Русская Википедия:Список правильных многомерных многогранников и соединений
| Правильные (2D) многоугольники | |
|---|---|
| Выпуклые | Звёздчатые |
| Файл:Regular pentagon.svg {5} |
Файл:Star polygon 5-2.svg {5/2} |
| Правильные 3D-многогранники | |
| Выпуклые | Звёздчатые |
| Файл:Dodecahedron.png {5,3} |
Файл:Small stellated dodecahedron.png {5/2,5} |
| Правильные 2D-замощения | |
| Евклидовы | Гиперболические |
| Файл:Uniform tiling 44-t0.svg {4,4} |
Файл:Uniform tiling 54-t0.png Шаблон:Не переведено 5 |
| Правильные 4D-многогранники | |
| Выпуклые | Звёздчатые |
| Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png {5,3,3} |
Файл:Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png Шаблон:Не переведено 5 |
| Правильные 3D-замощения | |
| Евклидовы | Гиперболические |
| Файл:Cubic honeycomb.png {4,3,4} |
Файл:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png {5,3,4} |
Эта страница содержит список правильных многомерных многогранников (политопов) и правильных cоединений этих многогранников в евклидовом, сферическом и гиперболическом пространствах разных размерностей.
Символ Шлефли описывает каждое правильное замощение n-сферы, евклидова и гиперболического пространства. Символ Шлефли описания n-мерного многогранника равным образом описывает мозаику (n-1)-сферы. Вдобавок, симметрия правильного многогранника или замощения выражается как группа Коксетера, которые Коксетер обозначал идентично символам Шлефли, за исключением разграничения квадратными скобками, и эта нотация называется Шаблон:Не переведено 5. Другой связанный символ — диаграмма Коксетера — Дынкина, которая представляет группу симметрии (без помеченных кружком узлов) и правильные многогранники или замощения с обведённым кружком первым узлом. Например, куб имеет символ Шлефли {4,3}, с его Шаблон:Не переведено 5 [4,3] или Шаблон:CDD, представляется диаграммой Коксетера Шаблон:CDD.
Правильные многогранники сгруппированы по размерности, а затем по форме — выпуклые, невыпуклые и бесконечные. Невыпуклые виды используют те же вершины, что и выпуклые, но имеют пересекающиеся фасеты (грани максимальной размерности = размерности пространства – 1). Бесконечные виды замощают евклидово пространство на единицу меньшей размерности.
Бесконечные формы можно расширить до замощения гиперболического пространства. Гиперболическое пространство подобно обычному пространству, но параллельные прямые с расстоянием расходятся. Это позволяет вершинным фигурам иметь отрицательные угловые дефекты. Например, в вершине может сходиться семь правильных треугольников, лежащих на плоскости. Это нельзя осуществить на обычной (евклидовой) плоскости, но можно сделать при некотором масштабе на гиперболической плоскости.
Многогранники, удовлетворяющие более общему определению и не имеющие простых символов Шлефли, включают правильные косые многогранники и бесконечноугольные правильные косые многогранники с неплоскими фасетами или вершинными фигурами.
Обзор
Таблица показывает сводку правильных многогранников по размерностям.
| Конечные | Евклидовы | Гиперболические | Соединения | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Разм. | Выпук- лые |
Звёзд- чатые |
Косые | Выпук- лые |
Компак- тные |
Звёзд- чатые |
Параком- пактные |
Выпук- лые |
Звёзд- чатые |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | ∞ | ∞ | ∞ | 1 | 1 | 0 | 0 | ∞ | ∞ |
| 3 | 5 | 4 | ? | 3 | ∞ | ∞ | ∞ | 5 | 0 |
| 4 | 6 | 10 | ? | 1 | 4 | 0 | 11 | 26 | 20 |
| 5 | 3 | 0 | ? | 3 | 5 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| 6 | 3 | 0 | ? | 1 | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 |
| 7 | 3 | 0 | ? | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 |
| 8 | 3 | 0 | ? | 1 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 |
| 9+ | 3 | 0 | ? | 1 | 0 | 0 | 0 | * | 0 |
* 1, если размерность имеет вид 2k − 1; 2, если размерность является степенью двойки; 0 в противном случае.
Не существует правильных звёздчатых замощений в евклидовом пространстве любой размерности.
Одномерное пространство
| Файл:Coxeter node markup (ru).svg | Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет зеркальные "плоскости" как узлы, и помещает кружок вокруг узла, если точка не лежит на плоскости. Отрезок, { }, Шаблон:CDD — это точка p и зеркальный образ точки p, а также отрезок между ними. |
Одномерный многогранник (1-многогранник) — это замкнутый отрезок, ограниченный двумя конечными точками. 1-многогранник является правильным по определению и представляется символом Шлефли { }Шаблон:SfnШаблон:Sfn или диаграммой Коксетера с единственным помеченным кружком узлом, Шаблон:CDD. Норман Джонсон дал им название дайтел и символ Шлефли { } Шаблон:Sfn.
Будучи тривиальным в качестве многогранника, дайтел возникает в качестве рёбер многоугольников и многогранниковШаблон:Sfn. Он используется в определении однородных призм (как в символе Шлефли { }×{p}) или в диаграмме Коксетера Шаблон:CDD как прямое произведение отрезка и правильного многоугольника Шаблон:Sfn.
Двумерное пространство (многоугольники)
Двумерные многогранники называются многоугольниками. Правильные многоугольники имеют равные стороны и вписаны в окружность. Правильный p-угольник представляется символом Шлефли {p}.
Обычно только выпуклые многоугольники считаются правильными, но звёздчатые многоугольники наподобие пентаграммы можно также считать правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединение происходит другим путём, при котором окружность обходится более одного раза.
Звёздчатые многоугольники следует называть скорее невыпуклыми, чем вогнутыми, поскольку пересечение рёбер не образует новых вершин и все вершины находятся на окружности.
Выпуклые
Символ Шлефли {p} представляет правильный p-угольник.
Сферические
Правильный двуугольник {2} можно считать вырожденным правильным многоугольником. Он может существовать как невырожденный в некоторых неевклидовых пространствах, таких как поверхность сферы или тора.
| Название | Одноугольник | Двуугольник |
|---|---|---|
| Символ Шлефли | {1} | {2} |
| Симметрия | D1, [ ] | D2, [2] |
| Коксетер diagram | Шаблон:CDD или Шаблон:CDD | Шаблон:CDD |
| Рисунок | Файл:Monogon.svg | Файл:Digon.svg |
Звёзды
Существует бесконечно много правильных звёздчатых многогранников в двумерном пространстве (т.е. многоугольников), символы Шлефли которых являются рациональными числами {n/m}. Они называются звёздчатыми многоугольниками и имеют то же самое Шаблон:Не переведено 5, что и у выпуклого многоугольника.
В общем случае для любого натурального числа n и для всех m, таких, что m < n/2 и m, n взаимно просты, существуют n-точечные правильные звёзды с символами Шлефли {n/m} (строго говоря, {n/m}={n/(n−m)}) .
| Название | Пентаграмма | Гептаграммы | Октаграмма | Эннеаграммы | Шаблон:Не переведено 5 | ...n-граммы | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шлефли | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | {p/q} |
| Симметрия | D5, [5] | D7, [7] | D8, [8] | D9, [9], | D10, [10] | Dp, [p] | ||
| Коксетер | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD |
| Рисунок | Файл:Regular star polygon 5-2.svg | Файл:Regular star polygon 7-2.svg | Файл:Regular star polygon 7-3.svg | Файл:Regular star polygon 8-3.svg | Файл:Regular star polygon 9-2.svg | Файл:Regular star polygon 9-4.svg | Файл:Regular star polygon 10-3.svg | |
Пространственные многоугольники
В 3-мерном пространстве правильный пространственный многоугольник [1] называется антипризматическим многоугольником и он имеет то же Шаблон:Не переведено 5, что и у антипризмы, и его рёбра являются подмножеством рёбер антипризмы, соединяющие зигзагом вершины верхнего и нижнего многоугольников.
| Шестиугольник | Восьмиугольник | Десятиугольник | ||
| D3d, [2+,6] | D4d, [2+,8] | D5d, [2+,10] | ||
|---|---|---|---|---|
| {3}#{ } | {4}#{ } | {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
| Файл:Skew polygon in triangular antiprism.png | Файл:Skew polygon in square antiprism.png | Файл:Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png | Файл:Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png | Файл:Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png |
В 4-мерном пространстве правильный пространственный многоугольник может иметь вершины на торе Клиффорда и связан с Шаблон:Не переведено 5. В отличие от антипризматичных пространственных многоугольников, пространственные многоугольники двойного вращения могут иметь нечётное число сторон.
Их можно видеть в многоугольниках Петри Шаблон:Не переведено 5, видимые как правильные плоские многоугольники периметров проекций Коксетера:
| Пятиугольник | Восьмиугольник | Двенадцатиугольник | Тридцатиугольник |
|---|---|---|---|
| Файл:4-simplex t0.svg Пятиячейник |
Файл:4-orthoplex.svg Шестнадцатиячейник |
Файл:24-cell t0 F4.svg Двадцатичетырёхъячейник |
Файл:600-cell graph H4.svg Шестисотячейник |
Трёхмерное пространство (многогранники)
В трёхмерном пространстве правильный многогранник с символом Шлефли {p,q} и диаграммой Коксетера Шаблон:CDD имеет правильные грани вида {p} и правильную вершинную фигуру {q}.
Вершинная фигура (многогранника) является многоугольником, получаемым соединением вершин, отстоящих на одно ребро от заданной вершины. Для правильных трёхмерных многогранников, эта вершинная фигура является всегда правильным (и планарным) многоугольником.
