Просмотр кода страницы Русская Википедия:Principia Mathematica

{{Русская Википедия/Панель перехода}}
{{о|труде по логике Рассела и Уайтхеда|работе Ньютона|Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica}}
{{другое значение|Не следует путать с  {{iw|The Principles of Mathematics||en|The Principles of Mathematics}}&nbsp;— другой книгой Рассела, изданной в 1903 году.}}
{{заголовок курсивом}}
{{Издание
| Название          = Principia Mathematica
| Оригинал названия = 
| Изображение       = Russell, Whitehead - Principia Mathematica to 56.jpg
| Ширина            =
| Подпись           =
| Автор             = 
| Жанр              = 
| Язык              = 
| Оригинал выпуска  = 1910 (I&nbsp;том), 1912 (II&nbsp;том), 1913 (III&nbsp;том)
| Переводчик        =
| Иллюстратор       = 
| Оформление        =
| Серия             =
| Издательство      = Cambridge University Press
| Выпуск            = 
| Страниц           = 
| Носитель          =
| Предыдущая        = 
| Следующая         =
| isbn              =
| Lib               = 
| Викитека = 
}}
'''''Principia Mathematica''''' — трёхтомный труд по [[Логика|логике]] и [[Философия математики|философии математики]] [[Уайтхед, Альфред Норт|Альфреда Норта Уайтхеда]] и [[Рассел, Бертран|Бертрана Рассела]], выпущенный в 1910, 1912 и 1913 годах. Монография написана на английском языке, но название дано на латыни. Название переводилось на русский как «Принципы математики», «Начала математики» и «Основания математики».

Наряду с «[[Органон (Аристотель)|Органоном]]» ({{lang-grc|Ὄργανον}}) [[Аристотель|Аристотеля]] и работой «Основные законы арифметики» ({{lang-de|Grundgesetze der Arithmetik}}) [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Готлоба Фреге]] является одним из самых влиятельных трудов по логике в истории<ref name="sep">{{статья|автор=Irvine, A. D.|заглавие=Principia Mathematica|ссылка=http://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/|издание=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|год=2010|archivedate=2019-04-28|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190428140417/https://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/}}</ref>. Объём ''Principia Mathematica'' в общей сложности составляет около 2000 страниц<ref name="samar">{{cite web|url=http://mss.ssu.samara.ru/proekt/Rekl2.pdf|title=Самарский государственный университет|accessdate=2013-08-07|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070126112751/http://mss.ssu.samara.ru/proekt/Rekl2.pdf|archivedate=2007-01-26|deadlink=404}}</ref>.

В своей работе Рассел и Уайтхед стремились показать, что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, то есть обосновать [[логицизм]]. Для этого была введена [[теория типов]], в рамках которой было невозможно сформулировать понятие «множество всех множеств», которое приводило к [[Парадокс Рассела|парадоксу Рассела]]. Помимо этого, были введены две аксиомы: [[аксиома бесконечности]] (существует бесконечное число объектов) и [[аксиома сводимости]] (для каждого множества существует равнообъёмное ему множество первого порядка)<ref name="epis">{{статья|автор=А. С. Карпенко.|заглавие=Принципы математики|издание=Энциклопедия эпистемологии и философии науки|место=М.|издательство=«Канон+», РООИ «Реабилитация». И. Т. Касавин|год=2009}}</ref>.

== История ==
Центральная идея ''Principia Mathematica'' о сводимости математики к логике (логицизм) была неявно высказана ещё [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницем]] в XVII веке, позже в явном виде её высказал [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Фреге]], который разработал логико-математический аппарат, необходимый для технического обоснования логицизма<ref name="sep"/>.

В 1898 Уайтхед издаёт свою работу по логицизму ''A Treatise on Universal Algebra'', а в 1903 Рассел пишет книгу ''{{iw|The Principles of Mathematics}}''. Поскольку оба математика пришли к сходным выводам, а темы их работ перекликались, вскоре они начали сотрудничество над совместной работой, которая получила название ''Principia Mathematica''. Выбор названия был связан не столько с ''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]'' [[Ньютон, Исаак|Ньютона]], сколько с работой [[Мур, Джордж Эдвард|Мура]] ''[[Principia Ethica]]''<ref>{{книга|автор=Nicholas Griffin.|заглавие=The Cambridge Companion to Bertrand Russell|ссылка=https://books.google.com/books?id=obY48lTt-2AC&pg=PA66|издательство=Cambridge University Press|год=2003|pages=66|allpages=550|isbn=0521636345}}</ref><ref>{{книга|автор=I. Grattan-Guinness.|заглавие=The Search for Mathematical Roots, 1870–1940: Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Godel|ссылка=https://books.google.com/books?id=LcCx9MROpbUC&pg=PA380|издание=Princeton University Press|год=2011|pages=380|allpages=624|isbn=1400824044}}</ref>.

