Электроника:Постоянный ток/Комбинированные последовательно-параллельные схемы/Методы анализа последовательно-параллельных резисторных цепей

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Методы анализа последовательно-параллельных резисторных цепей

Рекомендации по анализу комбинированных последовательно-параллельных цепей

Цель анализа последовательно-параллельной резисторной схемы – определить все напряжения, силы тока и рассеиваемую мощность в цепи. Общая стратегия достижения этой цели заключается в следующем:

• Шаг 1. Оцените, какие группы резисторов в цепи объединены вместе в простое последовательное или простое параллельное соединение.
• Шаг 2. Перерисуйте схему заново, заменив каждую комбинацию последовательных или параллельных резисторов, определённых на шаге 1, одним резистором эквивалентного значения. При использовании таблицы добавляйте новый столбец для каждого эквивалентного сопротивления.
• Шаг 3. Повторяйте шаги 1 и 2, пока вся схема не будет уменьшена до одного эквивалентного резистора.
• Шаг 4. Вычислите общую силу тока из общего напряжения и общего сопротивления (I = E/R).
• Шаг 5. Взяв значения общего напряжения и общей силы тока, вернитесь к последним шагам в процессе сокращения цепи и используйте в таблице эти значения, где это допустимо.
• Шаг 6. Зная сопротивления эквивалентных резисторов (вычисленных на шагах 2-3) и значения полного напряжения или общей силы тока (вычисленных на шагах 4-5) используйте закон Ома для вычисления неизвестных значений (напряжения или сил тока) (E = IR или I = E/R).
• Шаг 7. Повторяйте шаги 5 и 6, пока все значения напряжения и силы тока не будут известны в исходной конфигурации цепи. По сути, вы будете шаг за шагом всё ближе переходить от упрощенной версии схемы (созданной на шагах 2-3) к её исходной сложной форме, вводя значения напряжения и тока, где это необходимо, до тех пор, пока не будут известны все значения напряжения и силы тока.
• Шаг 8. Рассчитайте рассеиваемую мощность по известным значениям напряжения, силы тока и/или сопротивления.

Пример анализа комбинированной последовательно-параллельной схемы

Описание данного процесса может кого-то привести в замешательство, однако на примере можно убедиться, что не всё так страшно.

Рис. 1. Пример относительно простой комбинированной последовательно-параллельной схемы.

Рис. 2. Перенесём известные значения для элементов цепи в таблицу.

Расчёт параллельных сопротивлений

В приведённом выше примере схемы резисторы R₁ и R₂ соединены простым параллельным соединением, как и резисторы R₃ и R₄. После того как данные пары резисторов были идентифицированы как пары параллельных резисторов – эти участки необходимо преобразовать в эквивалентные одиночные резисторы и перерисовать схему:

Рис. 3. Расчёт пар параллельных сопротивлений.

Двойной слеш (//) обозначает «параллельность», чтобы показать, что эквивалентные значения резисторов рассчитаны с помощью формулы 1/(1/R). Резистор с сопротивлением в 71,429 Ом в верхней части схемы эквивалентен паре резисторов R₁ и R₂, которые параллельны относительно друг друга. Резистор с сопротивлением 127,27 Ом внизу эквивалентен паре резисторов R₃ и R₄, которые также параллельны относительно друг друга.

Нашу таблицу можно расширить, включив эти эквивалентные резисторы в виде отдельных столбцов:

Рис. 4. Добавляем новые столбцы для эквивалентных резисторов.

Теперь очевидно, что схема уменьшена до простой последовательной конфигурации только с двумя (эквивалентными) сопротивлениями. Последний шаг в упрощении – сложение этих двух сопротивлений, чтобы получить общее сопротивление цепи. Когда мы складываем эти два эквивалентных сопротивления, мы получаем сопротивление 198,70 Ом. Мы можем перерисовать схему, в которой только одно эквивалентное сопротивление. Теперь можно добавить значение общего сопротивления в крайний правый столбец нашей таблицы. Обратите внимание, что столбец «Итого» переименован (R₁//R₂—R₃//R₄), чтобы показать, как он электрически связан с другими столбцами. Символ «—» здесь используется для обозначения типа соединения «последовательно», так же как символ «//» используется для обозначения типа соединения «параллельно».

Рис. 5. Максимально упрощённая последовательная конфигурация.

Рис.6. Эквивалентные параллельные или последовательные резисторы (три крайних правых столбца) в таблице.

Расчёт по общей силе тока и общему напряжению

Теперь общая сила тока в цепи легко определяется, в результате применения закона Ома (I = E/R) к столбцу «Всего» в таблице:

Рис. 7. С помощью закона Ома вычисляем общую силу тока в цепи.

Вернёмся к нашему чертежу эквивалентной схемы. Наше общее значение силы тока 120,78 мА показано здесь как единственный ток в цепи:

Рис. 8. На упрощённой схеме указываем общую силу тока в цепи.

Теперь работаем в обратном направлении, поэтапно возвращая текущую схему к исходной конфигурации. Следующим шагом перейдём к схеме, в которой последовательно соединены пары параллельных резисторов R₁//R₂ и R₃//R₄:

Рис. 9. Возвращаемся к схеме, где последовательно соединены две пары параллельных резисторов.