Существование правильного многогранника {p,q} ограничено неравенством, относящимся к угловому дефекту вершинной фигуры:
- <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}</math> : Многогранник (существует в евклидовом 3-мерном пространстве)
- <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2}</math> : Евклидова плоская мозаика
- <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} < \frac{1}{2}</math> : Замощение гиперболической плоскости
Перенумеровав перестановки, мы найдём 5 выпуклых форм, 4 звёздчатые формы и 3 плоских замощения, все с многоугольниками {p} и {q} из списка: {3}, {4}, {5}, {5/2} и {6}.
Вдобавок к мозаикам евклидова пространства существует бесконечное количество правильных гиперболических мозаик.
Выпуклые
Пять выпуклых правильных многогранников называются платоновыми телами. Вершинная фигура указана вместе с числом вершин. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ) 2.
| Название | Шлефли {p,q} |
Коксетер Шаблон:CDD |
Рисунок (прозрачный) |
Рисунок (тело) |
Рисунок (сфера) |
Граней {p} |
Рёбер | Вершин {q} |
Симметрия | Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр (3-симплекс) |
{3,3} | Шаблон:CDD | Файл:Tetrahedron.gif | Файл:Tetrahedron.png | Файл:Uniform tiling 332-t0-1-.png | 4 {3} |
6 | 4 {3} |
Td [3,3] (*332) |
(самодвойственен) |
| Шестигранник Куб (3-куб) |
{4,3} | Шаблон:CDD | Файл:Hexahedron.gif | Файл:Hexahedron.png | Файл:Uniform tiling 432-t0.png | 6 {4} |
12 | 8 {3} |
Oh [4,3] (*432) |
Октаэдр |
| Октаэдр (3-ортоплекс) |
{3,4} | Шаблон:CDD | Файл:Octahedron.gif | Файл:Octahedron.png | Файл:Uniform tiling 432-t2.png | 8 {3} |
12 | 6 {4} |
Oh [4,3] (*432) |
Куб |
| Додекаэдр | {5,3} | Шаблон:CDD | Файл:Dodecahedron.gif | Файл:Dodecahedron.png | Файл:Uniform tiling 532-t0.png | 12 {5} |
30 | 20 {3} |
Ih [5,3] (*532) |
Икосаэдр |
| Икосаэдр | {3,5} | Шаблон:CDD | Файл:Icosahedron.gif | Файл:Icosahedron.png | Файл:Uniform tiling 532-t2.png | 20 {3} |
30 | 12 {5} |
Ih [5,3] (*532) |
Додекаэдр |
Сферические
В сферической геометрии существуют правильные сферические многогранники (мозаики на cфере), которые в нормальном случае являются вырожденными многогранниками. Это осоэдры {2,n} и двойственные им диэдры {n,2}. Коксетер называет такие случаи "несобственными" замощениями Шаблон:Sfn.
Несколько первых примеров (n от 2 до 6) приведены ниже.
| Название | Шлефли {2,p} |
Коксетер diagram |
Рисунок (sphere) |
Граней {2}π/p |
Рёбер | Вершин {p} |
Симметрия | Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Двуугольный осоэдр | {2,2} | Шаблон:CDD | Файл:Spherical digonal hosohedron.png | 2 {2}π/2 |
2 | 2 {2}π/2 |
D2h [2,2] (*222) |
Самодвойственен |
| Треугольный осоэдр | {2,3} | Шаблон:CDD | Файл:Spherical trigonal hosohedron.png | 3 {2}π/3 |
3 | 2 {3} |
D3h [2,3] (*322) |
Треугольный диэдр |
| Квадратный осоэдр | {2,4} | Шаблон:CDD | Файл:Spherical square hosohedron.png | 4 {2}π/4 |
4 | 2 {4} |
D4h [2,4] (*422) |
Квадратный диэдр |
| Пятиугольный осоэдр | {2,5} | Шаблон:CDD | Файл:Spherical pentagonal hosohedron.png | 5 {2}π/5 |
5 | 2 {5} |
D5h [2,5] (*522) |
Пятиугольный диэдр |
| Шестиугольный осоэдр | {2,6} | Шаблон:CDD | Файл:Spherical hexagonal hosohedron.png | 6 {2}π/6 |
6 | 2 {6} |
D6h [2,6] (*622) |
Шестиугольный диэдр |
| Название | Шлефли {p,2} |
Диаграмма Коксетера |
Рисунок (сфера) |
Граней {p} |
Рёбер | Вершин {2} |
Симметрия | Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Двуугольный диэдр | {2,2} | Шаблон:CDD | Файл:Digonal dihedron.png | 2 {2}π/2 |
2 | 2 {2}π/2 |
D2h [2,2] (*222) |
Самодвойственен |
| Треугольный диэдр | {3,2} | Шаблон:CDD | Файл:Trigonal dihedron.png | 2 {3} |
3 | 3 {2}π/3 |
D3h [3,2] (*322) |
Треугольный осоэдр |
| Квадратный диэдр | {4,2} | Шаблон:CDD | Файл:Tetragonal dihedron.png | 2 {4} |
4 | 4 {2}π/4 |
D4h [4,2] (*422) |
Квадратный осоэдр |
| Пятиугольный диэдр | {5,2} | Шаблон:CDD | Файл:Pentagonal dihedron.png | 2 {5} |
5 | 5 {2}π/5 |
D5h [5,2] (*522) |
Пятиугольный осоэдр |
| Шестиугольный диэдр | {6,2} | Шаблон:CDD | Файл:Hexagonal dihedron.png | 2 {6} |
6 | 6 {2}π/6 |
D6h [6,2] (*622) |
Шестиугольный осоэдр |
Звёздчатые диэдры и осоэдры также существуют, такие как {5/2,2} и {2,5/2}.
Звёзды
Правильные звёздчатые многогранники называются телами Кеплера — Пуансо и их существует четыре. Они основываются на Шаблон:Не переведено 5 додекаэдра {5,3} и икосаэдра {3,5}:
Как cферические мозаики эти звёздчатые формы перекрывают сферу несколько раз, что называется их плотностью. Для этих форм плотность равна 3 или 7. Рисунки мозаик показывают грани отдельных сферических многоугольников жёлтым цветом.
Косые многогранники
Правильный косой многогранник является обобщением множества правильных многогранников, в котором допускается непланарность вершинных фигур.
Для 4-мерных косых многогранников Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n}, имеющих вершинную фигуру {l,m}, m l-угольников вокруг вершины с n-угольными дырами. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, представляющими зигзаги между двумя плоскостями.
Для правильных косых многогранников, представленных символом {l,m|n}, выполняется равенство:
- 2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)
Четыре из них можно видеть в 4-мерном пространстве как множество граней четырёх правильных четырёхмерных многогранников, имеющих одно и то же Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5:
| Файл:4-simplex t03.svg | Файл:4-simplex t12.svg | Файл:24-cell t03 F4.svg | Файл:24-cell t12 F4.svg |
| {4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} | {4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} |
|---|
Четырёхмерное пространство
Правильные 4-мерные многогранники с символом Шлефли <math>\{p,q,r\}</math> имеют ячейки вида <math>\{p,q\}</math>, грани вида <math>\{p\}</math>, рёберные фигуры <math>\{r\}</math> и вершинные фигуры <math>\{q,r\}</math>.
- Вершинная фигура (4-мерного многогранника) является (3-мерным) многогранником, образованным соседними к данной вершине вершинами многогранника. Для правильных четырёхмерных многогранников эта вершинная фигура является правильным (3-мерным) многогранником.
- Рёберной фигурой является многоугольник, образованный прилегающими к ребру гранями. Для правильных четырёхмерных многогранников рёберной фигурой всегда будет правильный многоугольник.
Существование правильных четырёхмерных многогранников <math>\{p,q,r\}</math> ограничено существованием правильного многогранника <math>\{p,q\}, \{q,r\}</math>. Для 4-мерных многогранников предлагается использовать название "полихор"[2][3]
Каждый вид может существовать в пространстве, зависящем от следующего выражения:
- <math>\sin \left ( \frac{\pi}{p} \right ) \sin \left(\frac{\pi}{r}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{q}\right)</math>
- <math>> 0</math> : Гиперсферические 3-мерные соты или 4-мерные многогранники
- <math>= 0</math> : евклидовы 3-мерные соты
- <math>< 0</math> : Гиперболические 3-мерные соты
Эти ограничения допустимы для 21 форм — 6 форм выпуклы, 10 не выпуклы, одна является евклидовыми 3-мерными сотами и 4 являются гиперболическими сотами.
Эйлерова характеристика <math>\chi</math> четырёхмерного многогранника вычисляется по формуле <math>\chi = V+F-E-C</math> и равна нулю для всех видов.
Выпуклые
6 выпуклых правильных четырёхмерных многогранников показаны в таблице ниже. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ) 0.
| Название |
Шлефли {p,q,r} |
Коксетер Шаблон:CDD |
Шаблон:Не переведено 5 {p,q} |
Граней {p} |
Рёбер {r} |
Вершин {q,r} |
Двойственный {r,q,p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пятиячейник (4-симплекс) |
{3,3,3} | Шаблон:CDD | 5 {3,3} |
10 {3} |
10 {3} |
5 {3,3} |
(самодвойственен) |
| Тессеракт (4-куб) |
{4,3,3} | Шаблон:CDD | 8 {4,3} |
24 {4} |
32 {3} |
16 {3,3} |
Шестнадцатиячейник |
| Шестнадцатиячейник (4-ортоплекс) |
{3,3,4} | Шаблон:CDD | 16 {3,3} |
32 {3} |
24 {4} |
8 {3,4} |
Тессеракт |
| Двадцатичетырёхъячейник | {3,4,3} | Шаблон:CDD | 24 {3,4} |
96 {3} |
96 {3} |
24 {4,3} |
(самодвойственен) |
| Стодвадцатиячейник | {5,3,3} | Шаблон:CDD | 120 {5,3} |
720 {5} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
Шестисотъячейник |
| Шестисотъячейник | {3,3,5} | Шаблон:CDD | 600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {3,5} |
Стодвадцатиячейник |
Сферические
4-мерные диэдры и осоэдры существуют как правильные замощения 3-сферы.
Правильные 4-мерные диэдры (2 фасеты = 3-мерные грани) включают: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2} и их двойственные 4-мерные осоэдры (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Многогранники вида {2,p,2} являются одновременно 4-мерными диэдрами и осоэдрами. Существуют также формы {p,2,q}, которые имеют диэдральные ячейки и осоэдральные вершинные фигуры.
| Шлефли {2,p,q} |
Коксетер Шаблон:CDD |
Шаблон:Не переведено 5 {2,p}π/q |
Граней {2}π/p,π/q |
Рёбер | Вершин | Вершинная фигура {p,q} |
Симметрия | Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {2,3,3} | Шаблон:CDD | 4 {2,3}π/3 Файл:Spherical trigonal hosohedron.png |
6 {2}π/3,π/3 |
4 | 2 | {3,3} Файл:Uniform tiling 332-t0-1-.png |
[2,3,3] | {3,3,2} |
| {2,4,3} | Шаблон:CDD | 6 {2,4}π/3 Файл:Spherical square hosohedron.png |
12 {2}π/4,π/3 |
8 | 2 | {4,3} Файл:Uniform tiling 432-t0.png |
[2,4,3] | {3,4,2} |
| {2,3,4} | Шаблон:CDD | 8 {2,3}π/4 Файл:Spherical trigonal hosohedron.png |
12 {2}π/3,π/4 |
6 | 2 | {3,4} Файл:Uniform tiling 432-t2.png |
[2,4,3] | {4,3,2} |
| {2,5,3} | Шаблон:CDD | 12 {2,5}π/3 Файл:Spherical trigonal hosohedron.png |
30 {2}π/5,π/3 |
20 | 2 | {5,3} Файл:Uniform tiling 532-t0.png |
[2,5,3] | {3,5,2} |
| {2,3,5} | Шаблон:CDD | 20 {2,3}π/5 Файл:Spherical pentagonal hosohedron.png |
30 {2}π/3,π/5 |
12 | 2 | {3,5} Файл:Uniform tiling 532-t2.png |
[2,5,3] | {5,3,2} |
Звёзды
Существует десять правильных 4-мерных звёздчатых многогранника, которые называются Шаблон:Не переведено 5. Их вершины располагаются на выпуклом стодвадцатиячейнике {5,3,3} и шестисотъячейнике {3,3,5}.
Людвиг Шлефли нашёл четыре из них и отбросил остальные шесть, поскольку не позволял нарушение эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F+V−E=2). Эдмунд Гесс (Edmund Hess, 1843–1903) завершил список в своей книге Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ([1], 1883) (Введение в учение о замощении сферы с учётом теории равногранных и равноугольных многогранников) .
Существует 4 Шаблон:Не переведено 5 и 7 Шаблон:Не переведено 5 в этих 10 правильных звёздчатых 4-мерных многогранниках, показанные как ортогональные проекции:
Существует 4 несостоявшихся правильных звёздчатых перестановок многогранников: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Их ячейки и вершинные фигуры существует, но они не покрывают гиперсферу конечным числом представлений.
Размерность пять и выше
В Шаблон:Не переведено 5 правильные многогранники можно обозначить как <math>\{p,q,r,s\}</math>, где <math>\{p,q,r\}</math> является типом 4-грани, <math>\{p,q\}</math> является типом ячейки, <math>\{p\}</math> является типом 2-грани, <math>\{s\}</math> является фигурой грани, <math>\{r,s\}</math> является рёберной фигурой, а <math>\{q,r,s\}</math> является вершинной фигурой.
- Вершинная фигура (5-мерного многогранника) является 4-мерным многогранником, образованным вершинами, соседними с данной вершиной.
- Шаблон:Не переведено 5 (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным гранями вокруг каждого ребра.
- Шаблон:Не переведено 5 (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным ячейками вокруг каждой грани.
Правильный 5-мерный многогранник <math>\{p,q,r,s\}</math> существует, только если <math>\{p,q,r\}</math> и <math>\{q,r,s\}</math> являются правильными четырёхмерными многогранниками.
В зависимости от значения
- <math>\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{q}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{p}\right)} + \frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{r}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{s}\right)}</math>
получим тип пространства
- <math>< 1</math>: Сферическое 4-мерное замощение или 5-мерный многогранник
- <math>= 1</math>: евклидово 4-мерное замощение
- <math>> 1</math>: Гиперболическое 4-мерное замощение
Из этих ограничений получаем 3 выпуклых многогранника, нуль невыпуклых многогранников, 3 4-мерных замощения и 5 гиперболических 4-мерных замощений. Не существует невыпуклых правильных многогранников в пятимерном пространстве и выше.
Выпуклые
В размерностях 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников [4].
| Название | Символ Шлефли {p1,...,pn−1} |
Коксетер | k-граней | Тип фасеты |
Вершинная фигура |
Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n-симплекс | {3n−1} | Шаблон:CDD...Шаблон:CDD | <math>{{n+1} \choose {k+1}}</math> | {3n−2} | {3n−2} | Самодвойственен |
| n-куб | {4,3n−2} | Шаблон:CDD...Шаблон:CDD | <math>2^{n-k}{n \choose k}</math> | {4,3n−3} | {3n−2} | n-ортоплекс |
| n-ортоплекс | {3n−2,4} | Шаблон:CDD...Шаблон:CDD | <math>2^{k+1}{n \choose {k+1}}</math> | {3n−2} | {3n−3,4} | n-куб |
Существуют также несобственные случаи, в которых некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p,q,r,...2} является несобственным правильным сферическим многогранником в случае, если {p,q,r...} является правильным сферическим многогранником, и {2,...p,q,r} является несобственным правильным сферическим многогранником, когда {...p,q,r} является правильным сферическим многогранником. Такие многогранники можно использовать как фасеты, дающие формы вида {p,q,...2...y,z}.
Пятимерные пространства
| Название | Символ Шлефли {p,q,r,s} Коксетер |
Число фасет (четырёхмерных граней) {p,q,r} |
Ячеек (трёхмерных граней) {p,q} |
Граней (двумерных) {p} |
Рёбер | Вершин | Фигура при грани {s} |
Рёберная фигура {r,s} |
Вершинная фигура {q,r,s} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Гексатерон | {3,3,3,3} Шаблон:CDD |
6 {3,3,3} |
15 {3,3} |
20 {3} |
15 | 6 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| Пентеракт | {4,3,3,3} Шаблон:CDD |
10 {4,3,3} |
40 {4,3} |
80 {4} |
80 | 32 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| 5-ортоплекс | {3,3,3,4} Шаблон:CDD |
32 {3,3,3} |
80 {3,3} |
80 {3} |
40 | 10 | {4} | {3,4} | {3,3,4} |
| Файл:5-simplex t0.svg Гексатерон |
Файл:5-cube graph.svg Пентеракт |
Файл:5-orthoplex.svg 5-ортоплекс |
Шестимерное пространство
| Название | Шлефли | Вершин | Рёбер | Граней (2D) | Ячеек (3D) | 4D-граней | 5D-граней | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 0 |
| Хексеракт | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 0 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 0 |
| Файл:6-simplex t0.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:6-cube graph.svg Хексеракт |
Файл:6-orthoplex.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Семимерное пространство
| Название | Шлефли | Вершин | Рёбер | Граней (2D) | Ячеек (3D) | 4D-граней | 5D-граней | 6D-граней | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,3,3,3} | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 2 |
| Хептеракт | {4,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 2 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,3,3,4} | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 2 |
| Файл:7-simplex t0.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:7-cube graph.svg Хептеракт |
Файл:7-orthoplex.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Восьмимерное пространство
| Название | Шлефли | Вершин | Рёбер | Граней (2D) | Ячеек (3D) | 4D-граней | 5D-граней | 6D-граней | 7D-граней | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,3,3,3,3} | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 0 |
| Октеракт | {4,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 0 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,3,3,3,4} | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 0 |
| Файл:8-simplex t0.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:8-cube.svg Октеракт |
Файл:8-orthoplex.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Девятимерное пространство
| Название | Шлефли | Вершин | Рёбер | Граней (2D) | Ячеек (3D) | 4D-граней | 5D-граней | 6D-граней | 7D-граней | 8D-граней | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {38} | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 2 |
| Энтенеракт | {4,37} | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 2 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {37,4} | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 2 |
| Файл:9-simplex t0.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:9-cube.svg Энтенеракт |
Файл:9-orthoplex.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Десятимерное пространство
| Название | Шлефли | Вершин | Рёбер | Граней (2D) | Ячеек (3D) | 4D-граней | 5D-граней | 6D-граней | 7D-граней | 8D-граней | 9D-граней | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {39} | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 0 |
| Декеракт | {4,38} | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 0 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {38,4} | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 0 |
| Файл:10-simplex t0.svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:10-cube.svg Декеракт |
Файл:10-orthoplex.svg Шаблон:Не переведено 5 |
...
