Просмотр кода страницы Русская Википедия:Электромагнитный тензор энергии-импульса

{{Русская Википедия/Панель перехода}}
{{DISPLAYTITLE:Тензор энергии-импульса электромагнитного поля}}
{{Электродинамика|Covariance}}

В [[Релятивистская механика|релятивистской физике]] '''электромагнитный тензор энергии-импульса''' является вкладом в [[тензор энергии-импульса]] обусловленный [[Электромагнитное поле|электромагнитным полем]]. <ref name="автоссылка1">Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, {{ISBN|0-7167-0344-0}}</ref> Тензор энергии-импульса описывает поток энергии и импульса в [[Пространство-время|пространстве]]-времени. Электромагнитный тензор энергии-импульса содержит отрицательное значение классического [[Тензор напряжений Максвелла|тензора напряжений Максвелла]], который регулирует электромагнитные взаимодействия.

== Определение ==

=== В единицах СИ ===
В свободном пространстве и плоском пространстве-времени [[тензор]] электромагнитной энергии-импульса в [[Международная система единиц|единицах СИ]] равен <ref name="автоссылка1" />

: <math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left[ F^{\mu \alpha}F^\nu{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right] \,.</math>

где <math>F^{\mu\nu}</math> – [[Тензор электромагнитного поля|электромагнитный тензор]] и где <math>\eta_{\mu\nu}</math> есть метрический тензор Минковского [[Сигнатура (линейная алгебра)|метрической сигнатуры]] {{Nobr|(− + + +)}} . При использовании метрики с сигнатурой {{Nobr|(+ − − −)}} выражение справа от знака равенства будет иметь противоположный знак.

Явно в матричной форме:

: <math>T^{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
 \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2\right) & \frac{1}{c}S_\text{x} & \frac{1}{c}S_\text{y} & \frac{1}{c}S_\text{z} \\
 \frac{1}{c}S_\text{x} & -\sigma_\text{xx} & -\sigma_\text{xy} & -\sigma_\text{xz} \\
 \frac{1}{c}S_\text{y} & -\sigma_\text{yx} & -\sigma_\text{yy} & -\sigma_\text{yz} \\
 \frac{1}{c}S_\text{z} & -\sigma_\text{zx} & -\sigma_\text{zy} & -\sigma_\text{zz}
\end{bmatrix},</math>

где

: <math>\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B},</math>

— [[вектор Пойнтинга]],

: <math>\sigma_{ij} = \epsilon_0 E_i E_j + \frac{1}{{\mu _0}}B_i B_j - \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu _0}B^2 \right)\delta _{ij} </math>

– [[тензор напряжений Максвелла]], ''c'' – [[скорость света]]. Таким образом, <math>T^{\mu\nu}</math> выражается и измеряется в единицах давления СИ ([[Паскаль (единица измерения)|паскалях]]).

=== Условные обозначения единиц СГС ===
[[Электрическая постоянная|Диэлектрическая проницаемость свободного пространства]] и [[Магнитная постоянная|магнитная проницаемость свободного пространства]] в [[СГС|единицах СГС-Гаусса]] равны

: <math>\epsilon_0 = \frac{1}{4\pi},\quad \mu_0 = 4\pi\,</math>

тогда:

: <math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi} \left[F^{\mu\alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right] \,.</math>

и в явной матричной форме:

: <math>T^{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
 \frac{1}{8\pi}\left(E^2 + B^2\right) & \frac{1}{c}S_\text{x} & \frac{1}{c}S_\text{y} & \frac{1}{c}S_\text{z} \\
 \frac{1}{c}S_\text{x} & -\sigma_\text{xx} & -\sigma_\text{xy} & -\sigma_\text{xz} \\
 \frac{1}{c}S_\text{y} & -\sigma_\text{yx} & -\sigma_\text{yy} & -\sigma_\text{yz} \\
 \frac{1}{c}S_\text{z} & -\sigma_\text{zx} & -\sigma_\text{zy} & -\sigma_\text{zz}
\end{bmatrix}</math>

где [[вектор Пойнтинга]] принимает вид:

: <math>\mathbf{S} = \frac{c}{4\pi}\mathbf{E}\times\mathbf{B}.</math>

Тензор энергии-импульса для электромагнитного поля в [[Диэлектрик|диэлектрической]] среде менее изучен и является предметом неразрешенного спора Абрахама-Минковского.<ref>however see Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007)</ref>

Элемент <math>T^{\mu\nu}\!</math> тензора энергии-импульса представляет собой поток ''µ''-й компоненты [[Четырёхимпульс|четырёхимпульса]] электромагнитного поля, <math>P^{\mu}\!</math>, проходящий через [[гиперплоскость]] (<math> x^{\nu}</math> является постоянным). Он представляет собой вклад электромагнетизма в источник гравитационного поля (искривление пространства-времени) в [[Общая теория относительности|общей теории относительности]].

