Русская Википедия:Теорема Ферма — Эйлера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Ферма — Эйлера (другие названия — рождественская теорема Ферма, теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов) гласит:

Шаблон:Рамка Любое простое число <math>p=4n+1</math>, где <math>n</math> — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Иначе говоря,

<math>p\in \mathbb{P} , p=4n+1, n \in \mathbb{N} \Rightarrow p=x^2+y^2,</math>

где <math>p</math> — простое число. Шаблон:Конец рамки

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

<math>5 = 1^2 + 2^2</math>, <math>13 = 2^2 + 3^2</math>, <math>17 = 1^2 + 4^2</math>, <math>29 = 2^2 + 5^2</math>, <math>37 = 1^2 + 6^2</math>, <math>41 = 4^2 + 5^2</math>.

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Шаблон:Рамка Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида <math>4k+3</math> не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени. Шаблон:Конец рамки

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения.

Доказательства

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром:

Инволюция конечного множества <math>S=\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3:x^2+4yz=p\}</math>, определённая как

<math>(x,y,z) \rightarrow \begin{cases} (x+2z,z,y-x-z), & x<y-z \\ (2y-x,y,x-y+z), & y-z<x<2y \\ (x-2y,x-y+z,y), & x>2y \end{cases}</math>

имеет ровно одну неподвижную точку (которая равна <math>(1,1,k)</math>, если <math>p=4k+1</math>, и единственность которой следует из простоты <math>p</math>), так что <math>S</math> содержит нечётное количество элементов, а значит, инволюция <math>(x,y,z) \rightarrow (x,z,y)</math> также имеет неподвижную точку.

Также существует доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ.

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
• Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.