Невыпуклые
Не существует невыпуклых правильных многогранников в размерностях 5 и выше.
Правильные проективные многогранники
Проективный правильный (n+1)-многогранник существует, если исходное правильное n-сферическое замощение {p,q,...} центрально симметрично. Такие многогранники называются полу-{p,q,...}, и содержат вполовину меньше элементов. Коксетер даёт им символ {p,q,...}/2, в то время как Макмуллен пишет {p,q,...}h/2, где h — число Кокстера. [5]
Правильные многоугольники с чётным числом сторон имеют полу-2n-угольные проективные многоугольники, {2p}/2.
Существует 4 правильных Шаблон:Не переведено 5, соответствующих 4 из 5 платоновых тел.
Полукуб и полуоктаэдр обобщаются в полу-n-кубы и полу-n-ортоплексы в любой размерности.
Правильные проективные многогранники в трёхмерном пространстве
| Название | Коксетер McMullen |
Image | Faces | Edges | Vertices | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,3}/2 {4,3}3 |
Файл:Hemicube2.PNG | 3 | 6 | 4 | 1 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,4}/2 {3,4}3 |
Файл:Hemi-octahedron2.png | 4 | 6 | 3 | 1 |
| Полудодекаэдр | {5,3}/2 {5,3}5 |
Файл:Hemi-dodecahedron.png | 6 | 15 | 10 | 1 |
| Полуикосаэдр | {3,5}/2 {3,5}5 |
Файл:Hemi-icosahedron2.png | 10 | 15 | 6 | 1 |
Правильные проективные многогранники в четырёхмерном пространстве
В 4-мерном пространстве 5 из 6 выпуклых правильных многогранников образуют проективные 4-мерные многогранники. 3 специальных случая — это полудвадцатичетырёхъячейник, полушестисотъячейник и полустодвадцатиячейник.
| полутессеракт | {4,3,3}/2 | {4,3,3}4 | 4 | 12 | 16 | 8 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| полушестнадцатиячейник | {3,3,4}/2 | {3,3,4}4 | 8 | 16 | 12 | 4 | 0 |
| полудвадцатичетырёхъячейник | {3,4,3}/2 | {3,4,3}6 | 12 | 48 | 48 | 12 | 0 |
| полустодвадцатиячейник | {5,3,3}/2 | {5,3,3}15 | 60 | 360 | 600 | 300 | 0 |
| полушестисотъячейник | {3,3,5}/2 | {3,3,5}15 | 300 | 600 | 360 | 60 | 0 |
Правильные проективные многогранники в пятимерном пространстве
Существует только 2 выпуклых правильных проективных полумногогранника в пространствах размерности 5 и выше.
| Название | Шлефли | 4D-граней | Ячеек (3D) | Граней (2D) | Рёбер | Вершин | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| полупентеракт | {4,3,3,3}/2 | 5 | 20 | 40 | 40 | 16 | 1 |
| полуШаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,4}/2 | 16 | 40 | 40 | 20 | 5 | 1 |
Бесконечногранники
Шаблон:Не переведено 5 — это многогранник, имеющий бесконечное число фасет. n-бесконечногранник — это n-мерный бесконечногранник: 2-бесконечногранник = бесконечноугольник (апейрогон), 3-бесконечногранник = бесконечногранник в трёхмерном пространстве и т.д.
Существует два главных геометрических класса бесконечногранников:[6]
- Правильные соты в n-мерном пространстве, полностью заполняющие n-мерное пространство.
- Правильные Шаблон:Не переведено 5, содержащие n-мерные многообразия в более высоких пространствах.
Одномерное пространство (бесконечноугольники)
Прямой апейрогон — это правильное замощение прямой с разделением её на бесконечно много равных отрезков. Он имеет бесконечно много вершин и рёбер. Его символ Шлефли равен {∞}, а диаграмма Коксетера — Шаблон:CDD.
...Файл:Regular apeirogon.svg...
Апейрогоны на гиперболической плоскости, среди которых наиболее заметен правильный апейрогон {∞}, могут иметь кривизну, наподобие конечных многоугольников на евклидовой плоскости, и иметь вершины, лежащие на орициклах или гиперциклах.
Правильные апейрогоны со сходимостью на бесконечности имеют символ {∞} и существуют на орициклах, хотя в общем случае они могут существовать на гиперциклах.
| {∞} | {πi/λ} |
|---|---|
| Файл:Hyperbolic apeirogon example.png Бесконечноугольник на орицикле |
Файл:Pseudogon example.png Бесконечноугольник на гиперцикле |
Выше показаны два гиперболических апейрогона на диске Пуанкаре. На правом рисунке показаны перпендикулярные прямые, разделяющие фундаментальные области, отстоящие на расстояние λ друг от друга.
Пространственные бесконечноугольники
Косые апейрогоны в двумерном пространстве (плоскости) образуют зигзаг. Если зигзаг симметричен и однороден, апейрогон правильный.
Косые апейрогоны можно построить в пространстве любой размерности. В трёхмерном пространстве Шаблон:Не переведено 5 образуют спираль и могут быть левыми или правыми.
| Двумерное пространство | Трёхмерное пространство |
|---|---|
| Файл:Regular apeirogon zig-zag.png Апейрогон в виде зигзага |
Файл:Triangular helix.png Спиральный апейрогон |
Двумерное пространство (бесконечногранники)
Евклидовы мозаики
Существует три правильных замощения плоскости. Все три имеют эйлерову характеристику (χ) 0.
| Название | Квадратная мозаика (кадриль) |
Треугольная мозаика (дельтаплитка) |
Шестиугольный паркет (гексаплитка) |
|---|---|---|---|
| Симметрия | p4m, [4,4], (*442) | p6m, [6,3], (*632) | |
| Шлефли {p,q} | {4,4} | {3,6} | {6,3} |
| Диаграмма Коксетера | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD |
| Рисунок | Файл:Uniform tiling 44-t0.png | Файл:Uniform tiling 63-t2.png | Файл:Uniform tiling 63-t0.png |
Существует две несобственные правильные мозаики — {∞,2}, бесконечноугольный диэдр, полученный из двух апейрогонов, каждый из которых заполняет полуплоскость, и двойственная ей {2,∞} мозаика, бесконечноугольный осоэдр, который можно представить как бесконечное число параллельных прямых.
| Файл:Apeirogonal tiling.png Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:CDD |
Файл:Apeirogonal hosohedron.png Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:CDD |
Евклидовы звёздчатые мозаики
Не существует правильных замощений плоскости звёздчатыми многоугольниками. Существует бесконечно много пар чисел, для которых выполняется условие плоской мозаики (1/p + 1/q = 1/2), например, {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, и т.д., но ни одна из этих звёзд не подходит для замощения.
Гиперболические мозаики
Замощения гиперболического двухмерного пространства — это Шаблон:Не переведено 5. Существует бесконечно много правильных мозаик в H2. Как констатировано выше, любая положительная пара {p,q}, такая что 1/p + 1/q < 1/2 даёт гиперболическую мозаику. Фактически для общего треугольника Шварца (p, q, r) то же самое верно для 1/p + 1/q + 1/r < 1.
Существует много различных путей представления гиперболической плоскости, включая дисковую модель Пуанкаре, в которой плоскость отображается в диск, как показано ниже. Следует рассматривать все многоугольные грани замощения как равносторонние, и многоугольники становятся меньше при приближению к краю диска вследствие применения проекции, что похоже на эффект фотокамеры c объективом «Рыбий глаз».
Существует бесконечно много плоских правильных 3-бесконечногранников как правильных мозаик гиперболической плоскости, имеющих вид {p,q}, где p+q<pq/2.
- {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
- {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
- {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
- {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
- {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
- {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
- {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
- ...
- {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}
Примеры: Шаблон:Таблица правильных гиперболических мозаик
Гиперболические звёздчатые мозаики
Существует два бесконечных вида гиперболических мозаик, грани или вершинные фигуры которых являются звёздчатыми многоугольниками — {m/2, m} и их двойственные {m, m/2} с m = 7, 9, 11, .... Мозаики {m/2, m} являются звёздчатыми формами мозаик {m, 3}, в то время как двойственные мозаики {m, m/2} являются огранкой мозаик {3, m} и Шаблон:Не переведено 5 мозаик {m, 3}.
Схемы {m/2, m} и {m, m/2} продолжаются для нечётных m < 7 как многогранники: если m = 5, мы получим малый звёздчатый додекаэдр и большой додекаэдр, а при m = 3 мы получим тетраэдр. Другие два тела Кеплера — Пуансо (большой звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр) не имеют аналогов в правильных гиперболических мозаиках. Если m чётно, в зависимости от того, как мы выберем определение {m/2}, мы можем получить либо вырожденное покрытие другой мозаики или соединение мозаик.
| Название | Шлефли | Диаграмма Коксетера | Рисунок | Тип грани {p} |
Вершинная фигура {q} |
Шаблон:Не переведено 5 | Симметрия | Двойственная |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {7/2,7} | Шаблон:CDD | Файл:Hyperbolic tiling 7-2 7.png | {7/2} Файл:Star polygon 7-2.svg |
{7} Файл:Heptagon.svg |
3 | *732 [7,3] |
Семиугольная гептаграммная мозаика |
| Шаблон:Не переведено 5 | {7,7/2} | Шаблон:CDD | Файл:Hyperbolic tiling 7 7-2.png | {7} Файл:Heptagon.svg |
{7/2} Файл:Star polygon 7-2.svg |
3 | *732 [7,3] |
Гептаграммная мозаика порядка7 |
| Эннеаграммная мозаика порядка 9 | {9/2,9} | Шаблон:CDD | Файл:Hyperbolic tiling 9-2 9.png | {9/2} Файл:Star polygon 9-2.svg |
{9} Файл:Nonagon.svg |
3 | *932 [9,3] |
Эннеаграммная девятиугольная мозаика |
| Эннеаграммная девятиугольная мозаика | {9,9/2} | Шаблон:CDD | Файл:Hyperbolic tiling 9 9-2.png | {9} Файл:Nonagon.svg |
{9/2} Файл:Star polygon 9-2.svg |
3 | *932 [9,3] |
Эннеаграммная девятиугольная мозаика порядка 9 |
| Гендекаграммная мозаика порядка 11 | {11/2,11} | Шаблон:CDD | Файл:Order-11 hendecagrammic tiling.png | {11/2} Файл:Star polygon 11-2.svg |
{11} Файл:Hendecagon.svg |
3 | *11.3.2 [11,3] |
Гендекаграммная мозаика одиннадцатиугольная мозаика |
| Гендекаграммная мозаика одиннадцатиугольная мозаика | {11,11/2} | Шаблон:CDD | Файл:Hendecagrammic-order hendecagonal tiling.png | {11} Файл:Hendecagon.svg |
{11/2} Файл:Star polygon 11-2.svg |
3 | *11.3.2 [11,3] |
Гендекаграммная мозаика порядка 11 |
| p- граммная мозаика порядка p | {p/2,p} | Шаблон:CDD | {p/2} | {p} | 3 | *p32 [p,3] |
p- граммная p- угольная мозаика | |
| p-граммная мозаика p-угольная мозаика | {p,p/2} | Шаблон:CDD | {p} | {p/2} | 3 | *p32 [p,3] |
p-граммная мозаика порядка p |
Косые бесконечногранники в евклидовом 3-мерном пространстве
Существует три Шаблон:Не переведено 5 в евклидовом трёхмерном пространстве с правильным пространственным многоугольником в качестве вершинных фигур Шаблон:Sfn[7][8]. Они имеют то же самое Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5, что и у 3 Шаблон:Не переведено 5.
- 6 квадратов вокруг каждой вершины: {4,6|4}
- 4 шестиугольника вокруг каждой вершины: {6,4|4}
- 6 шестиугольников вокруг каждой вершины: {6,6|3}
| Правильный косой многоугольник | ||
|---|---|---|
| Файл:Mucube.png {4,6|4} |
Файл:Muoctahedron.png {6,4|4} |
Файл:Mutetrahedron.png {6,6|3} |
Существует тридцать правильных бесконечноугольников в евклидовом трёхмерном пространстве Шаблон:Sfn. Они включают как перечисленные выше, так и 8 других "чистых" бесконечноугольников. Все они связаны с кубическими сотами {4,3,4}. Остальные имеют пространственные многоугольные грани: {6,6}4, {4,6}4, {6,4}6, {∞,3}a, {∞,3}b, {∞,4}.*3, {∞,4}6,4, {∞,6}4,4 и {∞,6}6,3.
Косые бесконечногранники в гиперболическом трёхмерном пространстве
Существует 31 Шаблон:Не переведено 5 в гиперболическом трёхмерном пространстве [9]:
- 14 компактных: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5}, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3} и {6,8|3}.
- 17 паракомпактных: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6}, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3} и {8,8|4}.
Трёхмерное пространство (4-apeirotopes)
Замощения евклидова трёхмерного пространства
Существует только одно невырожденное правильное замощение 3-мерного пространства (соты), {4, 3, 4} Шаблон:Sfn:
| Название | Шлефли {p,q,r} |
Коксетер Шаблон:CDD |
Тип ячейки {p,q} |
Тип грани {p} |
Рёберная фигура {r} |
Вершинная фигура {q,r} |
χ | Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Кубические соты | {4,3,4} | Шаблон:CDD | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | 0 | Самодвойственны |
Несобственные замощения евклидова трёхмерного пространства
Существует шесть несобственных правильных замощений, попарно основанных на трёх правильных евклидовых замощениях. Их ячейки и вершинные фигуры являются правильными осоэдрами {2,n}, диэдрами {n,2} и евклидовыми мозаиками. Эти несобственные правильные мозаики конструкционно связаны с призматическими однородными сотами операцией усечения. Они являются высокоразмерными аналогами Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5.
| Шлефли {p,q,r} |
Диаграмма Коксетера |
Тип ячейки {p,q} |
Тип грани {p} |
Рёберная фигура {r} |
Вершинная фигура {q,r} |
|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | Шаблон:CDD | {2,4} | {2} | {4} | {4,4} |
| Шаблон:Не переведено 5 | Шаблон:CDD | {2,3} | {2} | {6} | {3,6} |
| {2,6,3} | Шаблон:CDD | {2,6} | {2} | {3} | {6,3} |
| {4,4,2} | Шаблон:CDD | {4,4} | {4} | {2} | {4,2} |
| {3,6,2} | Шаблон:CDD | {3,6} | {3} | {2} | {6,2} |
| {6,3,2} | Шаблон:CDD | {6,3} | {6} | {2} | {3,2} |
Замощения гиперболического трёхмерного пространства
Существует десять плоских правильных сот гиперболического 3-мерного пространстваШаблон:Sfn (перечислены выше как замощения):
- 4 компактных: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} и {5,3,5}
- 6 паракомпактных: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.
Замощения гиперболического 3-мерного пространства можно назвать гиперболическими сотами. Существует 15 гиперболических сот в H3, 4 компактных и 11 паракомпактных.
| Название | Символ Шлефли {p,q,r} |
Коксетер Шаблон:CDD |
Тип ячейки {p,q} |
Тип грани {p} |
Рёберная фигура {r} |
Вершинная фигура {q,r} |
χ | Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,5,3} | Шаблон:CDD | {3,5} | {3} | {3} | {5,3} | 0 | Самодвойственны |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,3,5} | Шаблон:CDD | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,4} |
| Додекаэдральные соты порядка 4 | {5,3,4} | Шаблон:CDD | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,5} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {5,3,5} | Шаблон:CDD | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | Самодвойственны |
Существует также 11 паракомпактных H3 сот (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и/или вершинными фигурами): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.
| Название | Символ Шлефли {p,q,r} |
Коксетер Шаблон:CDD |
Тип ячейки {p,q} |
Тпи грани {p} |
Рёберная фигура {r} |
Вершинная фигура {q,r} |
χ | Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,6} | Шаблон:CDD | {3,3} | {3} | {6} | {3,6} | 0 | {6,3,3} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {6,3,3} | Шаблон:CDD | {6,3} | {6} | {3} | {3,3} | 0 | {3,3,6} |
| Октаэдральные соты порядка 4 | {3,4,4} | Шаблон:CDD | {3,4} | {3} | {4} | {4,4} | 0 | {4,4,3} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,4,3} | Шаблон:CDD | {4,4} | {4} | {3} | {4,3} | 0 | {3,3,4} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,6,3} | Шаблон:CDD | {3,6} | {3} | {3} | {6,3} | 0 | Самодвойственны |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,3,6} | Шаблон:CDD | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | 0 | {6,3,4} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {6,3,4} | Шаблон:CDD | {6,3} | {6} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,6} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,4,4} | Шаблон:CDD | {4,4} | {4} | {4} | {4,4} | 0 | {4,4,4} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {5,3,6} | Шаблон:CDD | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | {6,3,5} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {6,3,5} | Шаблон:CDD | {6,3} | {6} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,6} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {6,3,6} | Шаблон:CDD | {6,3} | {6} | {6} | {3,6} | 0 | Самодвойственны |
Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдрон, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности), и некоторые нарисованы ниже, показывая их пересечение с плоскостью. Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными. Шаблон:Таблица правильных сот
Не существует гиперболических звёздчатых сот в H3 — все формы с правильным звёздчатым многогранником в качестве ячейки, вершинной фигуры, или того и другого оказываются сферическими.
Четырёхмерное пространство (5-бесконечногранники)
Замощения евклидов 4-мерного пространства
Существует три вида бесконечных правильных (сот), которые могут заполнить евклидово четырёхмерное пространство:
| Название | Символ Шлефли {p,q,r,s} |
Тип фасеты {p,q,r} |
Тип ячейки {p,q} |
Тип грани {p} |
Фигура грани {s} |
Рёберная фигура {r,s} |
Вершинная фигура {q,r,s} |
Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | Самодвойственены |
| Шестнадцатиячейные соты | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,3} |
| Двадцати- четырёхъячейные соты |
{3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,3,4,3} |
| Файл:Tesseractic tetracomb.png Спроецированный фрагмент сот {4,3,3,4} (Тессерактовые соты) |
Файл:Demitesseractic tetra hc.png Спроецированный фрагмент сот {3,3,4,3} (Шестнадцатиячейные соты) |
Файл:Icositetrachoronic tetracomb.png Спроецированный фрагмент сот {3,4,3,3} (24-ячейные соты) |
Существует также два несобственных случая, {4,3,4,2} и {2,4,3,4}. Существует три плоских правильных вида сот евклидова 4-мерного пространства:Шаблон:Sfn
- {4,3,3,4}, {3,3,4,3} и {3,4,3,3}.
Существует семь плоских правильных выпуклых сот гиперболического 4-мерного пространства:Шаблон:Sfn
- 5 компактных: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
- 2 паракомпактных: {3,4,3,4} и {4,3,4,3}.
Существует четыре плоских правильных звёздчатых видов сот в гиперболическом 4-мерном пространстве:Шаблон:Sfn
- {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} и {5,5/2,5,3}.
Замощения гиперболического 4-мерного пространства
Существует семь выпуклых правильных сот и четыре звёздчатые формы сот в пространстве H4 Шаблон:Sfn. Пять выпуклых видов компактны, а два паракомпактны.
Пять компактных правильных сот в H4:
| Название | Символ Шлефли {p,q,r,s} |
Тип фасеты {p,q,r} |
Тип ячейки {p,q} |
Тип грани {p} |
Фигура грани {s} |
Рёберная фигура {r,s} |
Вершинная фигура {q,r,s} |
Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} |
| 120-ячейные соты | {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | Самодвойственен |
Два правильных паракомпактных правильных вида сот в H4: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
| Название | Символ Шлефли {p,q,r,s} |
Тип фасеты {p,q,r} |
Тип ячейки {p,q} |
Тип грани {p} |
Фигура грани {s} |
Рёберная фигура {r,s} |
Вершинная фигура {q,r,s} |
Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,4,3,4} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {4,3,4} | {4,3,4,3} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,3,4,3} | {4,3,4} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,4} |
Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный пятиячейник, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности). Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными.
Шаблон:Таблица правильных тетрасот
Звёздчатые замощения гиперболического 4-мерного пространства
Существует четыре вида правильных звёздчатых сот в пространстве H4:
| Название | Символ Шлефли {p,q,r,s} |
Тип фасеты {p,q,r} |
Тип ячейки type {p,q} |
Тип грани {p} |
Фигура грани {s} |
Рёберная фигура {r,s} |
Вершинная фигура {q,r,s} |
Двойственный | Плот- ность |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {5/2,5,3,3} | Шаблон:Не переведено 5 | {5/2,5} | {5} | {5} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5/2} | 5 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,5,5/2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5,5/2} | {3,5,5/2} | {5/2,5,3,3} | 5 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,5,5/2,5} | {3,5,5/2} | {3,5} | {3} | {5} | {5/2,5} | {5,5/2,5} | {5,5/2,5,3} | 10 |
| Шаблон:Не переведено 5 | {5,5/2,5,3} | {5,5/2,5} | {5,5/2} | {5} | {3} | {5,3} | {5/2,5,3} | {3,5,5/2,5} | 10 |
Пятимерное пространство (бесконечноугольные 6-многогранники)
Существуют только одни плоские правильные соты в евклидовом 5-мерном пространстве: ( перечислены выше как замощения) Шаблон:Sfn
- {4,3,3,3,4}
Существует пять плоских правильных сот гиперболического 5-мерного пространства, все паракомпактные: (перечислены выше как замощения)Шаблон:Sfn
- {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}
Замощение s евклидова 5-мерного пространства
Гиперкубические соты является единственным семейством правильных сот, которые могут замостить пространство любой размерности (пять и выше), образованные фасетами-гиперкубами, по четыре вокруг каждой (n-2)-мерной грани.
| Название | Шлефли {p1, p2, ..., pn−1} |
Тип фасеты |
Вершинная фигура |
Двойственный |
|---|---|---|---|---|
| Квадратный паркет | {4,4} | {4} | {4} | Самодвой- ственен |
| Кубические соты | {4,3,4} | {4,3} | {3,4} | Самодвой- ственны |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,32,4} | {4,32} | {32,4} | Самодвой- ственны |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,33,4} | {4,33} | {33,4} | Самодвой- ственны |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,34,4} | {4,34} | {34,4} | Самодвой- ственны |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,35,4} | {4,35} | {35,4} | Самодвой- ственны |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,36,4} | {4,36} | {36,4} | Самодвой- ственны |
| n-мерные гиперкубические соты | {4,3n−2,4} | {4,3n−2} | {3n−2,4} | Самодвой- ственны |
В E5 существуют также несобственные случаи {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2} и {2,3,4,3,3}. В En, {4,3n−3,4,2} и {2,4,3n−3,4} являются всегда несобственными евклидовыми замощениями.
Замощения гиперболического 5-мерного пространства
Существует 5 правильных видов сот в H5, все паракомпактные. Они включают бесконечные (евклидовы) фасеты или вершинные фигуры: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}.
Существует два некомпактных правильных замощения гиперболического пространстваразмерности 5 и выше и нет паракомпактных правильных замощений в гиперболическом пространстве размерности 6 и выше.
| Название | Символ Шлефли {p,q,r,s,t} |
Тип фасеты {p,q,r,s} |
4-face type {p,q,r} |
Cell type {p,q} |
Face type {p} |
Cell figure {t} |
Face figure {s,t} |
Edge figure {r,s,t} |
Вершинная фигура {q,r,s,t} |
Двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,3,3,4,3} | {3,3,3,4} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,3} |
| Двадцати- четырёхъячейные сотовые соты |
{3,4,3,3,3} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {4,3,3,3} | {3,3,3,4,3} |
| Шестнадцатиячейные сотовые соты | {3,3,4,3,3} | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,4,3,3} | Самодвой- ственны |
| Шаблон:Не переведено 5 | {3,4,3,3,4} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | Шаблон:Не переведено 5 | {4,3,3,4,3} |
| Шаблон:Не переведено 5 | {4,3,3,4,3} | Шаблон:Не переведено 5 | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,4} |
Поскольку не существует правильных звёздчатых n-многогранников для n ≥ 5, которые могли бы быть потенциальными ячейками или вершинными фигурами, не существует больше гиперболических звёздчатых сот в Hn для n ≥ 5.
Размерность 6 и выше (7-мерные бесконечногранники+)
Замощения гиперболического 6-мерного и выше пространства
Не существует правильных компактных или паракомпактных замощений гиперболического пространства размерности 6 или выше. Все целые неперчисленные значения дают некомпактное замощение гиперболического n-мерного пространства.
Соединения многогранников
Двухмерные соединения
Для любого натурального числа n существует n-вершинный звёздчатый правильный многоугольник с символом Шлефли {n/m} для любого m < n/2 (строго говоря, {n/m}={n/(n−m)}), где m и n взаимно просты. Если m и n не взаимно просты, полученный многоугольник будет иметь n/m сторон. Новая фигура получается вращением этих n/m-угольников на одну вершину (влево), пока число вращений не достигнет числа n/m минус единица, и комбинацией этих повёрнутых фигур. В экстремальном случае, когда n/m равно 2, получим фигуру из n/2 отрезков. Такая фигура называется вырожденным звёздчатым многоугольником.
В других случаях, когда n и m имеют общий делитель, получим звёздчатый многоугольник с меньшим n и с ним можно скомбинировать версии, полученные вращением. Эти фигуры называются звёздчатыми фигурами, несобственными звёздчатыми многоугольниками или соединениями многоугольников. Для них часто используется то же обозначение {n/m}, хотя некоторые авторы, такие как Грюнбаум (1994), предпочитают (с некоторыми уточнениями) форму k{n} как более правильную, где, обычно, k = m.
Следующее усложнение возникает, когда мы соединяем два или более звёздчатых многоугольника, как, например, две пентаграммы, отличающиеся поворотом на 36° и вписанные в десятиугольник. Правильнее в этом случае писать в виде k{n/m}, в нашем случае 2{5/2}, а не использовать обычно используемое {10/4}.
Расширенная нотация Коксетера для соединения многоугольников имеет вид c{m,n,...}[d{p,q,...}]e{s,t,...}, в которой отражается, что d различных {p,q,...} вместе покрывают вершины {m,n,...} c раз и грани {s,t,...} e раз. Если не существует правильного {m,n,...}, первая часть записи удаляется, оставляя [d{p,q,...}]e{s,t,...}. Противоположный случай — если не существует правильного {s,t,...}. Двойственным к of c{m,n,...}[d{p,q,...}]e{s,t,...} является e{t,s,...}[d{q,p,...}]c{n,m,...}. Если c или e равно 1, их можно опускать. Для соединения многоугольников эта нотация сводится к {nk}[k{n/m}]{nk}. Например, гексаграмму можно записать как {6}[2{3}]{6}.
