5{5,3,3} || 5{3,3,5} || {3,3,5}
|}

Существует два различных соединения 75 тессерактов: одно использует те же вершины, что и стодвадцатиячейник, а другое использует те же вершины, что и шестисотъячейник. Отсюда следует, что соответствующие двойственные соединения 75 шестнадцатиячейников также различны.

{| class=wikitable
|+ Самодвойственные звёздчатые соединения
!Соединение
!Симметрия
!Расположение вершин
!Расположение ячеек
|-
| 5 {{не переведено 5|Большой 120-ячейник|{5,5/2,5}||Great 120-cell}} || [5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200 || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
| 10 {{не переведено 5|Большой 120-ячейник|{5,5/2,5}||Great 120-cell}} || [5,3,3], порядок 14400 || 2{5,3,3} || 2{3,3,5}
|-
| 5 {{не переведено 5|Великий звёздчатый 120-ячейник|{5/2,5,5/2}||Great stellated 120-cell}}|| [5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200 || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
| 10 {{не переведено 5|Великий звёздчатый 120-ячейник|{5/2,5,5/2}||Grand stellated 120-cell}} || [5,3,3], порядок 14400 || 2{5,3,3} || 2{3,3,5}
|}

{| class=wikitable
|+ Правильные звёздчатые соединения как двойственные пары
!Соединение1
!Соединение2
!Симметрия
!Расположение вершин (1)
!Расположение ячеек (1)
!Расположение вершин (2)
!Расположение ячеек (2)
|-
|5 {{не переведено 5|Икосаэдральный 120-ячейник|{3,5,5/2}||Icosahedral 120-cell}}||5 {{не переведено 5|Малый звёздчатый 120-ячейник|{5/2,5,3}||Small stellated 120-cell}}||[5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200 || {5,3,3} || {3,3,5} || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
|10 {{не переведено 5|Икосаэдральный 120-ячейник|{3,5,5/2}||Icosahedral 120-cell}}||10 {{не переведено 5|Малый звёздчатый 120-ячейник|{5/2,5,3}||Small stellated 120-cell}}||[5,3,3], порядок 14400 || 2{5,3,3} || 2{3,3,5} || 2{5,3,3} || 2{3,3,5}
|-
|5 {{не переведено 5|Большой великий 120-ячейник|{5,5/2,3}||Great grand 120-cell}}||5 {{не переведено 5|Большой икосаэдральный 120-ячейник|{3,5/2,5}||Great icosahedral 120-cell}}||[5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200 || {5,3,3} || {3,3,5} || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
|10 {{не переведено 5|Большой великий 120-ячейник|{5,5/2,3}||Great grand 120-cell}}||10 {{не переведено 5|Большой икосаэдральный 120-ячейник|{3,5/2,5}||Great icosahedral 120-cell}}||[5,3,3], порядок 14400 || 2{5,3,3} || 2{3,3,5} || 2{5,3,3} || 2{3,3,5}
|-
|5 {{не переведено 5|Большой звёздчатый 120-ячейник|{5/2,3,5}||Great stellated 120-cell}}||5 {{не переведено 5|Великий 120-ячейник|{5,3,5/2}||Grand 120-cell}}||[5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200 || {5,3,3} || {3,3,5} || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
|10 {{не переведено 5|Большой звёздчатый 120-ячейник|{5/2,3,5}||Great stellated 120-cell}}||10 {{не переведено 5|Великий 120-ячейник|{5,3,5/2}||Grand 120-cell}}||[5,3,3], порядок 14400 || 2{5,3,3} || 2{3,3,5} || 2{5,3,3} || 2{3,3,5}
|}