Поскольку пары R₁//R₂ и R₃//R₄ включены последовательно относительно друг друга, сила тока, проходящего через эти два набора эквивалентных сопротивлений, должна быть одинаковой. Кроме того, сила тока, проходящего через каждый эквивалентный резистор, должна быть равна силе общего тока, так что мы можем заполнить нашу таблицу соответствующими текущими значениями, просто скопировав текущее значение для силы тока из столбца «Всего» в столбцы для R₁//R₂ и R₃//R₄:

Рис. 10. Указываем силу тока, проходящего через каждую последовательную пару параллельных резисторов.

Теперь, зная силу тока, проходящего через эквивалентные резисторы R₁//R₂ и R₃//R₄, можно применить закон Ома (E = IR) к двум правым вертикальным столбцам, чтобы найти напряжения на этих участках:

Рис. 11. Схема с указанием напряжения для каждой последовательной пары параллельных резисторов.

Рис. 12. С помощью закона Ома рассчитываем напряжение в таблице для каждой последовательной пары параллельных резисторов.

Поскольку мы знаем, что R₁//R₂ и R₃//R₄ являются эквивалентами пар параллельных резисторов, и мы знаем, что напряжения в параллельных цепях одинаковы, мы можем перенести соответствующие напряжения в соответствующие столбцы таблицы для этих отдельных резисторов. Другими словами, мы делаем еще один шаг назад по направлению к исходной конфигурации и заполняем таблицу соответствующим образом:

Рис. 13. Мы вернулись к изначальной принципиальной схеме. Для отдельных резисторов указано напряжение.

Рис. 14. В таблице мы имеем возможность указать напряжение для каждого резистора.

Ну что ж, исходные столбцы таблицы (с R₁ по R₄) заполнены достаточным количеством значений для окончательного завершения. Применяя закон Ома (I = E/R) к оставшимся колонкам, определяем силу тока, проходящего через каждый отдельный резистор R₁, R₂, R₃ и R₄:

Рис. 15. Последний шаг – вычисляем силу тока для каждого отдельного резистора.

Размещение значений напряжения и силы тока на диаграммах

Найдя все значения напряжения и силы тока для этой схемы, мы можем показать эти значения на принципиальной схеме следующим образом:

Рис. 16. Схема с указанием всех значений напряжения, силы тока и сопротивления для каждого элемента.

В качестве последней проверки проделанной работы можно посмотреть, складываются ли рассчитанные текущие значения должным образом в общую сумму. Поскольку R₁ и R₂ включены параллельно, их суммарная сила тока должна составить в сумме 120,78 мА. Точно так же, поскольку R₃ и R₄ включены параллельно, их суммарная сила тока также должны составлять 120,78 мА. Вы можете проверить это сами, дабы убедиться, что цифры действительно совпадают.

Использование SPICE для проверки расчётных значений

Компьютерное моделирование также можно использовать для проверки точности данных цифр. Следующий анализ SPICE покажет все напряжения и силы тока резисторов. Обратите внимание на «генерирующие ток» vi1, vi2, ... – фиктивные источники напряжения, подключенные последовательно с каждым резистором в списке соединений, что необходимо для компьютерной программы SPICE для отслеживания тока, проходящего через каждую ветку. Каждый из этих фиктивных источников напряжения настроен на нулевое напряжение, поэтому они никоим образом не влияют на остальные «не-фиктивные» элементы схемы.

Рис. 17. Принципиальная схема с добавление фиктивных источников напряжения для отслеживания в программе SPICE тока, проходящего через каждую ветку.

series-parallel circuit
v1 1 0 
vi1 1 2 dc 0 
vi2 1 3 dc 0 
r1 2 4 100 
r2 3 4 250 
vi3 4 5 dc 0 
vi4 4 6 dc 0 
r3 5 0 350 
r4 6 0 200 
.dc v1 24 24 1 
.print dc v(2,4) v(3,4) v(5,0) v(6,0) 
.print dc i(vi1) i(vi2) i(vi3) i(vi4)
.end

Я аннотировал выходные данные SPICE, чтобы сделать их читабельнее, обозначив, какие значения напряжения и силы тока относятся к каким резисторам.

v1	v (2,4)	v (3,4)	v (5)	v (6)
2.40E + 01	8.63E + 00	8.63E + 00	1.54E + 01	1.54E + 01
Напряжение батареи	Напряжение R1	Напряжение R2	Напряжение R3	Напряжение R4

v1	i (vi1)	i (vi2)	i (vi3)	i (vi4)
2.40E + 01	8.63E-02	3.54EE-02	4.39E-02	7.69E-02
Напряжение батареи	Сила тока для R1	Сила тока для R2	Сила тока для R3	Сила тока для R4

Как видите, все цифры согласуются с расчётными данными.

Итог

Чтобы проанализировать комбинированную последовательно-параллельную схему, выполните следующие действия:

• Сократите исходную схему до одного эквивалентного резистора, перерисовывая схему на каждом этапе в более упрощённом виде, когда простые последовательные или простые параллельные участки сокращаются до отдельных эквивалентных резисторов.
• Вычислите общее сопротивление.
• Найдите общую силу тока (I = E/R).
• Определяйте напряжения и силы тока на эквивалентных резисторах, работая в обратном направлении – двигаясь от всё менее упрощённых схем до исходной конфигурации цепи.