| Файл:Regular star figure 2(2,1).svg 2{2} |
Файл:Regular star figure 3(2,1).svg 3{2} |
Файл:Regular star figure 4(2,1).svg 4{2} |
Файл:Regular star figure 5(2,1).svg 5{2} |
Файл:Regular star figure 6(2,1).svg 6{2} |
Файл:Regular star figure 7(2,1).svg 7{2} |
Файл:Regular star figure 8(2,1).svg 8{2} |
Файл:Regular star figure 9(2,1).svg 9{2} |
Файл:Regular star figure 10(2,1).svg 10{2} |
Файл:Regular star figure 11(2,1).svg 11{2} |
Файл:Regular star figure 12(2,1).svg 12{2} |
Файл:Regular star figure 13(2,1).svg 13{2} |
Файл:Regular star figure 14(2,1).svg 14{2} |
Файл:Regular star figure 15(2,1).svg 15{2} | |
| Файл:Regular star figure 2(3,1).svg 2{3} |
Файл:Regular star figure 3(3,1).svg 3{3} |
Файл:Regular star figure 4(3,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 5(3,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 6(3,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 7(3,1).svg 7{3} |
Файл:Regular star figure 8(3,1).svg 8{3} |
Файл:Regular star figure 9(3,1).svg 9{3} |
Файл:Regular star figure 10(3,1).svg 10{3} |
Файл:Regular star figure 2(4,1).svg 2{4} |
Файл:Regular star figure 3(4,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 4(4,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 5(4,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 6(4,1).svg 6{4} |
Файл:Regular star figure 7(4,1).svg 7{4} |
| Файл:Regular star figure 2(5,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 3(5,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 4(5,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 5(5,1).svg 5{5} |
Файл:Regular star figure 6(5,1).svg 6{5} |
Файл:Regular star figure 2(5,2).svg 2{5/2} |
Файл:Regular star figure 3(5,2).svg 3{5/2} |
Файл:Regular star figure 4(5,2).svg 4{5/2} |
Файл:Regular star figure 5(5,2).svg 5{5/2} |
Файл:Regular star figure 6(5,2).svg 6{5/2} |
Файл:Regular star figure 2(6,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 3(6,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 4(6,1).svg 4{6} |
Файл:Regular star figure 5(6,1).svg 5{6} | |
| Файл:Regular star figure 2(7,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 3(7,1).svg 3{7} |
Файл:Regular star figure 4(7,1).svg 4{7} |
Файл:Regular star figure 2(7,2).svg 2{7/2} |
Файл:Regular star figure 3(7,2).svg 3{7/2} |
Файл:Regular star figure 4(7,2).svg 4{7/2} |
Файл:Regular star figure 2(7,3).svg 2{7/3} |
Файл:Regular star figure 3(7,3).svg 3{7/3} |
Файл:Regular star figure 4(7,3).svg 4{7/3} |
Файл:Regular star figure 2(8,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 3(8,1).svg 3{8} |
Файл:Regular star figure 2(8,3).svg 2{8/3} |
Файл:Regular star figure 3(8,3).svg 3{8/3} | ||
| Файл:Regular star figure 2(9,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 3(9,1).svg 3{9} |
Файл:Regular star figure 2(9,2).svg 2{9/2} |
Файл:Regular star figure 3(9,2).svg 3{9/2} |
Файл:Regular star figure 2(9,4).svg 2{9/4} |
Файл:Regular star figure 3(9,4).svg 3{9/4} |
Файл:Regular star figure 2(10,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 3(10,1).svg 3{10} |
Файл:Regular star figure 2(10,3).svg 2{10/3} |
Файл:Regular star figure 3(10,3).svg 3{10/3} | |||||
| Файл:Regular star figure 2(11,1).svg 2{11} |
Файл:Regular star figure 2(11,2).svg 2{11/2} |
Файл:Regular star figure 2(11,3).svg 2{11/3} |
Файл:Regular star figure 2(11,4).svg 2{11/4} |
Файл:Regular star figure 2(11,5).svg 2{11/5} |
Файл:Regular star figure 2(12,1).svg Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Regular star figure 2(12,5).svg 2{12/5} |
Файл:Regular star figure 2(13,1).svg 2{13} |
Файл:Regular star figure 2(13,2).svg 2{13/2} |
Файл:Regular star figure 2(13,3).svg 2{13/3} |
Файл:Regular star figure 2(13,4).svg 2{13/4} |
Файл:Regular star figure 2(13,5).svg 2{13/5} |
Файл:Regular star figure 2(13,6).svg 2{13/6} | ||
| Файл:Regular star figure 2(14,1).svg 2{14} |
Файл:Regular star figure 2(14,3).svg 2{14/3} |
Файл:Regular star figure 2(14,5).svg 2{14/5} |
Файл:Regular star figure 2(15,1).svg 2{15} |
Файл:Regular star figure 2(15,2).svg 2{15/2} |
Файл:Regular star figure 2(15,4).svg 2{15/4} |
Файл:Regular star figure 2(15,7).svg 2{15/7} |
Правильные пространственные многоугольники также создают соединения, которые можно наблюдать в рёбрах Шаблон:Не переведено 5, например:
| Соединение пространственных квадратов |
Соединение пространственных шестиугольников |
Соединение пространственных десятиугольников | |
| Два {2}#{ } | Три {2}#{ } | Два {3}#{ } | Два {5/3}#{ } |
| Файл:Compound skew square in cube.png | Файл:Skew tetragons in compound of three digonal antiprisms.png | Файл:Compound skew hexagon in hexagonal prism.png | Файл:Compound skew hexagon in pentagonal crossed antiprism.png |
Трёхмерные соединения
Правильные соединения многогранников можно определить как соединения, которые, подобно правильным многогранников, вершинно транзитивны, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5. По этому определению имеется 5 правильных соединений.
| Симметрия | [4,3], Oh | [5,3]+, I | [5,3], Ih | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Двойственность | Самодвойственный | Двойственные пары | |||
| Рисунок | Файл:Compound of two tetrahedra.png | Файл:Compound of five tetrahedra.png | Файл:Compound of ten tetrahedra.png | Файл:Compound of five cubes.png | Файл:Compound of five octahedra.png |
| Сферические | Файл:Spherical compound of two tetrahedra.png | Файл:Spherical compound of five tetrahedra.png | Файл:Spherical compound of ten tetrahedra.png | Файл:Spherical compound of five cubes.png | Файл:Spherical compound of five octahedra.png |
| Многогранники | Звёздчатый октаэдр | 5 {3,3} | Шаблон:Не переведено 5 | Шаблон:Не переведено 5 | 5 {3,4} |
| Коксетер | {4,3}[2{3,3}]{3,4} | {5,3}[5{3,3}]{3,5} | 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5} | 2{5,3}[5{4,3}] | [5{3,4}]2{3,5} |
Соединения на евклидовой и гиперболической плоскостях
Существует восемнадцать двупараметрических семейств правильных соединений мозаик евклидовой плоскости. На гиперболической плоскости известны пять однопараметрических семейств и семнадцать изолированных случаев, но полнота этого списка ещё не доказана.
Семейства соединений евклидовой и гиперболической плоскостей 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p целое) аналогичны сферическим звёздчатым октаэдрам, 2 {3,3}.
| Самодвойственные | Самодвойственные | Самодвойственные | |
|---|---|---|---|
| 2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 Шаблон:Не переведено 5 |
| Файл:Kah 4 4.png | Файл:Compound 2 hexagonal tilings.png | Файл:Compound 2 triangular tilings.png | Файл:Infinite-order apeirogonal tiling and dual.png |
| {{4,4}} или a{4,4} или {4,4}[2{4,4}]{4,4} Шаблон:CDD + Шаблон:CDD или Шаблон:CDD |
[2{6,3}]{3,6} | a{6,3} или {6,3}[2{3,6}] Шаблон:CDD + Шаблон:CDD или Шаблон:CDD |
{{∞,∞}} или a{∞,∞} или {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4} Шаблон:CDD + Шаблон:CDD или Шаблон:CDD |
| 3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 Шаблон:Не переведено 5 | |
| Файл:Compound 3 hexagonal tilings.png | Файл:Compound 3 triangular tilings.png | Файл:Iii symmetry 000.png | |
| 2{3,6}[3{6,3}]{6,3} | {3,6}[3{3,6}]2{6,3} Шаблон:CDD + Шаблон:CDD + Шаблон:CDD |
Шаблон:CDD + Шаблон:CDD + Шаблон:CDD | |
Соединения в четырёхмерном пространстве
| Файл:Regular compound 75 tesseracts.png | Файл:Regular compound 75 16-cells.png |
| 75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
|---|
В 4-мерном пространстве существует тридцать два правильных соединения правильных многогранников, которые Коксетер перечислил в своей книге Regular Polytopes:Шаблон:Sfn
| Соединение | Симметрия | Расположение вершин | Расположение ячеек |
|---|---|---|---|
| 120 {3,3,3} | [5,3,3], порядок 14400 | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 5 {3,4,3} | [5,3,3], порядок 14400 | {3,3,5} | {5,3,3} |
| Соединение 1 | Соединение 2 | Симметрия | Расположение вершин (1) | Расположение ячеек (1) | Расположение вершин (2) | Расположение ячеек (2) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 {3,3,4}[10] | 3 {4,3,3} | [3,4,3], порядок 1152 | {3,4,3} | 2{3,4,3} | 2{3,4,3} | {3,4,3} |
| 15 {3,3,4} | 15 {4,3,3} | [5,3,3], порядок 14400 | {3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | {5,3,3} |
| 75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], порядок 14400 | 5{3,3,5} | 10{5,3,3} | 10{3,3,5} | 5{5,3,3} |
| 75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], порядок 14400 | {5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | {3,3,5} |
| 300 {3,3,4} | 300 {4,3,3} | [5,3,3]+, порядок 7200 | 4{5,3,3} | 8{3,3,5} | 8{5,3,3} | 4{3,3,5} |
| 600 {3,3,4} | 600 {4,3,3} | [5,3,3], порядок 14400 | 8{5,3,3} | 16{3,3,5} | 16{5,3,3} | 8{3,3,5} |
| 25 {3,4,3} | 25 {3,4,3} | [5,3,3], порядок 14400 | {5,3,3} | 5{5,3,3} | 5{3,3,5} | {3,3,5} |
Существует два различных соединения 75 тессерактов: одно использует те же вершины, что и стодвадцатиячейник, а другое использует те же вершины, что и шестисотъячейник. Отсюда следует, что соответствующие двойственные соединения 75 шестнадцатиячейников также различны.
| Соединение | Симметрия | Расположение вершин | Расположение ячеек |
|---|---|---|---|
| 5 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3]+, порядок 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3], порядок 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3]+, порядок 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3], порядок 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| Соединение1 | Соединение2 | Симметрия | Расположение вершин (1) | Расположение ячеек (1) | Расположение вершин (2) | Расположение ячеек (2) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 Шаблон:Не переведено 5 | 5 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3]+, порядок 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 Шаблон:Не переведено 5 | 10 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3], порядок 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 Шаблон:Не переведено 5 | 5 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3]+, порядок 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 Шаблон:Не переведено 5 | 10 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3], порядок 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
| 5 Шаблон:Не переведено 5 | 5 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3]+, порядок 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| 10 Шаблон:Не переведено 5 | 10 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3], порядок 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
Существует также четырнадцать частично правильных соединений, которые либо вершинно-транзитивны, либо ячеечно-транзитивны, но не одновременно. Семь вершинно-транзитивных частично правильных соединений являются двойственными семи ячейно-транзитивным частично правильным соединениям.