Существует также четырнадцать ''частично правильных'' соединений, которые либо вершинно-транзитивны, либо ячеечно-транзитивны, но не одновременно. Семь вершинно-транзитивных частично правильных соединений являются двойственными семи ячейно-транзитивным частично правильным соединениям.
{| class=wikitable
|+ Частично правильные соединения как двойственные пары
!Соединение 1<br>[[Изогональная фигура|вершинно транзитивны]]
!Соединение 2<br>{{не переведено 5|Ячейная транзитивность|ячейно транзитивны||cell-transitive}}
!Симметрия
|-
|2 [[шестнадцатиячейник]]а <ref>Richard Klitzing, Uniform compound, [http://www.bendwavy.org/klitzing//incmats/haddet.htm demidistesseract] {{Wayback|url=http://www.bendwavy.org/klitzing//incmats/haddet.htm |date=20160304055206 }}</ref> ||2 [[тессеракт]]а||[4,3,3], порядок 384
|-
|100 [[двадцатичетырёхъячейник]]ов||100 [[двадцатичетырёхъячейник]]ов||[5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200
|-
|200 [[двадцатичетырёхъячейник]]ов||200 [[двадцатичетырёхъячейник]]ов||[5,3,3], порядок 14400
|-
|5 [[шестисотъячейник]]ов||5 [[стодвадцатиячейник]]ов||[5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200
|-
|10 [[шестисотъячейник]]ов||10 [[стодвадцатиячейник]]ов||[5,3,3], порядок 14400
|}
{| class=wikitable
|+ Частично правильные звёздчатые соединения как двойственные пары
!Соединение1<br>[[Изогональная фигура|вершинно транзитивны]]
!Соединение2<br>{{не переведено 5|Ячейная транзитивность|ячейно транзитивны||cell-transitive}}
!Симметрия
|-
|5 {{не переведено 5|Великий 600-ячейник|{3,3,5/2}||Grand 600-cell}}||5 {{не переведено 5|Большой великий 12-ячейник|{5/2,3,3}||Great grand stellated 120-cell}}||[5,3,3]<sup>+</sup>, порядок 7200
|-
|10 {{не переведено 5|Великий 600-ячейник|{3,3,5/2}||Grand 600-cell}}||10 {{не переведено 5|Большой великий 12-ячейник|{5/2,3,3}||Great grand stellated 120-cell}}||[5,3,3], порядок 14400
|}

==== Соединения в евклидовом 3-мерном пространстве ====
Единственными правильными евклидовыми соединениями сот является бесконечное семейство соединений [[Кубические соты|кубических сот]], имеющих общие вершины и грани с другими кубическими сотами. Это соединение может иметь любое число кубических сот. Запись Коксетера — {4,3,4}[''d''{4,3,4}]{4,3,4}.

===Соединения в пятимерном и выше пространствах ===
Нет правильных соединений в пятимерном и шестимерном пространствах. Известны три семимерных соединения (16, 240 и 480 {{не переведено 5|Семимерный симплекс|7-симплексов||7-simplex}}) и шесть восьмимерных (16, 240 и 480 [[октеракт]]ов или {{не переведено 5|Восьмимерный ортоплекс|8-ортоплексов||8-orthoplex}}). Существует также одно соединение ''n''-мерных симплексов в ''n''-мерном пространстве, при условии, что ''n'' на единицу меньше степени двойки, а также два соединения (соединение ''n''-мерных кубов и двойственное ему соединение ''n''-мерных ортоплексов) в ''n''-мерном пространстве, если ''n'' является степенью двойки.

Запись Коксетера для этих соединений (где α<sup>''n''</sup> = {3<sup>''n''−1</sup>}, β<sup>''n''</sup> = {3<sup>''n''−2</sup>,4}, γ<sub>''n''</sub> = {4,3<sup>''n''−2</sup>}:

* 7-симплексы: ''c''γ<sub>7</sub>[16''c''α<sub>7</sub>]''c''β<sub>7</sub>, where ''c'' = 1, 15 или 30
* 8-ортоплексы: ''c''γ<sub>8</sub>[16''c''β<sub>8</sub>]
* 8-кубы: [16''c''γ<sub>8</sub>]''c''β<sub>8</sub>

Общий случай (когда ''n'' = 2<sup>''k''</sup> and ''d'' = 2<sup>2<sup>''k''</sup> − ''k'' − 1</sup>, ''k'' = 2, 3, 4, ...):

* Симплексы: γ<sub>''n''−1</sub>[''d''α<sub>''n''−1</sub>]β<sub>''n''−1</sub>
* Ортоплексы: γ<sub>''n''</sub>[''d''β<sub>''n''</sub>]
* Гиперкубы: [''d''γ<sub>''n''</sub>]β<sub>''n''</sub>

==== Соединение евклидовых сот====
Известно бесконечное семейство правильных евклидовых соединений сот в размерностях пять и выше — соединение [[Гиперкубические соты|гиперкубических сот]], разделяющих вершины и грани с другими гиперболическими сотами. Это соединение может иметь произвольное число гиперболических сот. Запись Коксетера для этих соединений —  δ<sub>''n''</sub>[''d''δ<sub>''n''</sub>]δ<sub>''n''</sub> where δ<sub>''n''</sub> = {∞} при ''n'' = 2 и {4,3<sup>''n''−3</sup>,4} при ''n'' ≥ 3.

== Абстрактные многогранники ==

Понятие [[Абстрактный многогранник|абстрактного многогранника]] возникло при попытке изучать многогранники без привязки их к геометрическому пространству, в котором они находятся. Они включают замощения сферического, евклидова и гиперболического пространств, замощения других [[Многообразие|многообразий]] и много других объектов, не имеющих хорошо определённой топологии, но, зато, характеризующихся их "локальной" топологией. Абстрактных многогранников существует бесконечно много в любой размерности. См. [http://www.abstract-polytopes.com/atlas/ атлас] для примеров. Некоторые заметные примеры абстрактных правильных многогранников, которые трудно найти где-либо, это [[одиннадцатиячейник]], {3,5,3} и {{не переведено 5|пятидесятисемиячейник|||57-cell}}, {5,3,5}, имеющие правильные проективные многогранники в качестве ячеек и вершинных фигур.

Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), грани, рёбра, вершины и ''нулевой многогранник'' (пустое множество). Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычное пространство или ''приняты'' как геометрические фигуры. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильно построенную или ''правдоподобную'' реализацию, другие таковой не имеют. ''Флаг'' — это множество связанных элементов каждой размерности. Для четырёхмерного многогранника — это тело, грань, ребро этой грани, вершина  ребра и нулевой многогранник. Говорят, что абстрактный многогранник является ''правильным'', если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, то есть любой его флаг может быть переведён симметрией многогранника в любой другой. Абстрактные  правильные многогранники являются активной областью исследований.

Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые нельзя реализовать правдоподобно, были приведены [[Коксетер, Гарольд|Коксетером]] в его книге ''[[Правильные многогранники (книга)|Regular Polytopes]]'' (1977), а затем в статье Уиллса (J. M. Wills) "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987) <ref>[http://homepages.wmich.edu/~drichter/regularpolyhedra.htm The Regular Polyhedra (of index two)] {{Wayback|url=http://homepages.wmich.edu/~drichter/regularpolyhedra.htm |date=20160304023021 }}, David A. Richter</ref>. Они топологически эквивалентны [[Тор (поверхность)|тороиду]]. Их построение путём расположения ''n'' граней около каждой вершины можно продолжать бесконечно, давая замощение гиперболической плоскости. 