На Рассела ложилась [[Философия|философская]] часть работы, технические же моменты писались совместно. Как писал Рассел:

{{начало цитаты}}
Что касается математических проблем, Уайтхед разработал бо́льшую часть системы обозначений, за исключением того, что уже было у [[Пеано, Джузеппе|Пеано]]; я работал с рядами, а Уайтхед сделал почти всё остальное. Но это относится только к первым черновикам. Каждая часть переделывалась 3 раза. Один из нас делал первый черновик текста и посылал второму, который обычно его существенно видоизменял и отправлял назад. Затем автор первоначального черновика приводил текст в окончательный вид. Едва ли существует хоть строчка во всех трёх томах, которая не является результатом совместной работы.
{{oq|en|As for the mathematical problems, Whitehead invented most of the notation, except in so far as it was taken over from Peano; I did most of the work concerned with series and Whitehead did most of the rest. But this only applies to first drafts. Every part was done three times over. When one of us had produced a first draft, he would send it to the other, who would usually modify it considerably. After which, the one who had made the first draft would put it into final form. There is hardly a line in all the three volumes which is not a joint product.}}
{{конец цитаты|источник={{книга|автор=Bertrand Russell.|заглавие=My philosophical development|ссылка=https://archive.org/details/myphilosophicald0000russ|место=London|издательство=Allen and Unwin|год=1959|pages=[https://archive.org/details/myphilosophicald0000russ/page/74 74]|allpages=279|isbn=0041920155}}}}

Математики планировали закончить работу за год, однако спустя почти десять лет работа ещё не была завершена. К тому же издательство Cambridge University Press решило, что издание этой работы принесет убыток в 600 [[Фунт стерлингов|фунтов стерлингов]], 300 из которых издательство было готово взять на себя, 200 пожертвовало [[Лондонское королевское общество]], и по 50 выплатили издательству Рассел и Уайтхед из личных средств. В настоящий момент не существует ни одной академической библиотеки, где бы не было издания ''Principia Mathematica''<ref name="sep"/>.

== Содержание ==
[[Файл:Principia Mathematica 54-43.png|Доказательство «1+1=2» из I тома ''Principia Mathematica''|300px|thumb|right]]
''Principia Mathematica'' состоит из 3 томов, которые разделены на 6 частей.

I том вышел в свет в 1910 году и содержал базовые [[Аксиома|аксиомы]] и правила вывода аксиом более высокого порядка, элементарные операции над [[Множество|множествами]] и [[Бинарное отношение|бинарные отношения]], определение единицы и двойки как чисел. В I томе рассматривались [[теорема Цермело]], [[аксиома выбора]] и [[теорема Кантора — Бернштейна]].

II том был выпущен в 1912 году. В нём рассматривались [[Мощность множества|кардинальные числа]] и арифметические операции над ними, конечные числа, арифметика бинарных отношений, [[Линейно упорядоченное множество|линейно упорядоченные множества]], упорядоченные множества [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]], [[Предельная точка|предельные точки]] и [[Непрерывная функция|непрерывные функции]].

III том был выпущен в 1913 году. В нём рассматривались [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядоченные множества]], полностью упорядоченные множества, множества целых, рациональных, вещественных чисел и их измерение. Также был затронут вопрос эквивалентности аксиомы выбора и принципа вполне упорядочения.
 
IV том планировался к выходу, но так и не был написан. Он должен был быть посвящён [[Геометрия|геометрии]]<ref name="sep"/><ref name="burris">{{статья|автор=Stanley Burris.|заглавие=Principia Mathematica: Whitehead and Russell|ссылка=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/scav/principia/principia.html|язык=en|год=1997|archivedate=2013-02-08|archiveurl=https://web.archive.org/web/20130208181720/http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/scav/principia/principia.html}}</ref>.

== Критика и влияние ==
Книга ''Principia Mathematica'' стала большим достижением в двух отношениях: она существенно продвинула развитие математической логики и показала, как можно избавиться от всех известных [[Парадоксы теории множеств|парадоксов теории множеств]]. Однако авторы её претендовали на большее — выяснение сущности математического знания. В этом отношении их позиция нашла мало поддержки. Среди сторонников логицизма — [[Алонзо Чёрч]] и [[Уиллард Ван Орман Куайн]], в лагере противников — такие крупные математики, как [[Пуанкаре, Анри|А. Пуанкаре]], [[Гильберт, Давид|Д. Гильберт]], [[Вейль, Герман|Г. Вейль]] и многие другие.

Критики атаковали как идеологию [[логицизм]]а, так и его конкретное воплощение в книге. Они указывали, что непротиворечивость конструкции Рассела — Уайтхеда не доказана, и нет гарантии, что не появятся новые парадоксы. Особое неприятие вызвали предложенные авторами две новые аксиомы: аксиома бесконечности и аксиома сводимости. Многие математики утверждали, что эти аксиомы не являются чисто логическими{{sfn|Клайн М.|1984|с=260—267}}. Так, по мнению критиков, аксиома бесконечности является [[Эмпиризм|эмпирической]], но не логической. А аксиома сводимости лишена интуитивной очевидности и была введена [[ad hoc]] для обхода неудобных эффектов теории типов. Таким образом, вопрос о научной ценности логицизма остался открытым<ref name="sep"/>.

Когда в работу по доказательству непротиворечивости формальных систем ''Principia Mathematica'' включился [[Гёдель, Курт|К. Гёдель]], наступил переломный момент. В 1931 году Гёдель доказал невозможность обоснования непротиворечивости формальной арифметики с помощью её собственных средств, а предположение о её непротиворечивости означает невозможность доказательства всех перво-порядковых аксиом о натуральных числах (см. [[теорема Гёделя о неполноте]]). В научном сообществе эта теорема Гёделя была воспринята как невозможность полномасштабной реализации как логицизма, так и [[Формализм (математика)|формализма]]. Результаты работы Гёделя по формальным системам ''Principia Mathematica'' затронули не только логику, математику и философию, но также и вопросы, лежащие в таких областях человеческого знания, как [[эпистемология]], [[психология]] и методология систем [[Искусственный интеллект|искусственного интеллекта]]<ref name="epis"/>.

Несмотря на критику, ''Principia Mathematica'' продолжает оставаться одним из самых влиятельных логических трудов в мире. Благодаря этой работе намного бо́льшую популярность получила новая математическая логика. Одна из заслуг Рассела и Уайтхеда здесь в том, что им удалось, как никому ранее, показать мощность логики предикатов. Они также показали, насколько богатой и универсальной может быть идея формальных систем, и открыли тем самым новое направление исследований — [[Металогика|металогику]]. ''Principia Mathematica'' оказала большое влияние на дальнейшее развитие логики и положила начало многим [[Металогика|металогическим]] исследованиям. Так, в 1920 году [[Пост, Эмиль Леон|Э. Пост]] доказал дедуктивную и функциональную полноту [[Логика высказываний|логики высказываний]], а в 1930 году [[Гёдель, Курт|К. Гёдель]] доказал дедуктивную полноту [[логика первого порядка|логики предикатов]]<ref name="epis"/>. Концепции книги повлияли также на работы таких логиков и математиков, как [[Тьюринг, Алан|А. Тьюринг]] и [[Чёрч, Алонзо|А. Чёрч]]<ref name="sep"/>.

Помимо этого, Рассел и Уайтхед показали чёткую связь между логицизмом и двумя основными направлениями философии: [[Метафизика|метафизикой]] и [[Эпистемология|эпистемологией]]. ''Principia Mathematica'' подстегнула развитие исследований в обоих направлениях и продолжает оказывать влияние на математику и логику<ref name="samar"/>.

Хотя попытки возродить логицизм Рассела и Уайтхеда продолжаются по сей день, многие авторы считают, что формальные системы ''Principia Mathematica'' слишком слабы или запутаны для того, чтобы реально обосновать возможность логицизма<ref name="sep"/>.

== Переводы на другие языки ==
Перевод I тома книги на русский вышел в 2004 году, II тома — в 2005 году, III тома — в 2006 году. Перевод был выполнен под редакцией Г. П. Ярового и Ю. Н. Радаева<ref name="samar"/>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Клайн М. |заглавие=Математика. Утрата определённости |ref=Клайн М.
  |издательство=Мир |место=М. |год=1984 |страниц=446}}
* {{статья|автор=B. Russell.|заглавие=I.—Whitehead and Principia Mathematica
  |ссылка=http://mind.oxfordjournals.org/content/LVII/226/137.extract|издание=Mind
  |год=1948|volume=LVII|номер=226|pages=137—138|doi=10.1093/mind/LVII.226.137}}

=== Издание на русском языке ===
* {{книга |автор=Уайтхед А., Рассел Б.
 |заглавие=Основания математики: В 3 т
 |ответственный=Под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева
 |издательство=Самарский университет
 |место=Самара
 |год=2005—2006
 |isbn=5-86465-359-4
}}

== Ссылки ==
* {{статья|автор=Linsky, Bernard.|заглавие=The Notation in Principia Mathematica|ссылка=http://plato.stanford.edu/entries/pm-notation/|издание=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|год=2010|язык=en}}
* {{cite web|url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAT3201.0003.001|title=Principia Mathematica|author=Alfred North Whitehead, Bertrand Russell|publisher=Cambridge University Press|lang=en|accessdate=2013-08-09}}

{{Внешние ссылки}}
{{Теория множеств}}
[[Категория:Математическая литература]]
[[Категория:Философия математики]]
[[Категория:Сочинения по логике]]
[[Категория:Сочинения Бертрана Рассела]]
[[Категория:Основания математики]]

{{Добротная статья|Математика|Научная литература}}
{{Навигационная таблица/Портал/Русская Википедия}}
[[Категория:Русская Википедия]]
[[Категория:Википедия]]
[[Категория:Статья из Википедии]]
[[Категория:Статья из Русской Википедии]]