Русская Википедия:Теорема Мореры

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так: Шаблон:Рамка Если функция <math>f(z)</math> комплексного переменного <math>z</math> в области <math>D</math> непрерывна, и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру <math>\Gamma\subset D</math> равен нулю, то есть

<math>\oint\limits_\Gamma f(z)\,dz = 0,</math>

то <math>f(z)</math> — аналитическая функция в <math>D</math>. Шаблон:Конец рамки Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области <math>D</math>.

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в <math>D</math>, т. е. существует такая функция <math>F(z)</math>, что

<math>\frac{dF(z)}{dz} = f(z).</math>

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная <math>f</math> также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность <math>f_n</math> аналитичных функций равномерно сходится к функции <math>f</math>, то

<math>\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) \,dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) \,dz = 0,</math>

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math>

и гамма-функции Эйлера

<math>\Gamma(\alpha) = \int\limits_0^\infty t^{\alpha-1} e^{-t} \,dt.</math>

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История

Эта теорема была получена итальянским математиком it (Giacinto_Morera) в 1886 году.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 с.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld