Русская Википедия:Principia Mathematica
Шаблон:О Шаблон:Другое значение Шаблон:Заголовок курсивом Шаблон:Издание Principia Mathematica — трёхтомный труд по логике и философии математики Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, выпущенный в 1910, 1912 и 1913 годах. Монография написана на английском языке, но название дано на латыни. Название переводилось на русский как «Принципы математики», «Начала математики» и «Основания математики».
Наряду с «Органоном» (Шаблон:Lang-grc) Аристотеля и работой «Основные законы арифметики» (Шаблон:Lang-de) Готлоба Фреге является одним из самых влиятельных трудов по логике в истории[1]. Объём Principia Mathematica в общей сложности составляет около 2000 страниц[2].
В своей работе Рассел и Уайтхед стремились показать, что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, то есть обосновать логицизм. Для этого была введена теория типов, в рамках которой было невозможно сформулировать понятие «множество всех множеств», которое приводило к парадоксу Рассела. Помимо этого, были введены две аксиомы: аксиома бесконечности (существует бесконечное число объектов) и аксиома сводимости (для каждого множества существует равнообъёмное ему множество первого порядка)[3].
История
Центральная идея Principia Mathematica о сводимости математики к логике (логицизм) была неявно высказана ещё Лейбницем в XVII веке, позже в явном виде её высказал Фреге, который разработал логико-математический аппарат, необходимый для технического обоснования логицизма[1].
В 1898 Уайтхед издаёт свою работу по логицизму A Treatise on Universal Algebra, а в 1903 Рассел пишет книгу Шаблон:Iw. Поскольку оба математика пришли к сходным выводам, а темы их работ перекликались, вскоре они начали сотрудничество над совместной работой, которая получила название Principia Mathematica. Выбор названия был связан не столько с Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Ньютона, сколько с работой Мура Principia Ethica[4][5].
На Рассела ложилась философская часть работы, технические же моменты писались совместно. Как писал Рассел:
Шаблон:Начало цитаты Что касается математических проблем, Уайтхед разработал бо́льшую часть системы обозначений, за исключением того, что уже было у Пеано; я работал с рядами, а Уайтхед сделал почти всё остальное. Но это относится только к первым черновикам. Каждая часть переделывалась 3 раза. Один из нас делал первый черновик текста и посылал второму, который обычно его существенно видоизменял и отправлял назад. Затем автор первоначального черновика приводил текст в окончательный вид. Едва ли существует хоть строчка во всех трёх томах, которая не является результатом совместной работы. Шаблон:Oq Шаблон:Конец цитаты
Математики планировали закончить работу за год, однако спустя почти десять лет работа ещё не была завершена. К тому же издательство Cambridge University Press решило, что издание этой работы принесет убыток в 600 фунтов стерлингов, 300 из которых издательство было готово взять на себя, 200 пожертвовало Лондонское королевское общество, и по 50 выплатили издательству Рассел и Уайтхед из личных средств. В настоящий момент не существует ни одной академической библиотеки, где бы не было издания Principia Mathematica[1].
Содержание
Principia Mathematica состоит из 3 томов, которые разделены на 6 частей.
I том вышел в свет в 1910 году и содержал базовые аксиомы и правила вывода аксиом более высокого порядка, элементарные операции над множествами и бинарные отношения, определение единицы и двойки как чисел. В I томе рассматривались теорема Цермело, аксиома выбора и теорема Кантора — Бернштейна.
II том был выпущен в 1912 году. В нём рассматривались кардинальные числа и арифметические операции над ними, конечные числа, арифметика бинарных отношений, линейно упорядоченные множества, упорядоченные множества Дедекинда, предельные точки и непрерывные функции.
III том был выпущен в 1913 году. В нём рассматривались вполне упорядоченные множества, полностью упорядоченные множества, множества целых, рациональных, вещественных чисел и их измерение. Также был затронут вопрос эквивалентности аксиомы выбора и принципа вполне упорядочения.
