Просмотр кода страницы Русская Википедия:Теорема Мореры

{{Русская Википедия/Панель перехода}}
'''Теорема Мореры''' представляет собой обращение (неполное) [[интегральная теорема Коши|интегральной теоремы Коши]] и является одной из основных теорем [[теория функций комплексного переменного|теории функций комплексного переменного]]. Она может быть сформулирована так:
{{рамка}}
Если функция <math>f(z)</math> комплексного переменного <math>z</math> в [[область (математика)|области]] <math>D</math> [[Непрерывное отображение|непрерывна]], и интеграл от неё по любому замкнутому [[спрямляемая кривая|спрямляемому]] [[контур]]у <math>\Gamma\subset D</math> равен нулю, то есть
: <math>\oint\limits_\Gamma f(z)\,dz = 0,</math>
то <math>f(z)</math> — [[аналитическая функция]] в <math>D</math>.
{{конец рамки}}
Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области <math>D</math>.

== Идея доказательства ==
Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь [[Первообразная|первообразную]] в <math>D</math>, т. е. существует такая функция <math>F(z)</math>, что
: <math>\frac{dF(z)}{dz} = f(z).</math>

Но функция, [[Голоморфная функция|комплексно дифференцируемая]] один раз, является аналитической, поэтому её производная <math>f</math> также будет аналитической.

== Применение ==
Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если [[последовательность]] <math>f_n</math> аналитичных функций [[Равномерная сходимость|равномерно сходится]] к функции <math>f</math>, то
: <math>\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) \,dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) \,dz = 0,</math>

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]]
: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math>

и [[Гамма-функция Эйлера|гамма-функции Эйлера]]
: <math>\Gamma(\alpha) = \int\limits_0^\infty t^{\alpha-1} e^{-t} \,dt.</math>

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по [[Принцип симметрии|принципу симметрии]].

== История ==
Эта теорема была получена итальянским математиком {{Не переведено|Морера, Джиачинто|Джиачинто Морерой|it|Giacinto_Morera}} в [[1886 год]]у.

== Литература ==
* ''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ. — {{М}}: [[Наука (издательство)|Наука]]. — 1969, 577 с.

== Ссылки ==
* {{MathWorld | urlname= MorerasTheorem | title= Morera’s Theorem }}

{{math-stub}}

[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Теоремы комплексного анализа|Мореры]]
{{Навигационная таблица/Портал/Русская Википедия}}
[[Категория:Русская Википедия]]
[[Категория:Википедия]]
[[Категория:Статья из Википедии]]
[[Категория:Статья из Русской Википедии]]