| Соединение 1 вершинно транзитивны |
Соединение 2 Шаблон:Не переведено 5 |
Симметрия |
|---|---|---|
| 2 шестнадцатиячейника [11] | 2 тессеракта | [4,3,3], порядок 384 |
| 100 двадцатичетырёхъячейников | 100 двадцатичетырёхъячейников | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 200 двадцатичетырёхъячейников | 200 двадцатичетырёхъячейников | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 шестисотъячейников | 5 стодвадцатиячейников | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 шестисотъячейников | 10 стодвадцатиячейников | [5,3,3], порядок 14400 |
| Соединение1 вершинно транзитивны |
Соединение2 Шаблон:Не переведено 5 |
Симметрия |
|---|---|---|
| 5 Шаблон:Не переведено 5 | 5 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 Шаблон:Не переведено 5 | 10 Шаблон:Не переведено 5 | [5,3,3], порядок 14400 |
Соединения в евклидовом 3-мерном пространстве
Единственными правильными евклидовыми соединениями сот является бесконечное семейство соединений кубических сот, имеющих общие вершины и грани с другими кубическими сотами. Это соединение может иметь любое число кубических сот. Запись Коксетера — {4,3,4}[d{4,3,4}]{4,3,4}.
Соединения в пятимерном и выше пространствах
Нет правильных соединений в пятимерном и шестимерном пространствах. Известны три семимерных соединения (16, 240 и 480 Шаблон:Не переведено 5) и шесть восьмимерных (16, 240 и 480 октерактов или Шаблон:Не переведено 5). Существует также одно соединение n-мерных симплексов в n-мерном пространстве, при условии, что n на единицу меньше степени двойки, а также два соединения (соединение n-мерных кубов и двойственное ему соединение n-мерных ортоплексов) в n-мерном пространстве, если n является степенью двойки.
Запись Коксетера для этих соединений (где αn = {3n−1}, βn = {3n−2,4}, γn = {4,3n−2}:
- 7-симплексы: cγ7[16cα7]cβ7, where c = 1, 15 или 30
- 8-ортоплексы: cγ8[16cβ8]
- 8-кубы: [16cγ8]cβ8
Общий случай (когда n = 2k and d = 22k − k − 1, k = 2, 3, 4, ...):
- Симплексы: γn−1[dαn−1]βn−1
- Ортоплексы: γn[dβn]
- Гиперкубы: [dγn]βn
Соединение евклидовых сот
Известно бесконечное семейство правильных евклидовых соединений сот в размерностях пять и выше — соединение гиперкубических сот, разделяющих вершины и грани с другими гиперболическими сотами. Это соединение может иметь произвольное число гиперболических сот. Запись Коксетера для этих соединений — δn[dδn]δn where δn = {∞} при n = 2 и {4,3n−3,4} при n ≥ 3.
Абстрактные многогранники
Понятие абстрактного многогранника возникло при попытке изучать многогранники без привязки их к геометрическому пространству, в котором они находятся. Они включают замощения сферического, евклидова и гиперболического пространств, замощения других многообразий и много других объектов, не имеющих хорошо определённой топологии, но, зато, характеризующихся их "локальной" топологией. Абстрактных многогранников существует бесконечно много в любой размерности. См. атлас для примеров. Некоторые заметные примеры абстрактных правильных многогранников, которые трудно найти где-либо, это одиннадцатиячейник, {3,5,3} и Шаблон:Не переведено 5, {5,3,5}, имеющие правильные проективные многогранники в качестве ячеек и вершинных фигур.
Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), грани, рёбра, вершины и нулевой многогранник (пустое множество). Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычное пространство или приняты как геометрические фигуры. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильно построенную или правдоподобную реализацию, другие таковой не имеют. Флаг — это множество связанных элементов каждой размерности. Для четырёхмерного многогранника — это тело, грань, ребро этой грани, вершина ребра и нулевой многогранник. Говорят, что абстрактный многогранник является правильным, если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, то есть любой его флаг может быть переведён симметрией многогранника в любой другой. Абстрактные правильные многогранники являются активной областью исследований.
Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые нельзя реализовать правдоподобно, были приведены Коксетером в его книге Regular Polytopes (1977), а затем в статье Уиллса (J. M. Wills) "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987) [12]. Они топологически эквивалентны тороиду. Их построение путём расположения n граней около каждой вершины можно продолжать бесконечно, давая замощение гиперболической плоскости.
Многогранник Файл:DU36 medial rhombic triacontahedron.png
Средний РомботриаконтаэдрФайл:Dodecadodecahedron.png
ДодекододекаэдрФайл:DU41 medial triambic icosahedron.png
Шаблон:Не переведено 5Файл:Ditrigonal dodecadodecahedron.png
Шаблон:Не переведено 5Файл:Excavated dodecahedron.png
Шаблон:Не переведено 5Вершинная фигура {5}, {5/2}
Файл:Regular polygon 5.svgФайл:Pentagram green.svg(5.5/2)2
Файл:Dodecadodecahedron vertfig.png{5}, {5/2}
Файл:Regular polygon 5.svgФайл:Pentagram green.svg(5.5/3)3
Файл:Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.pngФайл:Medial triambic icosahedron face.png Грани 30 ромбов
Файл:Rhombus definition2.svg12 пятиугольников
12 пентаграмм
Файл:Regular polygon 5.svgФайл:Pentagram green.svg20 шестиугольников
Файл:Medial triambic icosahedron face.png12 пятиугольников
12 пентаграмм
Файл:Regular polygon 5.svgФайл:Pentagram green.svg20 гексаграмм
Файл:Star hexagon face.pngМозаика Файл:Uniform tiling 45-t0.png
Шаблон:Не переведено 5Файл:Uniform tiling 552-t1.png
Шаблон:Не переведено 5Файл:Uniform tiling 65-t0.png
Шаблон:Не переведено 5Файл:Uniform tiling 553-t1.png
Шаблон:Не переведено 5Файл:Uniform tiling 66-t2.png
Шаблон:Не переведено 5χ −6 −6 −16 −16 −20
Они появляются как двойственные пары:
- Шаблон:Не переведено 5 и додекододекаэдр двойственны друг другу.
- Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 двойственны друг другу.
- Шаблон:Не переведено 5 самодвойственен.
См. также
- Многоугольник
- Многогранник
- Правильный многогранник (5 правильных платоновых тел и 4 тела Кеплера — Пуансо)
- Четырёхмерный многогранник
- Правильный четырёхмерный многогранник (16 regular 4-polytopes, 4 convex and 10 star (Schläfli–Hess))
- Шаблон:Не переведено 5
- Паркет (геометрия)
- Правильные многомерные многогранники
- Шаблон:Не переведено 5
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга. Перепечатано в Шаблон:Книга. См., в частности, таблицы II,III,IV,V, стр. 212–213 книги The Beauty of Geometry.
- Шаблон:Книга. См., в частности, таблицы I и II: Regular polytopes and honeycombs, стр. 294–296.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга. Переиздание 1930, издательства E. P. Dutton. См. главу X: The Regular Polytopes.
- Visualizing Hyperbolic Honeycombs Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [2]
Ссылки
- Платоновы тела
- тела Кеплера — Пуансо
- Regular 4d Polytope Foldouts
- Multidimensional Glossary (См. Hexacosichoron и Hecatonicosachoron)
- Polytope Viewer
- Polytopes and optimal packing of p points in n dimensional spheres
- Атлас малых правильных многогранников
- Regular polyhedra through time I. Hubard, Polytopes, Maps and their Symmetries
Шаблон:Многогранники Шаблон:Геометрические соты Шаблон:Геометрические мозаики
| Партнерские ресурсы | |
|---|---|
| Криптовалюты | |
| Магазины |
|
| Хостинг | |
| Разное |
|
- ↑ В английской литературе — skew polygon, буквально — косой многоугольник. В русской литературе прижился термин пространственный многоугольник, а термин косой многоугольник соответствует термину skew polyhedron (косой многогранник). В данной статье используется термин косой многогранник для размерностей 4 и выше.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ В английском языке для многогранников используются следующие названия: polyhedra — трёхмерный многогранник, polychoron — четырёхмерный многогранник, polytope — многогранник размерности 5 и выше. В русском языке, как правило, для всех этих видов используется термин многогранник, иногда политоп.
- ↑ Шаблон:Harvtxt, Таблица I: Regular polytopes, (iii) Три правильных многогранника для размерностей n (n>=5), стр. 294–295.
- ↑ Abstract regular polytopes, p. 162-165 [3] Шаблон:Wayback
- ↑ Grünbaum, B.; "Regular Polyhedra—Old and New", Aeqationes mathematicae, Vol. 16 (1977), pp 1–20.
- ↑ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34
- ↑ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
- ↑ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [4] Шаблон:Wayback Замечание: В статье говорится, что существует 32, но один самодвойственен, так что остаётся 31.
- ↑ Richard Klitzing, Uniform compound, stellated icositetrachoron Шаблон:Wayback
- ↑ Richard Klitzing, Uniform compound, demidistesseract Шаблон:Wayback
- ↑ The Regular Polyhedra (of index two) Шаблон:Wayback, David A. Richter
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