IV том планировался к выходу, но так и не был написан. Он должен был быть посвящён геометрии[1][6].
Критика и влияние
Книга Principia Mathematica стала большим достижением в двух отношениях: она существенно продвинула развитие математической логики и показала, как можно избавиться от всех известных парадоксов теории множеств. Однако авторы её претендовали на большее — выяснение сущности математического знания. В этом отношении их позиция нашла мало поддержки. Среди сторонников логицизма — Алонзо Чёрч и Уиллард Ван Орман Куайн, в лагере противников — такие крупные математики, как А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Г. Вейль и многие другие.
Критики атаковали как идеологию логицизма, так и его конкретное воплощение в книге. Они указывали, что непротиворечивость конструкции Рассела — Уайтхеда не доказана, и нет гарантии, что не появятся новые парадоксы. Особое неприятие вызвали предложенные авторами две новые аксиомы: аксиома бесконечности и аксиома сводимости. Многие математики утверждали, что эти аксиомы не являются чисто логическимиШаблон:Sfn. Так, по мнению критиков, аксиома бесконечности является эмпирической, но не логической. А аксиома сводимости лишена интуитивной очевидности и была введена ad hoc для обхода неудобных эффектов теории типов. Таким образом, вопрос о научной ценности логицизма остался открытым[1].
Когда в работу по доказательству непротиворечивости формальных систем Principia Mathematica включился К. Гёдель, наступил переломный момент. В 1931 году Гёдель доказал невозможность обоснования непротиворечивости формальной арифметики с помощью её собственных средств, а предположение о её непротиворечивости означает невозможность доказательства всех перво-порядковых аксиом о натуральных числах (см. теорема Гёделя о неполноте). В научном сообществе эта теорема Гёделя была воспринята как невозможность полномасштабной реализации как логицизма, так и формализма. Результаты работы Гёделя по формальным системам Principia Mathematica затронули не только логику, математику и философию, но также и вопросы, лежащие в таких областях человеческого знания, как эпистемология, психология и методология систем искусственного интеллекта[3].
Несмотря на критику, Principia Mathematica продолжает оставаться одним из самых влиятельных логических трудов в мире. Благодаря этой работе намного бо́льшую популярность получила новая математическая логика. Одна из заслуг Рассела и Уайтхеда здесь в том, что им удалось, как никому ранее, показать мощность логики предикатов. Они также показали, насколько богатой и универсальной может быть идея формальных систем, и открыли тем самым новое направление исследований — металогику. Principia Mathematica оказала большое влияние на дальнейшее развитие логики и положила начало многим металогическим исследованиям. Так, в 1920 году Э. Пост доказал дедуктивную и функциональную полноту логики высказываний, а в 1930 году К. Гёдель доказал дедуктивную полноту логики предикатов[3]. Концепции книги повлияли также на работы таких логиков и математиков, как А. Тьюринг и А. Чёрч[1].
Помимо этого, Рассел и Уайтхед показали чёткую связь между логицизмом и двумя основными направлениями философии: метафизикой и эпистемологией. Principia Mathematica подстегнула развитие исследований в обоих направлениях и продолжает оказывать влияние на математику и логику[2].
Хотя попытки возродить логицизм Рассела и Уайтхеда продолжаются по сей день, многие авторы считают, что формальные системы Principia Mathematica слишком слабы или запутаны для того, чтобы реально обосновать возможность логицизма[1].
Переводы на другие языки
Перевод I тома книги на русский вышел в 2004 году, II тома — в 2005 году, III тома — в 2006 году. Перевод был выполнен под редакцией Г. П. Ярового и Ю. Н. Радаева[2].
Примечания
Литература
Издание на русском языке
Ссылки
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Теория множеств
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Математическая литература
- Философия математики
- Сочинения по логике
- Сочинения Бертрана Рассела
- Основания математики
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии
