Русская Википедия:Теорема Ферма — Эйлера
Теорема Ферма — Эйлера (другие названия — рождественская теорема Ферма, теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов) гласит[1]:
Шаблон:Рамка Любое простое число <math>p=4n+1</math>, где <math>n</math> — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Иначе говоря,
где <math>p</math> — простое число. Шаблон:Конец рамки
В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.
Примеры:
- <math>5 = 1^2 + 2^2</math>, <math>13 = 2^2 + 3^2</math>, <math>17 = 1^2 + 4^2</math>, <math>29 = 2^2 + 5^2</math>, <math>37 = 1^2 + 6^2</math>, <math>41 = 4^2 + 5^2</math>.
Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:
Шаблон:Рамка Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида <math>4k+3</math> не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени. Шаблон:Конец рамки
Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.
История
Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.
Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения[2].
Доказательства
Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром[3]:
Инволюция конечного множества <math>S=\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3:x^2+4yz=p\}</math>, определённая как
<math>(x,y,z) \rightarrow \begin{cases} (x+2z,z,y-x-z), & x<y-z \\ (2y-x,y,x-y+z), & y-z<x<2y \\ (x-2y,x-y+z,y), & x>2y \end{cases}</math>
имеет ровно одну неподвижную точку (которая равна <math>(1,1,k)</math>, если <math>p=4k+1</math>, и единственность которой следует из простоты <math>p</math>), так что <math>S</math> содержит нечётное количество элементов, а значит, инволюция <math>(x,y,z) \rightarrow (x,z,y)</math> также имеет неподвижную точку.
Также существует доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ[4].
Литература
- Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
- Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
- Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.
Примечания
- ↑ Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа Шаблон:Wayback // «Квант» Шаблон:Wayback. — № 3 (1999), стр. 14—22.
- ↑ A One-Sentence Proof That Every Prime 4k+1 Is a Sum of Two Squares
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web