Электроника:Переменный ток/Комплексные числа/Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел: различия между версиями

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Нет описания правки
Нет описания правки
 
(не показано 5 промежуточных версий 1 участника)
Строка 5: Строка 5:
=Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел<ref>[https://www.allaboutcircuits.com/textbook/alternating-current/chpt-2/polar-rectangular-notation/ www.allaboutcircuits.com - Polar Form and Rectangular Form Notation for Complex Numbers ]</ref>=
=Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел<ref>[https://www.allaboutcircuits.com/textbook/alternating-current/chpt-2/polar-rectangular-notation/ www.allaboutcircuits.com - Polar Form and Rectangular Form Notation for Complex Numbers ]</ref>=


Чтобы при работе с комплексными числами всякий раз не рисовать векторы, нам понадобятся какие-то стандартные математические обозначения. Существует две основные формы записи комплексных чисел: полярная и алгебраическая (в англоязычной литературе – прямоугольная).
Чтобы при работе с [[комплексными числами]] всякий раз не рисовать [[вектор]]ы, нам понадобятся какие-то стандартные математические обозначения. Существует две основные формы записи [[комплексных чисел]]: полярная и алгебраическая (в англоязычной литературе – прямоугольная).


==Полярная форма комплексного числа==
==Полярная форма комплексного числа==


Полярная форма – это когда для комплексного числа указывается длина вектора (абсолютное значение, модуль) и угол вектора (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом: ∠).
[[Полярная форма]] – это когда для [[комплексного числа]] указывается длина [[вектор]]а (абсолютное значение, модуль) и [[угол вектора]] (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом: ∠).


Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера векторов и их полярные обозначения:
Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из [[Нью-Йорк]]а в [[Сан-Диего]] будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера [[вектор]]ов и их [[полярные обозначения]]:


[[File:Векторы с полярными обозначениями_1_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 1. Векторы с полярными обозначениями.]]
[[File:Векторы с полярными обозначениями_1_08062021_1428.png|frame|center|'''Рис. 1.''' Векторы с полярными обозначениями.|alt=Сложение сложных векторов]]


Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей переменного тока определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для векторов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их векторные углы можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°.
Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей [[переменного тока]] определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для [[вектор]]ов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их [[векторные углы]] можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°.


Например, для вектора под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из векторов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°.
Например, для [[вектор]]а под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из [[вектор]]ов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°.


[[File:Векторный компас_2_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 2. Векторный компас.]]
[[File:Векторный компас_2_08062021_1428.png|frame|center|'''Рис. 2.''' Векторный компас.|alt=Рис. 2. Векторный компас.]]


== Алгебраическая форма комплексного числа ==
== Алгебраическая форма комплексного числа ==


С другой стороны, алгебраическая форма – это когда комплексное число обозначается соответствующими горизонтальными и вертикальными компонентами. По сути, угловой вектор считается гипотенузой прямоугольного треугольника, описываемого длинами обоих катетов.
С другой стороны, [[алгебраическая форма]] – это когда [[комплексное число]] обозначается соответствующими горизонтальными и вертикальными компонентами. По сути, угловой вектор считается [[гипотенузой]] прямоугольного треугольника, описываемого длинами обоих [[катет]]ов.


Вместо того, чтобы описывать длину и направление вектора посредством обозначения его величины и угла, вектор описывается в терминах «насколько влево/вправо» и «насколько вверх/вниз».  
Вместо того, чтобы описывать длину и направление [[вектор]]а посредством обозначения его величины и угла, вектор описывается в терминах «насколько влево/вправо» и «насколько вверх/вниз».  


Эти двумерные фигуры (имеющие горизонтальное и вертикальное измерение) обозначаются двумя числами. Чтобы различать горизонтальные и вертикальные измерения друг от друга, перед вертикальными ставится префикс в нижнем регистре «i» (так делают математики) или «j» (так делают электронщики).
Эти [[двумерные фигуры]] (имеющие горизонтальное и вертикальное измерение) обозначаются двумя числами. Чтобы различать горизонтальные и вертикальные измерения друг от друга, перед вертикальными ставится префикс в нижнем регистре «i» (так делают [[математики]]) или «j» (так делают [[электронщики]]).


Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не мгновенный ток, также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую вектора от горизонтальной. Для целостного комплексного числа горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:  
Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не [[мгновенный ток]], также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую [[вектор]]а от горизонтальной. Для целостного [[комплексного числа]] горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:  


[[File:Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону»_3_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».]]
[[File:Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону»_3_08062021_1428.png|frame|center|'''Рис. 3.''' Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».|alt=Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».]]


В алгебраической форме длина и направление вектора обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая.
В [[алгебраической форме]] длина и направление [[вектор]]а обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая.


Горизонтальная составляющая называется вещественной составляющей, поскольку это измерение совместимо с обычными скалярными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как мнимая составляющая, поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел.  
Горизонтальная составляющая называется [[вещественной составляющей]], поскольку это измерение совместимо с обычными [[скаляр]]ными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как [[мнимая составляющая]], поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел.  


[[File:Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси_4_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.]]
[[File:Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси_4_08062021_1428.png|frame|center|'''Рис. 4.''' Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.|alt=Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.]]


«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной».
«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной».


Поскольку векторы являются двухмерными объектами, чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу:
{{ads2}}


[[File:Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми_5_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.]]
Поскольку [[вектор]]ы являются [[двухмерными объектами]], чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу:
 
[[File:Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми_5_08062021_1429.png|frame|center|'''Рис. 5.''' Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.|alt=Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.]]


== Преобразование полярной формы записи в алгебраическую ==
== Преобразование полярной формы записи в алгебраическую ==


Для любого комплексного числа допустим любой метод записи. Главная причина, по которой у нас не одна форма записи, а две – простота ручных расчётов. Дело в том, что алгебраическая форма удобна для сложения и вычитания комплексных чисел, а полярная – для умножения и деления.
Для любого [[комплексного числа]] допустим любой метод записи. Главная причина, по которой у нас не одна форма записи, а две – простота ручных расчётов. Дело в том, что [[алгебраическая форма]] удобна для сложения и вычитания [[комплексных чисел]], а полярная – для умножения и деления.


Чтобы переходить из одной формы записи к другой – хватит элементарных знаний по тригонометрии. Чтобы преобразовать полярную в алгебраическую, найдите вещественную составляющую, умножив полярную величину на косинус угла, и мнимую составляющую, умножив полярную величину на синус угла.
Чтобы переходить из одной формы записи к другой – хватит элементарных знаний по [[тригонометрии]]. Чтобы преобразовать полярную в алгебраическую, найдите [[вещественную составляющую]], умножив [[полярную величину]] на [[косинус угла]], и мнимую составляющую, умножив [[полярную величину]] на [[синус угла]].


Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде катетов прямоугольного треугольника. Гипотенуза – это сам вектор (полярная форма записи – это не что иное как длина самого вектора и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его катеты) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты:
Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде [[катет]]ов прямоугольного треугольника. [[Гипотенуза]] – это сам [[вектор]] (полярная форма записи – это не что иное как длина самого [[вектор]]а и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его [[катет]]ы) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты:


[[File:Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие_6_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.]]
[[File:Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие_6_08062021_1429.png|frame|center|'''Рис. 6.''' Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.|alt=Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.]]




[[File:Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах_7_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.]]
[[File:Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах_7_08062021_1429.png|frame|center|'''Рис. 7.''' Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.|alt=Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.]]


== Преобразование из алгебраической формы записи в полярную ==
== Преобразование из алгебраической формы записи в полярную ==


Чтобы преобразовать алгебраическую форму в полярную, найдите полярную величину с помощью теоремы Пифагора (полярная величина – это гипотенуза прямоугольного треугольника, а вещественная и мнимая составляющие – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. катеты прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на вещественную составляющую:
Чтобы преобразовать [[алгебраическую форму]] в полярную, найдите [[полярную величину]] с помощью [[теоремы Пифагора]] ([[полярная величина]] – это [[гипотенуза прямоугольного треугольника]], а вещественная и [[мнимая составляющие]] – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. [[катет]]ы прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на [[вещественную составляющую]]:


[[File:Преобразование прямоугольной формы записи в полярную_8_08062021_1430.png|frame|center|Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.]]
[[File:Преобразование прямоугольной формы записи в полярную_8_08062021_1430.png|frame|center|'''Рис. 8.''' Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.|alt=Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.]]


== Итог ==
== Итог ==


* Полярная запись выражает комплексное число с точки зрения длины его вектора и углового направления от начальной точки. Пример из жизни: преодолеть 45 миль ∠ 203 ° (т.е. проехать это расстояние в направлении на запад-юго-запад).
* Полярная запись выражает [[комплексное число]] с точки зрения длины его [[вектор]]а и углового направления от начальной точки. Пример из жизни: преодолеть 45 миль ∠ 203 ° (т.е. проехать это расстояние в направлении на запад-юго-запад).
* Алгебраическая запись выражает комплексное число с точки зрения его горизонтального и вертикального смещения. Пример (эквивалентный примеру из предыдущего пункта): проехать сначала 41 милю на запад, затем повернуть и проехать ещё 18 миль на юг.
* [[Алгебраическая запись]] выражает [[комплексное число]] с точки зрения его горизонтального и вертикального смещения. Пример (эквивалентный примеру из предыдущего пункта): проехать сначала 41 милю на запад, затем повернуть и проехать ещё 18 миль на юг.
* В алгебраической записи первая величина – это «вещественная» составляющая (горизонтальное смещение вектора), а вторая величина - «мнимая» составляющая (вертикальное смещение вектора). Мнимой составляющей предшествует строчная буква «j», которую иногда называют j-оператором.
* В [[алгебраической записи]] первая величина – это «вещественная» составляющая (горизонтальное смещение [[вектор]]а), а вторая величина - «мнимая» составляющая (вертикальное смещение [[вектор]]а). [[Мнимой составляющей]] предшествует строчная буква «j», которую иногда называют j-оператором.
* Как полярную, так и алгебраическую формы записи комплексного числа можно графически представить в виде прямоугольного треугольника. Гипотенуза представляет сам вектор (если ещё точнее, интерпретирует полярную форму записи: длина гипотенузы = величина вектора; угол относительно горизонтальной стороны = векторный угол). Что касается катетов, то горизонтальная сторона треугольника – это алгебраическая «вещественная» составляющая, а вертикальная сторона – это алгебраическая «мнимая» составляющая.
* Как полярную, так и [[алгебраическую формы]] записи [[комплексного числа]] можно графически представить в виде [[прямоугольного треугольника]]. [[Гипотенуза]] представляет сам [[вектор]] (если ещё точнее, интерпретирует полярную форму записи: длина [[гипотенузы]] = величина [[вектор]]а; угол относительно горизонтальной стороны = векторный угол). Что касается [[катет]]ов, то горизонтальная сторона треугольника – это алгебраическая «вещественная» составляющая, а вертикальная сторона – это алгебраическая «мнимая» составляющая.


=См.также=
=См.также=


{{ads}}
 


=Внешние ссылки=
=Внешние ссылки=
Строка 79: Строка 81:
<references />
<references />


{{Навигационная таблица/Электроника}}
{{Навигационная таблица/Портал/Электроника}}
{{Навигационная таблица/Телепорт}}
 
[[Категория:Переменный ток]]
[[Категория:Комплексные числа]]
[[Категория:Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел]]
[[Категория:Теория]]
[[Категория:Теория по электронике]]

Текущая версия от 21:40, 22 мая 2023

Перевод: Макаров В. (valemak)
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел[1]

Чтобы при работе с комплексными числами всякий раз не рисовать векторы, нам понадобятся какие-то стандартные математические обозначения. Существует две основные формы записи комплексных чисел: полярная и алгебраическая (в англоязычной литературе – прямоугольная).

Полярная форма комплексного числа

Полярная форма – это когда для комплексного числа указывается длина вектора (абсолютное значение, модуль) и угол вектора (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом: ∠).

Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера векторов и их полярные обозначения:

Сложение сложных векторов
Рис. 1. Векторы с полярными обозначениями.

Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей переменного тока определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для векторов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их векторные углы можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°.

Например, для вектора под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из векторов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°.

Рис. 2. Векторный компас.
Рис. 2. Векторный компас.

Алгебраическая форма комплексного числа

С другой стороны, алгебраическая форма – это когда комплексное число обозначается соответствующими горизонтальными и вертикальными компонентами. По сути, угловой вектор считается гипотенузой прямоугольного треугольника, описываемого длинами обоих катетов.

Вместо того, чтобы описывать длину и направление вектора посредством обозначения его величины и угла, вектор описывается в терминах «насколько влево/вправо» и «насколько вверх/вниз».

Эти двумерные фигуры (имеющие горизонтальное и вертикальное измерение) обозначаются двумя числами. Чтобы различать горизонтальные и вертикальные измерения друг от друга, перед вертикальными ставится префикс в нижнем регистре «i» (так делают математики) или «j» (так делают электронщики).

Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не мгновенный ток, также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую вектора от горизонтальной. Для целостного комплексного числа горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:

Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».
Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».

В алгебраической форме длина и направление вектора обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая.

Горизонтальная составляющая называется вещественной составляющей, поскольку это измерение совместимо с обычными скалярными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как мнимая составляющая, поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел.

Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.
Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.

«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной».

Поскольку векторы являются двухмерными объектами, чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу:

Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.
Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.

Преобразование полярной формы записи в алгебраическую

Для любого комплексного числа допустим любой метод записи. Главная причина, по которой у нас не одна форма записи, а две – простота ручных расчётов. Дело в том, что алгебраическая форма удобна для сложения и вычитания комплексных чисел, а полярная – для умножения и деления.

Чтобы переходить из одной формы записи к другой – хватит элементарных знаний по тригонометрии. Чтобы преобразовать полярную в алгебраическую, найдите вещественную составляющую, умножив полярную величину на косинус угла, и мнимую составляющую, умножив полярную величину на синус угла.

Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде катетов прямоугольного треугольника. Гипотенуза – это сам вектор (полярная форма записи – это не что иное как длина самого вектора и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его катеты) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты:

Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.
Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.


Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.
Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.

Преобразование из алгебраической формы записи в полярную

Чтобы преобразовать алгебраическую форму в полярную, найдите полярную величину с помощью теоремы Пифагора (полярная величина – это гипотенуза прямоугольного треугольника, а вещественная и мнимая составляющие – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. катеты прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на вещественную составляющую:

Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.
Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.

Итог

  • Полярная запись выражает комплексное число с точки зрения длины его вектора и углового направления от начальной точки. Пример из жизни: преодолеть 45 миль ∠ 203 ° (т.е. проехать это расстояние в направлении на запад-юго-запад).
  • Алгебраическая запись выражает комплексное число с точки зрения его горизонтального и вертикального смещения. Пример (эквивалентный примеру из предыдущего пункта): проехать сначала 41 милю на запад, затем повернуть и проехать ещё 18 миль на юг.
  • В алгебраической записи первая величина – это «вещественная» составляющая (горизонтальное смещение вектора), а вторая величина - «мнимая» составляющая (вертикальное смещение вектора). Мнимой составляющей предшествует строчная буква «j», которую иногда называют j-оператором.
  • Как полярную, так и алгебраическую формы записи комплексного числа можно графически представить в виде прямоугольного треугольника. Гипотенуза представляет сам вектор (если ещё точнее, интерпретирует полярную форму записи: длина гипотенузы = величина вектора; угол относительно горизонтальной стороны = векторный угол). Что касается катетов, то горизонтальная сторона треугольника – это алгебраическая «вещественная» составляющая, а вертикальная сторона – это алгебраическая «мнимая» составляющая.

См.также

Внешние ссылки

  1. ↑ www.allaboutcircuits.com - Polar Form and Rectangular Form Notation for Complex Numbers
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное
Теория по электронике
Постоянный ток
Основные концепты электричества • Статическое электричество • Проводники, диэлектрики и поток электронов • Что такое электрические цепи • Напряжение и электроток • Сопротивление • Напряжение и электроток в реальной цепи • Условный ток и поток электронов
Закон Ома • Закон Ома – Как напряжение, сила тока и сопротивление связаны друг с другом • Аналогия для закона Ома • Мощность в электрических цепях • Расчёт электрической мощности • Резисторы • Нелинейная проводимость • Построение цепи • Полярность перепада напряжения • Компьютерная симуляция электрических цепей
Правила электробезопасности • Важность правил электробезопасности • Воздействие электричества на психологическое состояние • Путь, который ток проходит перед ударом • Закон Ома (снова!) • Техника безопасности • Первая медицинская помощь при ударе током • Распространённые источники опасности • Проектирование электроцепей с учётом требований безопасности • Безопасное использование приборов для измерения электрических показателей • Данные о влиянии удара током на тело человека
Экспоненциальная запись и метрические приставки • Экспоненциальная запись • Арифметические операции для экспоненциальной записи • Метрические обозначения • Преобразование метрических приставок • Используем ручной калькулятор • Экспоненциальная форма в программе SPICE
Последовательные и параллельные электрические цепи • Что такое «последовательные» и «параллельные» электрические цепи • Простая последовательная цепь • Простая параллельная цепь • Электропроводность • Рассчитываем мощность • Правильно используем закон Ома • Анализ отказов компонентов цепи • Строим простые резистивные цепи
Схемы с делителями напряжения и правила Кирхгофа • Схемы с делителем напряжения • Правило напряжений Кирхгофа (ПНК) • Цепи – делители тока и формула делителя тока • Правило Кирхгофа для силы тока (ПКТ)
Комбинированные последовательно-параллельные схемы • Что такое последовательно-параллельная цепь • Методы анализа последовательно-параллельных резисторных цепей • Перерисовываем избыточно усложнённые схемы • Анализ отказов компонентов (продолжение) • Построение простых резисторных цепей
Измерения в электрических цепях постоянного тока • Что такое измеритель? • Как устроен вольтметр • Как вольтметр влияет на измеряемую цепь • Как устроен амперметр • Как амперметр влияет на измеряемую цепь • Как устроен омметр • Высоковольтный омметр • Мультиметры • Кельвиновское 4-проводное измерение сопротивления • Мостовые схемы • Как устроен ваттметр • Как самостоятельно сделать ручной калибратор
Сигналы электрического оборудования • Аналоговые и цифровые сигналы • Системы сигналов напряжения • Системы сигналов силы тока • Тахогенераторы • Теромопары • Измерения pH • Тензодатчики
Анализ сети постоянного тока • Что такое сетевой анализ? • Метод токов ветвей • Аналитический метод контурных токов • Метод узловых потенциалов • Введение в сетевые теоремы • Теорема Миллмана • Теорема о суперпозиции • Теорема Тевенена • Теорема Нортона • Эквивалентность схем Тевенена и Нортона • И вновь о теореме Миллмана • Теорема о передаче максимальной мощности • Δ-Y и Y-Δ преобразования
Батареи и системы питания • Поведение электронов при химических реакциях • Батарейные конструкции • Рейтинг батарей • Батареи специального назначения • Практические рекомендации при использовании батарей
Физика проводников и диэлектриков • Введение в физику проводников и диэлектриков • Размеры проводов• Допустимые токовые нагрузки на провода • Предохранители • Удельное сопротивление • Температурный коэффициент сопротивления • Сверхпроводимость • Пробивное напряжение диэлектрика
Конденсаторы • Электрическое поле и ёмкость • Конденсаторы и дифференциальное исчисление • Факторы, влияющие на ёмкость конденсатора • Последовательное и параллельное соединение конденсаторов • Практические соображения - Конденсаторы
Магнетизм и электромагнетизм • Постоянные магниты • Электромангетизм • Единицы измерения магнитных величин • Магнитная проницаемость и насыщение • Электромагнитная индукция • Взаимная индукция
Катушки индуктивности • Магнитные поля и индуктивность • Катушки индуктивности и дифференциальное исчисление • Факторы, влияющие на индуктивность • Катушки индуктивности в последовательных и параллельных соединениях • Практические соображения – Катушки индуктивности
Постоянные времени в RC и L/R цепях • Переходные процессы в электрических цепях • Переходные процессы в цепях с конденсатором • Переходные процессы в цепях с катушкой индуктивности • Расчёт напряжения и силы тока • Почему L/R, а не LR? • Комплексные расчёты напряжения и тока • Сложные схемы • Расчёт неизвестного времени
Переменный ток
Основы теории переменного тока • Что такое переменный ток? • Формы волн переменного тока • Измерение величин переменного тока • Расчёт простейшей цепи переменного тока • Фаза переменного тока • Принципы радио
Комплексные числа • Введение в комплексные числа • Векторы и волны переменного тока • Сложение простых векторов • Сложение сложных векторов • Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел • Арифметика комплексных чисел • И ещё по поводу полярности переменного тока • Несколько примеров с цепями переменного тока
Реактанс и импеданс – Индуктивность • Резистор в цепи переменного тока (Индуктивность) • Катушка индуктивности в цепи переменного тока • Последовательные резистивно-индуктивные цепи • Параллельные резистивно-индуктивные цепи • Особенности катушек индуктивности • Что такое «скин-эффект»?
Реактанс и импеданс – Ёмкость • Резистор в цепи переменного тока (Ёмкость) • Конденсатор в цепи переменного тока • Последовательные резистивно-ёмкостные цепи • Параллельные резистивно-ёмкостные цепи • Особенности конденсаторов
Реактанс и импеданс – R/L/C-цепи • Обзор R, X и Z (сопротивление, реактанс и импеданс) • Последовательные R/L/C-цепи • Параллельные R/L/C-цепи • Последовательно-параллельные R/L/C-цепи • Реактивная проводимость и адмиттанс • R/L/C-цепи – что в итоге?
Резонанс • Электрический маятник • Простой параллельный резонанс (колебательный контур) • Простой последовательный резонанс • Применение резонанса • Резонанс в последовательно-параллельных цепях • Добротность и полоса пропускания резонансной цепи
Сигналы переменного тока смешанной частоты • Сигналы переменного тока смешанной частоты - Введение • Прямоугольные волновые сигналы • Другие волновые формы • Подробнее о спектральном анализе • Эффекты в электрических цепях
Фильтры • Что такое фильтр? • Низкочастотные фильтры • Высокочастотные фильтры • Полосовые фильтры • Полосно-заграждающие фильтры • Резонансные фильтры • Подводя итоги по фильтрам
Трансформаторы • Взаимная индуктивность и основные операции • Повышающие и понижающие трансформаторы • Электрическая изоляция • Фазировка • Конфигурации обмотки • Регулировка напряжения • Специальные трансформаторы и приложения • Практические соображения – Трансформаторы
Многофазные цепи переменного тока • Однофазные системы питания • Трёхфазные системы питания • Чередование фаз • Устройство многофазного двигателя • Трёхфазные Y- и дельта-конфигурации • Трёхфазные цепи с трансформатором • Гармоники в многофазных энергосистемах • Гармонические фазовые последовательности
Коэффициент мощности • Мощность в резистивных и реактивных цепях переменного тока • Истинная, реактивная и полная мощность • Расчёт коэффициента мощности • Практическая коррекция коэффициента мощности
Измерение цепей переменного тока • Вольтметры и амперметры переменного тока • Измерение частоты и фазы • Измерение мощности • Измерение качества электроэнергии • Мостовые схемы переменного тока • Измерительные преобразователи переменного тока
Двигатели переменного тока • Введение в двигатели переменного тока • Синхронные двигатели • Синхронный конденсатор • Двигатель с магнитным сопротивлением • Шаговые двигатели • Бесщёточный двигатель постоянного тока • Многофазные асинхронные двигатели Теслы • Асинхронные двигатели с фазным ротором • Однофазные асинхронные двигатели • Прочие специализированные двигатели • Сельсин-двигатели (синхронизированные двигатели) • Коллекторные двигатели переменного тока
Линии передачи • Кабель на 50 Ом? • Электрические цепи и скорость света • Характеристический импеданс • Линии передачи конечной длины • «Длинные» и «короткие» линии передачи • Стоячие волны и резонанс • Преобразование импеданса • Волноводы
Полупроводники
Усилители и активные устройства • От электрики к электронике • Активные и пассивные устройства • Усилители • Коэффициент усиления • Децибелы • Абсолютные дБ-шкалы • Аттенюаторы
Теория твердотельных приборов • Введение в теорию твердотельных устройств • Квантовая физика • Валентность и кристаллическая структура • Зонная теория твёрдых тел • Электроны и «дырки» • P-N-переход • Полупроводниковые диоды • Транзисторы с биполярным переходом • Полевые транзисторы • Полевые транзисторы с изолированным затвором (MOSFET) • Тиристоры • Методы производства полупроводников • Сверхпроводящие устройства • Квантовые устройства • Полупроводниковые приборы в SPICE
Диоды и выпрямители • Диоды и выпрямители – Введение • Проверка диодов мультиметром • Номинальные характеристики диодов • Схемы выпрямителей • Пиковый детектор • Схемы ограничителей напряжения • Схемы фиксаторов уровня • Умножители напряжения (удвоители, утроители, учетверители и т.д.) • Схемы коммутации индуктивных нагрузок • Диодные схемы коммутации • Что такое диод Зенера (стабилитрон)? • Диоды специального назначения • Прочие диодные технологии • Модели диодов в SPICE
Биполярные транзисторы • Транзисторы с биполярным переходом (ТБП) – Введение • Транзистор с биполярным переходом (ТБП) как переключатель • Проверка транзистора с биполярным переходом (ТБП) с помощью мультиметра • Активный режим работы транзистора с биполярным переходом (ТБП) • Усилительный каскад с общим эмиттером • Усилительный каскад с общим коллектором • Усилительный каскад с общей базой • Каскодный усилитель • Методы смещения для транзисторов с биполярным переходом (ТБП) • Расчёт смещения для транзисторов с биполярным переходом (ТБП) • Взаимодействие входа и выхода в транзисторах с биполярным переходом (ТБП) • Обратная связь в транзисторах с биполярным переходом (ТБП) • Импеданс усилителя • Токовые зеркала в транзисторах с биполярным переходом (ТБП) • Параметры и корпуса транзисторов с биполярным переходом (ТБП) • Особенности транзисторов с биполярным переходом (ТБП)
Полевые транзисторы • Полевые транзисторы (JFET) – Введение • Полевой транзистор (JFET) как переключатель • Проверка полевого транзистора (JFET) с помощью мультиметра • Активный режим работы полевого транзистора (JFET)
Полевые транзисторы с изолированным затвором • Полевые транзисторы с изолированным затвором – Введение • Обедняющие полевые транзисторы с изолированным затвором • Биполярные транзисторы с изолированным затвором
Тиристоры • Гистерезис • Газоразрядные лампы • Диод Шокли (динистор) • DIAC (симметричный динистор) • Управляемый кремниевый выпрямитель (SCR-тиристор) • TRIAC (симметричный тринистор, триак) • Оптотиристоры • Однопереходной транзистор • Управляемый кремниевый коммутатор (SCS-тиристор) • Тиристоры с полевым управлением
Операционные усилители • Операционные усилители (ОУ) – Введение • Несимметричные и дифференциальные усилители • «Операционный» усилитель • Отрицательная обратная связь • Делитель напряжения в цепи обратной связи • Аналогия для делителя напряжения в цепи обратной связи • Преобразование сигнала напряжения в сигнал тока • Схемы усреднителя и сумматора • Построение дифференциальных усилителей • Инструментальный (измерительный) усилитель • Схемы дифференциатора и интегратора • Положительная обратная связь • Практические аспекты ОУ • Модели операционных усилителей
Практические аналоговые полупроводниковые схемы • Электростатический разряд • Схемы источников питания • Схемы усилителей • Осцилляторные схемы • Радиосхемы • Вычислительные схемы • Измерительные схемы
Приводы двигателей постоянного тока • Широтно-импульсная модуляция
Электронные лампы • Электронные лампы – Введение • История электронных ламп – с чего всё началось • Триод • Тетрод • Силовой лучевой тетрод • Пентод • Комбинированные электронные лампы • Характеристики электронных ламп • Ионизированные (газовые) электронные лампы • Индикаторные электронные лампы • Микроволновые электронные лампы • Сравниваем электронные лампы и полупроводники
Цифровая электроника
Системы счисления • Числа и способы их выражения • Системы счисления • Сравниваем десятеричные и двоичные числа • Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления • Восьмеричные и шестнадцатеричные числа преобразовываем в десятеричные • Преобразование из десятеричной системы счисления
Двоичная арифметика • Числа и системы счисления • Двоичное сложение • Отрицательные двоичные числа • Двоичное вычитание • Двоичное переполнение • Наборы битов
Логические вентили • Цифровые сигналы и вентили • Вентили «НЕ» • «Буферные» вентили • Вентили с более чем одним входом • Транзисторно-транзисторная логика вентилей «И-НЕ» и «И» • Транзисторно-транзисторная логика вентилей «ИЛИ-НЕ» и «ИЛИ» • Схемы КМОП-вентилей • Специальные выходы в вентилях • Универсальность вентилей «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ» • Уровни напряжения для «высоких» и «низких» логических сигналов • Вентильные DIP корпусы
Переключатели • Типы переключателей • Как устроены контакты переключателей • «Нормальное» состояние контакта и последовательное замыкание/размыкание • «Дребезжание» контактов
Электромеханические реле • Устройство реле • Контакторы • Реле с задержкой времени • Защитные реле • Твердотельные реле
Релейная логика • «Лестничные» диаграммы • Функции цифровой логики • Разрешающие и блокирующие схемы • Схемы управления двигателем • Отказоустойчивость • Программируемые логические контроллеры (ПЛК)
Булева алгебра • Булева алгебра – Введение • Логическая арифметика • Булевы алгебраические тождества • Булевы алгебраические свойства • Логические правила для упрощения • Примеры упрощения схем • Функция «Исключающее ИЛИ»: вентиль XOR • Законы де Моргана • Преобразование таблиц истинности в логические выражения
Карты Карно • Карты Карно – Введение • Диаграммы Венна и множества • Булевы соотношения на диаграммах Венна • Преобразование диаграмм Венна в карты Карно • Карты Карно, таблицы истинности и логические выражения • Упрощение логики с помощью карт Карно • Бо́льшие карты Карно с 4-мя переменными • Минтермы и макстермы в реализациях • Обозначения сумм и произведений • Поля «безразличия» на картах Карно • Бо́льшие карты Карно с 5-ю и 6-ю переменными
Функции комбинационной логики • Функции комбинационной логики – Введение • Неполный сумматор • Полный сумматор • Декодер • Кодер • Демультиплексоры • Мультиплексоры • Совместное использование множественных комбинационных схем
Мультивибраторы • Цифровая логика с обратной связью • SR-защёлка • Вентильная SR-защёлка • D-защёлка • Защёлки с запуском по фронту сигнала: триггеры • JK-триггер • Триггеры с асинхронными входами • Моностабильные мультивибраторы
Схемы последовательностей • Двоичная счётная последовательность • Асинхронные счётчики • Синхронные счётчики • Конечные автоматы
Сдвиговые регистры • Сдвиговые регистры – Введение • Сдвиговые регистры: последовательный вход, последовательный выход (SISO) • Сдвиговые регистры: параллельный вход, последовательный выход (PISO) • Сдвиговые регистры: последовательный вход, параллельный выход (SIPO) • Универсальные сдвиговые регистры: параллельный вход, параллельный выход (PIPO) • Кольцевые счётчики
Цифро-аналоговые и аналого-цифровые преобразования • Цифро-аналоговые (ЦАП) и аналого-цифровые (АЦП) преобразования – Введение • ЦАП R/2nR: цифро-аналоговый преобразователь с двоично-взвешенным входом • ЦАП R/2R: (цифро-аналоговый преобразователь) • Параллельные АЦП • Цифровые ступенчатые АЦП • АЦП с последовательным приближением • Отслеживающий АЦП • Скатные (интегрирующие) АЦП • Дельта-сигма АЦП • Практические аспекты схем АЦП
Цифровая связь • Цифровая связь – Введение • Сети и шины • Потоки данных • Типы электрических сигналов • Оптическая передача данных • Топология сети • Сетевые протоколы • Практические аспекты цифровой связи
Цифровое хранилище (память) • Почему «цифровое»? • Понятия и концепции цифровой памяти • Современная немеханическая память • Устаревшие немеханические технологии памяти • Постоянное запоминающее устройство (ПЗУ) • Память с движущимися частями: «Приводы»
Принципы цифровых вычислений • Двоичный сумматор • Таблицы поиска • Конечные автоматы • Микропроцессоры • Микропроцессорное программирование
Справочные материалы
Полезные уравнения и коэффициенты пересчёта • Уравнения и законы для цепей постоянного тока • Правила последовательных цепей • Правила параллельных цепей • Эквивалентные значения компонентов в последовательных и параллельных цепях • Уравнение ёмкости конденсатора • Уравнение катушки индуктивности • Уравнения постоянной времени • Уравнения цепей переменного тока • Уравнения для децибел • Метрические приставки и преобразования единиц измерения
Цветовая маркировка • Цветовая маркировка резисторов • Цветовая маркировка проводки • Инфографика цветовой маркировки проводки
Таблицы проводников и диэлектриков • Таблица калибров медной проволоки • Таблица допустимых нагрузок для медного провода • Коэффициенты удельного сопротивления • Таблица температурных коэффициентов сопротивления • Критические температуры для сверхпроводников • Диэлектрическая прочность изоляторов
Справочник по алгебре • Основные алгебраические тождества • Основные свойства арифметики • Свойства степеней • Извлечение корней • Важные константы • Логарифмы • Формулы сокращённого умножения • Квадратное уравнение • Прогрессии • Факториалы • Решение систем уравнений: метод подстановки и метод сложения
Справочник по тригонометрии • Тригонометрия прямоугольного треугольника • Тригонометрия произвольного треугольника • Тригонометрические формулы • Гиперболические функции
Справочник по исчислению • Формулы вычисления пределов • Производная числа • Общие производные • Производные показательных функций с основанием e • Производные простых тригонометрических функций • Правила вычисления производных • Первообразная (неопределённый интеграл) • Общие первообразные • Первообразные показательных функций от числа e • Правила вычисления первообразных • Определённые интегралы и основная теорема исчисления • Дифференциальные уравнения
Использование программы SPICE для моделирования электрических схем • Программа моделирования электрических цепей SPICE — Введение • История программы SPICE • Основы программирования в SPICE • Интерфейс командной строки • Компоненты электрических схем • Опции для проведения анализа • Странные особенности программы SPICE • Примеры электрических цепей и списков связей
Устранение неполадок – теория и практика • Вопросы, которые следует задать, прежде чем продолжить • Общие советы по устранению неполадок • Конкретные методы устранения неполадок • Вероятные сбои в проверенных системах • Вероятные сбои в непроверенных системах • Возможные ментальные ловушки
Схематические обозначения элементов цепи • Провода и соединения • Источники питания • Типы резисторов • Типы конденсаторов • Катушки индуктивности • Взаимные катушки индуктивности • Переключатели с ручным управлением • Управляемые процессом переключатели • Переключатели с электрическим приводом (реле) • Соединители • Диоды • Биполярные транзисторы • Переходные транзисторы с полевым эффектом (JFET) • Транзисторы с полевым эффектом с изолированным затвором (IGFET или MOSFET) • Гибридные транзисторы • Тиристоры • Интегральные схемы • Электронные лампы
Периодическая таблица химических элементов • Таблица Менделеева
Эксперименты
Введение • Электроника как точная наука • Обустраиваем домашнюю лабораторию
Основные концепции и испытательное оборудование • Использование вольтметра • Использование омметра • Очень простая схема • Использование амперметра при измерении силы тока • Закон Ома • Нелинейное сопротивление • Рассеяние мощности • Цепь с переключателем • Эксперимент по электромагнетизму • Эксперимент с электромагнитной индукцией
Электрические цепи постоянного тока • Электрические цепи постоянного тока – Введение • Последовательные источники питания • Параллельные источники питания • Делитель напряжения • Делитель тока • Потенциометр как делитель напряжения • Потенциометр как реостат • Прецизионный потенциометр • Ограничение диапазона реостата • Термоэлектричество • Мультиметр своими руками • Чувствительный детектор напряжения • Потенциометрический вольтметр • 4-проводное измерение сопротивления • Простейший компьютер • Картошка-батарейка • Зарядка и разрядка конденсатора • Индикатор скорости изменения
Электрические цепи переменного тока • Электрические цепи переменного тока – Введение • Трансформатор – блок питания • Сборка трансформатора • Переменный индуктор • Чувствительный аудиодетектор • Обнаружение магнитных полей переменного тока • Обнаружение электрических полей переменного тока • Альтернатор – автомобильный генератор • Асинхронный двигатель • Асинхронный двигатель побольше • Фазовый сдвиг • Погашение звука • Музыкальный синтезатор как генератор сигналов • ПК-осциллограф • Анализ волновых сигналов • Колебательный контур • Сигнальная связь
Дискретные полупроводниковые схемы • Дискретные полупроводниковые схемы – Введение • Коммутирующий диод • Полупериодный выпрямитель • Двухполупериодный мостовой выпрямитель • Двухполупериодный выпрямитель с центральным отводом • Цепь «выпрямитель/фильтр» • Регулятор напряжения • Транзистор как переключатель • Датчик статического электричества • Датчик импульсного света • Повторитель напряжения • Усилитель с общим эмиттером • Многокаскадный усилитель • Как построить схему токового зеркала • JFET – регулятор тока • Дифференциальный усилитель • Простой операционный усилитель • Аудио осциллограф • Ламповый аудио усилитель
Аналоговые интегральные схемы • Аналоговые интегральные схемы – Введение • Компаратор напряжения • Прецизионный повторитель напряжения • Неинвертирующий усилитель • Высокоимпедансный вольтметр • Интегратор • Аудио осциллограф на таймерной схеме 555 • Наклонный генератор на таймерной схеме 555 • ШИМ-контроллер мощности • Аудиоусилитель класса B
Цифровые интегральные схемы • Цифровые интегральные схемы – Введение • Основная функция вентилей • SR-защёлка на основе вентилей «ИЛИ-НЕ» • SR-защёлка на основе вентиля «И-НЕ» с входом разрешения • SR-триггер на основе вентиля «И-НЕ» • Светодиодный секвенсор • Простейший кодовый замок • 3-битный двоичный счётчик • 7-сегментный дисплей
Таймерные схемы 555 • Интегральный таймер 555 • Триггер Шмитта на интегральном таймере 555 • Гистерезисный осциллограф на интегральном таймере 555 • Моностабильный мультивибратор на интегральном таймере 555 • Минимальное количество комплектующих для КМОП-схемы 555 проблескового прибора длительного действия на красных светодиодах • КМОП-схема 555 проблескового прибора длительного действия на синих светодиодах • КМОП-схема 555 проблескового прибора длительного действия на светодиодах обратного хода • КМОП-схема 555 проблескового прибора длительного действия на красных светодиодах

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Электроника:Переменный_ток/Комплексные_числа/Полярная_и_алгебраическая_запись_комплексных_чисел&oldid=7737394