:{| class="wikitable" width=400
|- align=center 
! Многогранник
|[[Файл:DU36 medial rhombic triacontahedron.png|100px]]<br>[[Средний Ромботриаконтаэдр]]
|[[Файл:Dodecadodecahedron.png|100px]]<br>[[Додекододекаэдр]]
|[[Файл:DU41 medial triambic icosahedron.png|100px]]<br>{{не переведено 5|Средний триамбикикосаэдр|||Medial triambic icosahedron}}
|[[Файл:Ditrigonal dodecadodecahedron.png|100px]]<br>{{не переведено 5|Битригональный додекаэдр|||Ditrigonal dodecadodecahedron}}
|[[Файл:Excavated dodecahedron.png|100px]]<br>{{не переведено 5|Выемчатый додекаэдр|||Excavated dodecahedron}}
|- align=center
![[Вершинная фигура]]
|{5}, {5/2}<br>[[Файл:Regular polygon 5.svg|40px]][[Файл:Pentagram green.svg|40px]]
|(5.5/2)<sup>2</sup><br>[[Файл:Dodecadodecahedron vertfig.png|60px]]
|{5}, {5/2}<br>[[Файл:Regular polygon 5.svg|40px]][[Файл:Pentagram green.svg|40px]]
|(5.5/3)<sup>3</sup><br>[[Файл:Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png|60px]]
|[[Файл:Medial triambic icosahedron face.png|60px]]
|- align=center valign=top
!Грани
|30 ромбов<br>[[Файл:Rhombus definition2.svg|60px]]
|12 пятиугольников<br>12 пентаграмм<br>[[Файл:Regular polygon 5.svg|40px]][[Файл:Pentagram green.svg|40px]]
|20 шестиугольников<br>[[Файл:Medial triambic icosahedron face.png|60px]]
|12 пятиугольников<br>12 пентаграмм<br>[[Файл:Regular polygon 5.svg|40px]][[Файл:Pentagram green.svg|40px]]
|20 гексаграмм<br>[[Файл:Star hexagon face.png|60px]]
|- align=center
! Мозаика
|[[Файл:Uniform tiling 45-t0.png|100px]]<br>{{не переведено 5|Квадратная мозаика порядка 5|{4, 5}||Order-5 square tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 552-t1.png|100px]]<br>{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика порядка 4|{5, 4}||Order-4 pentagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 65-t0.png|100px]]<br>{{не переведено 5|Шестиугольная мозаика порядка 5|{6, 5}||Order-5 hexagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 553-t1.png|100px]]<br>{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика порядка 6|{5, 6}||Order-6 pentagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 66-t2.png|100px]]<br>{{не переведено 5|Пятиугольная мозаика порядка 6|{6, 6}{6, 6}||Order-6 hexagonal tiling}}
|- align=center
! [[Эйлерова характеристика|χ]]
| −6
| −6
| −16
| −16
| −20
|}

Они появляются как двойственные пары:
*{{не переведено 5|Средний ромбический триаконтаэдр|||Medial rhombic triacontahedron}} и [[додекододекаэдр]] двойственны друг другу.
*{{не переведено 5|Средний триамбикикосаэдр |||Medial triambic icosahedron}} и {{не переведено 5|Битригональный додекаэдр|||Ditrigonal dodecadodecahedron}} двойственны друг другу.
*{{не переведено 5|Выемчатый додекаэдр|||Excavated dodecahedron}} самодвойственен.

== См. также ==
* [[Многоугольник]]
** [[Правильный многоугольник]]
** [[Звёздчатый многоугольник]]
* [[Многогранник]]
** [[Правильный многогранник]] (5 правильных платоновых тел и 4 [[Тело Кеплера — Пуансо|тела Кеплера — Пуансо]])
*** [[Однородный многогранник]]
* [[Четырёхмерный многогранник]]
** [[Правильный четырёхмерный многогранник]]  (16 regular 4-polytopes, 4 convex and 10 star (Schläfli–Hess))
** {{не переведено 5|Однородный четырёхмерный многогранник|||Uniform 4-polytope}}
* [[Паркет (геометрия)]]
** {{не переведено 5|Замощение евклидовой плоскости правильными многоугольниками|||Tilings of regular polygons}}
** {{не переведено 5|Выпуклые однородные соты|||Convex uniform honeycomb}}
* [[Правильные многомерные многогранники]]
** {{не переведено 5|Однородный четырёхмерный многогранник|||Uniform polytope}}
* {{не переведено 5|Правильная карта|||Regular map (graph theory)}}

==Примечания==
{{примечания |2}}

== Литература ==
{{refbegin}}
*{{книга
|автор= [[Коксетер, Гарольд|H. S. M. Coxeter]]
|ref= Coxeter
|вклад= Regular honeycombs in hyperbolic space
|mr = 0087114
|pages = 155–169
|издательство= North-Holland Publishing Co. 
|место= Amsterdam
|заглавие=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, vol. III
|url= http://www.mathunion.org/ICM/ICM1954.3/Main/icm1954.3.0155.0169.ocr.pdf
|год = 1956
}}. Перепечатано в  {{книга
|автор= [[Коксетер, Гарольд|H. S. M. Coxeter]]
|ref= Coxeter
|часть= Chapter 10, pp. 199–214
|isbn = 0-486-40919-8
|mr = 1717154
|издательство= Dover Publications, Inc. 
|место= Mineola, NY
|заглавие= The Beauty of Geometry: Twelve Essays
|ссылка= https://archive.org/details/beautyofgeometry0000coxe
|год= 1999}}. См., в частности, таблицы II,III,IV,V, стр. 212–213 книги ''The Beauty of Geometry''.
*{{книга
|автор= [[Коксетер, Гарольд|H. S. M. Coxeter]]
|ref= Coxeter
|издание=3rd
|mr= 0370327
|издательство= Dover Publications, Inc. | location = New York
|заглавие= {{ll|en|Regular Polytopes_(book)|Regular Polytopes}}
|год= 1973}}. См., в частности, таблицы I и II: Regular polytopes and honeycombs, стр. 294–296.
*{{книга
|автор =Norman W. Johnson
|ref= Johnson
|вклад=Regular inversive polytopes 
|страницы= 85–95 
|заглавие= International Conference on Mathematics of Distances and Applications
|место=July 2–5, 2012, Varna, Bulgaria
|url=http://www.foibg.com/ibs_isc/ibs-25/ibs-25-p07.pdf
|год = 2012
}}
*{{статья
|автор=H. S. M. Coxeter
|ref=Coxeter
|заглавие=Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions
|издание=Proc. London Math. Soc.
|выпуск=43
|страницы=33–62
|год=1937
}}
*{{книга
|ref= McMullen, Schulte
|автор=Peter McMullen, Egon Schulte
|doi= 10.1017/CBO9780511546686
|isbn= 0-521-81496-0
|mr= 1965665
|издательство= Cambridge University Press | location = Cambridge
|серия= Encyclopedia of Mathematics and its Applications
|заглавие= Abstract Regular Polytopes
|том= 92
|год= 2002}}
*{{книга
|ref= Sommerville
|автор= D. M. Y. Sommerville
|mr= 0100239
|издательство= Dover Publications, Inc. 
|место= New York
|заглавие= An Introduction to the Geometry of {{mvar|n}} Dimensions
|год= 1958
}}. Переиздание 1930, издательства E. P. Dutton. См. главу X: The Regular Polytopes.
* [http://arxiv.org/abs/1511.02851 Visualizing Hyperbolic Honeycombs] Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [http://hyperbolichoneycombs.org]
{{refend}}

== Ссылки ==
*[http://www.math.utah.edu/~alfeld/math/polyhedra/polyhedra.html Платоновы тела]
*[http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler-poinsot-info.html тела Кеплера — Пуансо]
*[https://web.archive.org/web/20110717184828/http://weimholt.com/andrew/polytope.shtml Regular 4d Polytope Foldouts]
*[https://web.archive.org/web/20070207021813/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html Multidimensional Glossary (См. '''Hexacosichoron''' и '''Hecatonicosachoron''')]
*[http://www.stat.berkeley.edu/~evans/shapiro/TesseractApplet.html Polytope Viewer]
*[https://web.archive.org/web/20060615201915/http://presh.com/hovinga/ Polytopes and optimal packing of p points in n dimensional spheres]
*[http://www.abstract-polytopes.com/atlas/ Атлас малых правильных многогранников]
* [https://www.fields.utoronto.ca/programs/scientific/11-12/discretegeom/gradcourses/Course_notes.pdf Regular polyhedra through time] I. Hubard, ''Polytopes, Maps and their Symmetries''

{{Многогранники}}
{{Геометрические соты}}
{{Геометрические мозаики}}

{{rq|checktranslate|style}}


[[Категория:Списки:Математика]]
[[Категория:Многогранники]]
[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]]
{{Навигационная таблица/Портал/Русская Википедия}}
[[Категория:Русская Википедия]]
[[Категория:Википедия]]
[[Категория:Статья из Википедии]]
[[Категория:Статья из Русской Википедии]]