== Алгебраические свойства ==
Электромагнитный тензор энергии-импульса обладает несколькими алгебраическими свойствами:

* Он является [[Симметричный тензор|симметричным тензором]]:<math display="block">T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}</math>

* Тензор <math>T^{\nu}{}_{\alpha}</math> [[След матрицы|бесследен]]:<math display="block">T^{\alpha}{}_{\alpha} = 0.</math>
{{Доказательство|Начиная с <math display="block">T^{\mu}_{\mu} = \eta_{\mu\nu}T^{\mu\nu},</math>

используем явную форму тензора,
<math display="block">T^{\mu}_{\mu} = \frac{1}{4\pi}\left[\eta_{\mu\nu}F^{\mu\alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}\frac{1}{4}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\right].</math>

Снижение индексов и использование того, что <math>\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu} = \delta^{\mu}_{\mu}</math>
<math display="block">T^{\mu}_{\mu} = \frac{1}{4\pi} \left[F^{\mu\alpha} F_{\mu\alpha} - \delta^{\mu}_{\mu} \frac{1}{4} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta}\right].</math>

Затем, используя <math>\delta^{\mu}_{\mu} = 4</math>,
<math display="block">T^{\mu}_{\mu} = \frac{1}{4\pi}\left[F^{\mu\alpha} F_{\mu\alpha} - F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta}\right].</math>

Обратите внимание, что в первом выражении μ, α и просто фиктивные индексы, поэтому мы переименовываем их в α и β, соответственно.
<math display="block">T^{\alpha}_{\alpha} = \frac{1}{4\pi}\left[F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} - F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta}\right] = 0.</math>}}
* Плотность энергии положительно-определённая:<math display="block">T^{00} \ge 0</math>

Симметрия тензора такая же, как у общего тензора энергии-импульса в [[Общая теория относительности|общей теории относительности]]. След тензора энергии-импульса есть [[:en:Lorentz_scalar|скаляр Лоренца]]; электромагнитное поле (и, в частности, электромагнитные волны) не имеет [[Преобразования Лоренца|лоренц-инвариантной]] энергетической шкалы, поэтому его тензор энергии-импульса должен иметь исчезающий след. Эта бесследность в конечном счёте связана с безмассовостью [[Фотон|фотона]] . <ref>Garg, Anupam. ''Classical Electromagnetism in a Nutshell'', p. 564 (Princeton University Press, 2012).</ref>

== Законы сохранения ==
Электромагнитный тензор энергии-импульса позволяет компактно записать [[законы сохранения]] линейного [[Импульс|количества движения]] и [[Энергия|энергии]] в электромагнетизме. Дивергенция тензора энергии-импульса:

: <math>\partial_\nu T^{\mu \nu} + \eta^{\mu \rho} \, f_\rho = 0 \,</math>

где <math>f_\rho</math> - (4D) [[сила Лоренца]] на единицу объема [[Материя (физика)|вещества]] .

Это уравнение эквивалентно следующим трёхмерным законам сохранения

: <math>\begin{align}
 \frac{\partial u_\mathrm{em}}{\partial t} + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{S} + \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} &= 0 \\
 \frac{\partial \mathbf{p}_\mathrm{em}}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\cdot \sigma + \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} &= 0
  \ \Leftrightarrow\ \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} - \nabla \cdot \mathbf{\sigma} + \mathbf{f} = 0
\end{align}</math>

соответственно, описывая поток плотности электромагнитной энергии

: <math>u_\mathrm{em} = \frac{\epsilon_0}{2}E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2 \,</math>

и плотность электромагнитного импульса

: <math>\mathbf{p}_\mathrm{em} = {\mathbf{S} \over {c^2}} </math>

где '''J''' — [[Плотность тока|плотность электрического тока]], ''ρ'' — [[Плотность заряда|плотность электрического заряда]], <math>\mathbf{f} </math> - плотность силы Лоренца.

== Смотрите также ==

* Исчисление Риччи
* Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
* Математические описания электромагнитного поля
* [[Уравнения Максвелла]]
* Уравнения Максвелла в искривлённом пространстве-времени
* [[Общая теория относительности]]
* [[Уравнения Эйнштейна|Уравнения поля Эйнштейна]]
* [[Магнитная гидродинамика|Магнитогидродинамика]]
* [[Векторный анализ|Векторное исчисление]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
<references group="" responsive="1"></references>
[[Категория:Электромагнетизм]]
{{Навигационная таблица/Портал/Русская Википедия}}
[[Категория:Русская Википедия]]
[[Категория:Википедия]]
[[Категория:Статья из Википедии]]
[[Категория:Статья из Русской Википедии]]